2023年江苏省+南京市玄武区一模数学试题（含答案）

这是一份2023年江苏省+南京市玄武区一模数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容，欢迎下载使用。

2022～2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数 学（玄武一模）
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．南京文旅火爆“出圈”．据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44 300 000人次，将44 300 000用科学记数法表示为
A．0.443×108 B．4.43×106 C．4.43×107 D．4.43×108
2．下列运算正确的是
A．3a2＋2a4＝5a6 B．a2·a3＝a6 C．(2a2)3＝6a6 D．(－2a3)2＝4a6
3．下列整数中，与最接近的是
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为
A．90°＋α B．90°－α C．180°－α D．180°－α
5．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a＋b，a－b，下列结论中一定正确的是
A
B
O
y
x
（第6题）
P
A
B
O
C
（第4题）
A
B
0
a＋b
a－b
（第5题）
A．a＜b B．＜ C．a2＜b2 D．＜






6．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）图像上，点A的横坐标为1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．2023的相反数是，－2023的倒数是．
8．若式子x＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
9．分解因式ax2－a的结果是．
10．方程＝的解是．
11．设x1，x2是方程x2－3x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则m＝．
12．沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长为6 cm，则该扇形的圆心角的度数为°．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是．
A
B
O
y
x
C
M
N
（第13题）
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝°．
A
B
C
D
E
（第16题）
（第14题）
A
B
C
D
E
F
M
N
O







15．已知函数y＝2x2－(m＋2)x＋m（m为常数），当－2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当m＝时，a取得最大值．
16．如图，在□ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）
（1）计算：－(－2)－1＋4cos60°； （2）解不等式组：



18．（8分）先化简，再求值：(a－1－)÷，其中a＝－3．





19．（7分）小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩.
（1）随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是；
（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率.



丙得分的扇形统计图
40％
60％
8分
10分
4
3
9
8
7
评委编号
得分/分
0
6
1
2
5
10
甲得分的折线统计图
4
3
9
8
7
评委编号
得分/分
0
6
1
2
5
10
乙得分的条形统计图
20．（8分）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．





根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；

平均数/分
中位数/分
方差/分2
甲
8.8
①
0.56
乙
8.8
9
②
丙
③
8
0.96







（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；


（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s，则s0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”）


A
B
C
D
E
P
（第21题）
21．（7分）如图，点D在AB上，点E在AC上，CD，BE交于点P，PD＝PE，∠B＝∠C．求证AB＝AC.








A
B
C
D
E
F
O
（第22题）
22．（8分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC．



23．（8分）已知函数y＝x2＋2mx＋m－1（m为常数）．
（1）若该函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；
（2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点．



12.7°
A
B
M
N
42°
37°
32°
（第24题）
24．（7分）利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在M处悬停，测得建筑物AB顶端A的仰角为42°，底端B的俯角为12.7°．然后，在同一平面内，该无人机以5 m/s的速度沿着与水平线夹角为37°方向斜向上匀速飞行，飞行4 s至N处悬停，测得顶端A的仰角为32°，求建筑物AB的高度．（参考数据：tan42°≈0.9，tan12.7°≈0.225，tan32°≈0.625，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）









25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证AD＝BD；
A
B
C
D
E
O
（第25题）
（2）若CD＝1，DE＝3，求⊙O的半径．












26．（8分）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600 m的队伍AB，排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发．队伍AB以v1 m/min 的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以v2 m/min 的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离y1（单位：m）与出发时间x（单位：min）之间的函数关系部分图像如图③所示．
（1）v1＝ m/min，v2＝ m/min；
（2）求线段MN所表示的y1与x 之间的函数表达式；
（3）在图③中，画出排头B离甲地的距离y2（单位：m）与出发时间x之间的函数图像．
12
x/min
y/m
N
15
O
M
③
A
B
甲地
②
令
①









（第26题）




27．（10分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似，那么称P是△ABC的内相似点．
【概念理解】
A
B
C
①
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．




【深入思考】
A
B
C
P
②
（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，∠BPC＝2∠BAC，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．
①∠BAP＝∠ACP； ②∠APB＝∠APC； ③AP2＝BP·CP．









【拓展延伸】
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＞∠C．求作一点P，使P是△ABC的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
A
B
C
③







2022～2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
B
A
C
B



二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．－2023，－ 8．x≠2 9．a(x－1)(x＋1) 10．x＝ 11．2
12．120 13．(2，10) 14．105 15．2 16．2－2≤BD≤2＋2
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题9分）
（1）解：原式＝π－3－(－)＋4× 3分
＝π－． 4分
（2）解：由①得：x＞2，
由②得：x≤4， 4分
∴该不等式组的解集为2＜x≤4． 5分
18．（本题8分）
解：原式＝·
＝· 4分
＝． 6分
当a＝－3时，原式＝＝＝1－3． 8分
19．（本题7分）
（1）； 2分
（2）根据题意列出所有可能出现的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“随机选择两个景点，A，B景点至少有一个”（记为事件A）的结果有5种，即（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D）．
所以P(A)＝． 7分
20．（本题8分）
解：（1）9，0.96，8.8； 3分
（2）选甲更合适．因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； 6分
（3）＜． 8分
21．（本题7分）
A
B
C
D
E
P
证明：在△PBD和△PCE中，
∠B＝∠C，∠DPB＝∠EPC，PD＝PE．
∴ △PBD≌△PCE（AAS）． 3分
∴ PB＝PC．
∴ PB＋PE＝PC＋PD，
即BE＝CD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△ABE和△ACD中，
∠B＝∠C，∠A＝∠A，BE＝CD，
∴ △ABE≌△ACD（AAS）．　　　　　　　　　　　　 　 　　 6分
∴ AB＝AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　 7分
另解：连接BC，
在△PBD和△PCE中，
∠DBP＝∠ECP，∠DPB＝∠EPC，PD＝PE．
∴ △PBD≌△PCE（AAS） 　3分
∴ PB＝PC．
∴ ∠PBC＝∠PCB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
∴ ∠PBC＋∠DBP＝∠PCB＋∠ECP．
即∠ABC＝∠ACB．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　6分
∴AB＝AC． 7分
A
B
C
D
E
F
O
22．（本题8分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO，AD∥BC．
∴ ∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO＝∠ECO，AO＝CO，∠AOF＝∠COE．
∴ △AOF≌△COE． 2分
∴ EO＝FO．
∵ AO＝CO，EO＝FO．
∴ 四边形AECF是平行四边形． 4分
（另解：△AOF≌△COE，得AF＝CE，又AF∥BC，四边形AECF是平行四边形．或者由AB∥EF，AF∥EC得四边形ABEF是平行四边形）
（2）证明：∵ EF平分∠AEC，
∴ ∠AEF＝∠CEF．
∵ AD∥BC，
∴ ∠AFE＝∠CEF，
∴ ∠AFE＝∠AEF，
∴ AE＝AF．
∴ □AECF是菱形． 6分
∴ AC⊥EF．
∴ ∠COE＝90°．
∵ E是BC的中点，O是AC的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ OE∥AB，
∴ ∠COE＝∠CAB，
∴ ∠CAB＝90°，
∴ AB⊥AC． 8分
（另解：可证得EA＝AF＝EC＝EB，再利用等边对等角以及三角形内角和180°，得到∠CAB＝90°，从而AB⊥AC．）
23．（本题8分）
（1）令x＝0，则y＝m－1． 1分
∵ 函数的图像与y轴的交点在x轴上方，
∴ m－1＞0， 2分
∴ m＞1； 3分
（2）令y＝0，则x2＋2mx＋m－1＝0． 4分
∵ a＝1，b＝2m，c＝m－1，
∴ b2－4ac＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3． 6分
∵ (2m－1)2≥0，
∴ (2m－1)2＋3＞0． 7分
∴ 该方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点． 8分
24．（本题7分）
12.7°
A
B
M
N
42°
37°
32°
C
D
E
解：如图，过点N作NC⊥MC，垂足为C，过点M作MD⊥AB，垂足为D，过点N作NE⊥AB，垂足为E，可知∠MCN＝∠AEN＝∠ADM＝90°，可得四边形EDCN是矩形，从而DE＝NC，EN＝DC．
在Rt△CMN中，∠NMC＝37°，MN＝5×4＝20，
∵ sin37°＝，cos37°＝，
∴ CN＝20sin37°＝12，CM＝20cos37°＝16．
设DM＝x，则EN＝x＋16，
在Rt△ADM中，∠AMD＝42°，
∵ tan42°＝，∴ AD＝MDtan42°＝0.9x．
在Rt△AEN中，∠ANE＝32°，
∵ tan32°＝，∴ AE＝ENtan32°＝0.625(x＋16)．
又 AD＝AE＋ED，∴ 0.9x＝0.625(x＋16)＋12，
∴ x＝80．
∴ AD＝0.9x＝72．
在Rt△MDB中，∠BMD＝12.7°，DM＝80，
∴ tan12.7°＝，∴ BD＝MDtan12.7°＝80×0.225＝18．
∵ AB＝AD＋BD，∴ AB＝72＋18＝90．
因此，建筑物高度AB的高是90 m． 7分
25.（本题8分）
A
B
C
D
E
O
解：（1）∵ AE∥BC，
∴ ∠E＋∠C＝180°．
∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ ∠C＋∠BAD＝180°．
∴ ∠BAD＝∠E．
∵ AD＝DE，
∴ ∠DAE＝∠E＝∠BAD．
在△BAD和△EAD中

∴ △BAD≌△EAD(SAS)．
∴ BD＝DE
∴ AD＝BD． 4分
（2）连接AC，OA，OB，连接DO并延长交AB于点H.
A
B
C
D
E
O
H
∵ △BAD≌△EAD，
∴ ∠ABD＝∠E＝∠DAE．
∵ ∠ABD＝∠ACD，
∴ ∠DAE＝∠ACD．
在△ADE和△CAE中，
∠E＝∠E，∠DAE＝∠ACD，
∴ △ADE∽△CAE.
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ AE＝2，
∴ AB＝2.
∵ OA＝OB，DA＝DB，
∴ D、O在线段AB的垂直平分线上.
∴ DO⊥AB且AH＝BH＝AB＝.
在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，
∵ AD＝DE＝3，
∴ HD＝＝＝.
设半径为r，则OH＝－r.
在Rt△OHA中，∠OHA＝90°，
∵ OH2＋AH2＝OA2，
∴ (－r)2＋3＝r2．解得r＝.
∴⊙O的半径为． 8分
26．（本题8分）
解：（1）75；125 2分
（2）根据题意M（12，1500），设线段MN表示的y1与x之间的函数表达式为
y1＝－125x＋b，将M（12，1500）代入y1＝－125x＋b得b＝3000.
∴线段MN表示的y与x之间的函数表达式为y1＝－125x＋3000. 6分
（另解：根据题意，求出点N（15，1125），利用待定系数法求解.）
（3）y2与x之间的函数图像如图所示．
12
x/min
y/m
N
15
O
M







8分
27．（本题10分）
（1）120°，130°，140°. 3分
（2）选择①∠BAP＝∠ACP
证明：如图②，作AP的延长线AD．
A
B
C
P
②
D
∵ ∠BPD＝∠BAP＋∠ABP，∠CPD＝∠CAP＋∠ACP，
∴∠BPD＋∠CPD＝∠BAP＋∠ABP＋∠CAP＋∠ACP.
∴∠BPC＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP.
又 ∠BPC＝2∠BAC，
∴ ∠BAC＝∠ABP＋∠ACP.
又 ∠BAC＝∠BAP＋∠CAP，∠BAP＝∠ACP，
∴∠ABP＝∠CAP.
又 ∠BAP＝∠ACP，
∴△ABP∽△CAP，即P是△ABC的内相似点.
A
B
C
P
②
D
选择②∠APB＝∠APC
证明：如图②，作AP的延长线AD．
∵ ∠APB＝∠APC，
∴180°－∠APB＝180°－∠APC，即∠BPD＝∠CPD.
∵ ∠BPD＋∠CPD＝∠BPC，
∴∠BPC＝2∠BPD．
又∠BPC＝2∠BAC，
∴∠BPD＝∠BAC．
∵ ∠BPD＝∠BAP＋∠ABP，∠BAC＝∠BAP＋∠PAC，
∴∠ABP＝∠PAC．
又∠APB＝∠APC，
∴△ABP∽△CAP，即P是△ABC的内相似点. 7分
（3）方法不唯一．如图③，作法如下：
①作BC的垂直平分线l1，与AC交于点D；
②作CD的垂直平分线l2，与l1交于点O；
③以O为圆心，OD为半径作⊙O，与l1交于点E；
A
B
C


O
E
P
l1
l2
D
③
④连接AE，与⊙O交于点P，点P即为所求． 10分