2023年山东省济南市高新区中考二模数学试卷（含答案）

这是一份2023年山东省济南市高新区中考二模数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，四次成绩相同，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市高新区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．据悉，截至2022年底，中国高铁营运里程约为420000米，数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A．4.2×105 B．42×106 C．4.2×107 D．4.2×108
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论错误的是（　　）

A．甲的第三、四次成绩相同
B．甲、乙两人第三次成绩相同
C．甲的第四次成绩比乙的第四次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
6．下列计算正确的是（　　）
A．3ab﹣3a＝b B．a2•a3＝a6
C．2a2b÷a＝2b D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
7．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
8．直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝4．则点F到BC的距离为（　　）

A．1 B．2 C．4﹣4 D．8﹣4
10．已知抛物线y＝x2+mx+与y轴交于点A，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点A，且与x轴交于B（﹣，0），C两点．若线段OA﹣BC＝1，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．1 D．2或﹣2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．在有理数范围内分解因式：2a2﹣2a＝　 　．
12．在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 　 　．
13．若分式的值为1，则x的值是 　 　．
14．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，无贴纸部分AD的长为10cm，则贴纸部分的面积等于　 　cm2．

15．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，其中较小正方形的边长为 　 　cm．

16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN； ③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点．其中正确的是 　 　．（写出所有正确判断的序号）

三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：|﹣|﹣（3﹣π）0+tan45°+（）﹣1．
18．解不等式组：并写出它的正整数解．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE＝CF．

20．共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅每周使用共享单车时间的人数统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

每周使用共享单车的时间问卷调查表
您好!这是一份关于您平均每周使用
共享单车时间的问卷调查表，请在表格中
选择一项符合您使用时间的选项，在其后
空格内打“”，非常感谢您的合作．
选项
使用时间t（小时）

A
0＜t≤2

B
2＜t＜2.5

C
2.5＜t＜3

D
t＞3


（1）本次接受问卷调查的共有 　 　人；在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为 　 　；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 　 　度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该小区共有1200名居民，请你估计该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有多少人？

21．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西45°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东32°方向．已知AC＝60m，CD＝46m，求栈道AB的长（结果保留整数）．
参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.414．

22．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．

23．已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只．
（1）在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？
（2）该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．

​

25．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点．

（1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由；
（3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．据悉，截至2022年底，中国高铁营运里程约为420000米，数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A．4.2×105 B．42×106 C．4.2×107 D．4.2×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：数据420000用科学记数法可表示为4.2×105，
故选：A．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论错误的是（　　）

A．甲的第三、四次成绩相同
B．甲、乙两人第三次成绩相同
C．甲的第四次成绩比乙的第四次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
【分析】直接利用折线统计图得出甲、乙的成绩进而得出答案．
解：如图所示：
A、甲的第三次成绩与第四次成绩相同，故此选项正确．不符合题意；
B、第三次测试，甲、乙两人的成绩相同，故此选项正确，不合题意；
C、第四次测试，甲的成绩比乙的成绩少2分，故此选项正确，不合题意；
D、五次训练，乙的成绩都比甲的成绩高，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，正确得出甲乙的成绩是解题关键．
6．下列计算正确的是（　　）
A．3ab﹣3a＝b B．a2•a3＝a6
C．2a2b÷a＝2b D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【分析】A、根据合并同类项法则判断；
B、根据同底数的幂相乘法则计算；
C、根据单项式相除法则计算；
D、根据平方差公式计算．
解：A、原式＝3ab﹣3a，不符合题意；
B、原式＝a5，不符合题意；
C、原式＝2ab，不符合题意；
D、原式＝a2﹣4，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式运算法则是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】先根据平移的性质画出平移后的三角形，再根据关于x轴的点的坐标特点描出各点，把各点连接起来，得出A点坐标即可．
解：如图所示：
△A′B′C′为平移后的三角形；
△A″B″C″为关于x轴的对称图形．
由图可知，A点的对应点A″（﹣2，﹣3）．
故选：D．

【点评】本题考查的是坐标与图形变化，熟知关于x轴对称的图形与图形平移的性质是解答此题的关键．
8．直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＞0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，符合；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，不符合；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
故选：A．
【点评】解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝4．则点F到BC的距离为（　　）

A．1 B．2 C．4﹣4 D．8﹣4
【分析】如图，作AN⊥BC于N，交DG于M，交EF于H．想办法求出HN即可解决问题．
解：如图，作AN⊥BC于N，交DG于M，交EF于H．
∵AB＝AC＝12，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝4，
∴AN＝＝＝8，
∵AD＝AG，AB＝AC，
∴∠ADG＝∠AGD，∠B＝∠C，
∵∠A+2∠ADG＝180°，∠A+2∠B＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝4，
∵四边形MHFG是矩形，
∴MH＝GF＝DG＝4，
∴HN＝MN﹣MH＝4﹣4，
∴点F到BC的距离为4﹣4，
故选：C．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．已知抛物线y＝x2+mx+与y轴交于点A，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点A，且与x轴交于B（﹣，0），C两点．若线段OA﹣BC＝1，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．1 D．2或﹣2
【分析】利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，令y＝0，求出该抛物线与x轴的交点，并利用点的坐标表示出线段OA，BC的长，根据已知条件列出关于m的方程，解方程即可求得结论．
解：令x＝0，则y＝．
∴A（0，）．
∴OA＝．
设平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+c，
∵平移后的抛物线经过点A，且与x轴交于B（﹣，0），
∴，
解得：．
∴平移后的抛物线解析式为y＝．
令y＝0，则＝0．
解得：x1＝，x2＝﹣m．
∴C（﹣m，0）．
∴BC＝|﹣m﹣（﹣）|＝||．
∵OA﹣BC＝1，
∴＝1．
当m＞0时，解得：m＝2，
当m＜0时，解得：m＝﹣2，
∴m的值为：﹣2或2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．在有理数范围内分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　．
【分析】利用提公因式法分解．
解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．
故答案为：2a（a﹣1）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键．
12．在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 　　．
【分析】直接利用概率公式，进而计算得出答案．
【解答】​解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，
∴摸到红球的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
13．若分式的值为1，则x的值是 　5　．
【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
解：由题意得：＝1，
去分母得：2＝x﹣3，
移项，得：x＝5，
∴x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
∴x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程要验根是关键．
14．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，无贴纸部分AD的长为10cm，则贴纸部分的面积等于　π　cm2．

【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
解：设AB＝R，AD＝r，
则S贴纸＝πR2﹣πr2
＝π（R2﹣r2）
＝π（R+r）（R﹣r）
＝×（30+10）×（30﹣10）π
＝π（cm2）．
答：贴纸部分的面积为πcm2．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．
15．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，其中较小正方形的边长为 　4　cm．

【分析】本题可设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为cm，又因两个正方形的面积和等于160cm2，则可列出方程求解即可．
解：设一个正方形的边长为xcm，
∵正方形的四边相等，
∴此正方形的周长是4xcm，另一个正方形的边长是cm，
根据题意得x2+（）2＝160，
解得x1＝12，x2＝4．
当x＝12时，＝4；
当x＝4时，＝12，
所以另一个正方形的边长为4cm和12cm．
∴较小正方形的边长为4cm．
故答案为：4．
【点评】考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，利用方程即可解决问题．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN； ③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点．其中正确的是 　①②③　．（写出所有正确判断的序号）

【分析】根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；
根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；
根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；从而求解．
解：①如图，由折叠可知BF⊥MN，

∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝90°＝∠BOM，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，

由勾股定理得：BD＝5，
∵OB＝OD＝，
∵tan∠DBC＝，即，
∴ON＝，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∵，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON＝，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；
故②正确；
③如图3，连接BM，FM，

当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM＝＝，
∴FM＝，
∴DF＝＝＝1，
∴CF＝3﹣1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴HN＝，
∵CH＝3，
∴CN＝HN＝，
∴N为HC的中点；
故③正确；
∴本题正确的结论有：①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：|﹣|﹣（3﹣π）0+tan45°+（）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：|﹣|﹣（3﹣π）0+tan45°+（）﹣1
＝﹣1+1+2
＝+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．解不等式组：并写出它的正整数解．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，结合题意即可用AAS证明△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质即可证明AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是选择恰当的判定条件证明△ABE≌△CDF．
20．共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅每周使用共享单车时间的人数统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

每周使用共享单车的时间问卷调查表
您好!这是一份关于您平均每周使用
共享单车时间的问卷调查表，请在表格中
选择一项符合您使用时间的选项，在其后
空格内打“”，非常感谢您的合作．
选项
使用时间t（小时）

A
0＜t≤2

B
2＜t＜2.5

C
2.5＜t＜3

D
t＞3


（1）本次接受问卷调查的共有 　100　人；在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为 　10%　；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 　72　度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该小区共有1200名居民，请你估计该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有多少人？

【分析】（1）根据百分比＝，计算即可；
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可；
（3）求出A组人数，画出条形图即可；
（4）用样本估计总体的思想即解决问题；
解：（1）根据C组的百分比以及人数，可知总人数＝50÷50%＝100（人），
D占：＝10%，
故答案为：100；10%；
（2）B组的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）A组人数为20，条形图如图所示：

（4）估计该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有1200×20%＝240（人）．
答：估计该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有240人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本估计总体的思想等知识，掌握基本概念是关键．
21．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西45°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东32°方向．已知AC＝60m，CD＝46m，求栈道AB的长（结果保留整数）．
参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.414．

【分析】如图，过C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G，构造两个直角三角形和一个矩形，通过解直角三角形求得线段AH，BG的长度，结合矩形的性质得到AB＝AH+CD+BG，此题得解．
解：如图，过C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB∥CD，
∴CH∥DG．
∴四边形CHGD是矩形．
∴CH＝DG，HG＝CD．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，AC＝60m，
∴CH＝AC•cos45°＝60×＝（m），
AH＝AC•sin45°＝60×＝（m）．
在Rt△BDG中，∠DBG＝32°，DG＝CH＝m，
∴BG＝DG•tan32°＝×tan32°．
∴AB＝AH+HG+BG≈+46+×0.62≈115（m）．
答：栈道AB的长度约为115m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
22．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．

【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以＝，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，从而可求出r的值．
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝5﹣2×＝．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
23．已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只．
（1）在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？
（2）该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？
【分析】（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，根据“每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，列一元一次方程求解即可．
解：（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，
由题意得：，
解得：，
答：甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只；
（2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，
由题意得：2×（28+84）+5×（28+84+m）＝840，
解得：m＝11.2，
答：提升产能后，该厂家的日产量增加了11.2万只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据已知得出正确方程组或方程是解决本题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．

​

【分析】（1）利用待定系数法求出k和b的值即可；
（2）由题意得出，E（m，m+3），D（m，），DE＝m+3﹣，利用DE＝BO，建立方程求解即可；
（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝|m|，再根据BE＝DE列方程求解，根据m的值确定E点的坐标即可．
解：（1）把点P（2，）代入y＝，
得＝，
解得k＝9，
把点P（2，）代入y＝x+b，
得+b＝，
解得b＝3；
（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，
得y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令y＝0，得x+3＝0，
解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵直线x＝m，分别与直线l和双曲线H交于点E、D，
∴E（m，m+3），D（m，），
∵点E在线段AB上，
∴﹣4≤m≤0，
∴ED＝m+3﹣，
∵ED＝BO，
∴m+3﹣＝3，
解得m＝﹣2，m'＝2（不符合题意，舍去），
∴m的值为﹣2；
（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），
∴F（0，m+3），
∴BE＝＝＝＝|m|，
又∵DE＝|m+3﹣|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形，
∴BE＝DE，
即|m|＝|m+3﹣|，
解得m＝﹣3，m'＝，
∴E（﹣3，）或（，）．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点．

（1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　PF＝PG　，位置关系是 　PF⊥PG　；
（2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由；
（3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形中位线定理进行证明；
（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证PG＝PF，PF∥AD，PG∥BE，根据角的数量关系可求∠GPF＝90°，即可证△FGP是等腰直角三角形；
（3）由题意可得S△PGF最大＝PG2，PG最大时，△FGP面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGP面积的最大值．
解：（1）∵如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD＝CE，
∴BC⊥AC，AD＝BE．
∵点F，P分别为AB，BD的中点．
∴PF是△BAD的中位线，
∴PFAD．
同理，PGBE．
∴PF＝PGPF⊥PG．
故答案是：PF＝PG PF⊥PG；

（2）△FGP是等腰直角三角形
理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，
利用三角形的中位线得，PG＝BE，PF＝AD，
∴PG＝PF，
∴△FGP是等腰三角形，利用三角形的中位线得，PG∥CE，
∴∠DPG＝∠DBE，
利用三角形的中位线得，PF∥AD，
∴∠PFB＝∠DAB，
∵∠DPF＝∠DBA+∠PFB＝∠DBA+∠DAB，
∴∠GPF＝∠DPG+∠DPF＝∠DBE+∠DBA+∠DAB
＝∠ABE+∠DAB＝∠CBA+∠CBE+∠DAB
＝∠CBA+∠CAD+∠DAB＝∠CBA+∠CAB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，
∴∠GPF＝90°，
∴△FGP是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG＝PF＝AD，
∴PG最大时，△FGP面积最大，
∴点D在AC的延长线上，
∴AD＝AC+CD＝11，
∴PG＝．
∴S△PGF最大＝PG2＝＝．
【点评】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．
26．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）根据y＝﹣x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得D（，3）；②△DBE∽△ACE，求得D（，）；
（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE＝FG，设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长＝﹣2+，由此可求得点G的坐标．
解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，），E（t，），H（t，3）；
∴EC＝，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+4t
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC
∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE
①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
此时BD∥AC，可得D（，3）．
②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE
∵BH⊥CD
∴∠BHD＝90°，
∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝，即：BH•AC＝CE•DH
∴t（4﹣t）＝（）（﹣t2+t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝，
∴D（，）；
综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；
（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形
∴DE∥FG，DE＝FG
设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），
则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，
∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0
∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4
过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC
∴∠EGK＝∠BAO
∴＝cos∠EGK＝cos∠BAO＝，即：GK•AB＝AO•EG
∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG＝（n﹣m）
∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝﹣2+
∵﹣2＜0，
∴当m＝时，∴▱DEGF周长最大值＝，
此时n＝4﹣＝，则G（，），
当E，G互换时，结论也成立，此时G（，），
综上所述．G（，）或（，）．


【点评】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形性质，平行四边形性质，二次函数最值问题等；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论．