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    2023年江苏省+南京市玄武区一模数学试题(含答案)
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    2023年江苏省+南京市玄武区一模数学试题(含答案)

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    这是一份2023年江苏省+南京市玄武区一模数学试题(含答案),共13页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容,欢迎下载使用。

    2022~2023学年度第二学期九年级学情调研卷
    数 学(玄武一模)
    注意事项:
    1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效.
    2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
    3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置,在其他位置答题一律无效.
    4.作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.
    一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
    1.南京文旅火爆“出圈”.据统计,2023年第一季度南京共接待游客约44 300 000人次,将44 300 000用科学记数法表示为
    A.0.443×108 B.4.43×106 C.4.43×107 D.4.43×108
    2.下列运算正确的是
    A.3a2+2a4=5a6 B.a2·a3=a6 C.(2a2)3=6a6 D.(-2a3)2=4a6
    3.下列整数中,与最接近的是
    A.4 B.3 C.2 D.1
    4.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,过点A作AC∥PB交⊙O于点C,连接BC,若∠P=α,则∠PBC的度数为
    A.90°+α B.90°-α C.180°-α D.180°-α
    5.如图,数轴上A,B两点分别对应实数a+b,a-b,下列结论中一定正确的是
    A
    B
    O
    y
    x
    (第6题)
    P
    A
    B
    O
    C
    (第4题)
    A
    B
    0
    a+b
    a-b
    (第5题)
    A.a<b B.< C.a2<b2 D.<






    6.如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)图像上,点A的横坐标为1,连接OA,OB,AB,若OA=OB,△OAB的面积为4,则k的值为
    A.2 B.3 C.4 D.5
    二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
    7.2023的相反数是,-2023的倒数是.
    8.若式子x+在实数范围内有意义,则x的取值范围是.
    9.分解因式ax2-a的结果是.
    10.方程=的解是.
    11.设x1,x2是方程x2-3x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则m=.
    12.沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平,得到一个扇形.若圆锥的底面圆的半径为2 cm,母线长为6 cm,则该扇形的圆心角的度数为°.
    13.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在y轴上,M,N分别是边OA,OC的中点,若点M,N的纵坐标分别是3,2,则点B的坐标是.
    A
    B
    O
    y
    x
    C
    M
    N
    (第13题)
    14.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN,连接OD,ON,则∠DON=°.
    A
    B
    C
    D
    E
    (第16题)
    (第14题)
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    M
    N
    O







    15.已知函数y=2x2-(m+2)x+m(m为常数),当-2≤x≤2时,y的最小值记为a.a的值随m的值变化而变化,当m=时,a取得最大值.
    16.如图,在□ABCD中,E是边BC的中点,连接AE,若BC=4,∠BAE=30°,则对角线BD的取值范围为.
    三、解答题(本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(9分)
    (1)计算:-(-2)-1+4cos60°; (2)解不等式组:



    18.(8分)先化简,再求值:(a-1-)÷,其中a=-3.





    19.(7分)小丽从A、B、C、D四个景点中,随机选择一个或两个景点游玩.
    (1)随机选择一个景点,恰好是A景点的概率是;
    (2)随机选择两个景点,求A,B景点至少有一个的概率.



    丙得分的扇形统计图
    40%
    60%
    8分
    10分
    4
    3
    9
    8
    7
    评委编号
    得分/分
    0
    6
    1
    2
    5
    10
    甲得分的折线统计图
    4
    3
    9
    8
    7
    评委编号
    得分/分
    0
    6
    1
    2
    5
    10
    乙得分的条形统计图
    20.(8分)某校举办“十佳歌手”演唱比赛,五位评委进行现场打分.将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图.





    根据以上信息,回答下列问题:
    (1)完成表格;

    平均数/分
    中位数/分
    方差/分2

    8.8

    0.56

    8.8
    9



    8
    0.96







    (2)从三位选手中选一位参加市级比赛,你认为选谁更合适,请说明理由;


    (3)在演唱比赛中,往往在所有评委给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分.如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s,则s0.56.(填“<”或“>”或“=”)


    A
    B
    C
    D
    E
    P
    (第21题)
    21.(7分)如图,点D在AB上,点E在AC上,CD,BE交于点P,PD=PE,∠B=∠C.求证AB=AC.








    A
    B
    C
    D
    E
    F
    O
    (第22题)
    22.(8分)如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E是BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,连接AE,CF.
    (1)求证:四边形AECF是平行四边形;
    (2)若EF平分∠AEC,求证AB⊥AC.



    23.(8分)已知函数y=x2+2mx+m-1(m为常数).
    (1)若该函数图像与y轴的交点在x轴上方,求m的取值范围;
    (2)求证:不论m取何值,该函数图像与x轴总有两个公共点.



    12.7°
    A
    B
    M
    N
    42°
    37°
    32°
    (第24题)
    24.(7分)利用无人机可以测量建筑物的高度.如图,一架无人机在M处悬停,测得建筑物AB顶端A的仰角为42°,底端B的俯角为12.7°.然后,在同一平面内,该无人机以5 m/s的速度沿着与水平线夹角为37°方向斜向上匀速飞行,飞行4 s至N处悬停,测得顶端A的仰角为32°,求建筑物AB的高度.(参考数据:tan42°≈0.9,tan12.7°≈0.225,tan32°≈0.625,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)









    25.(8分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E,AE=AB,AD=ED,连接BD.
    (1)求证AD=BD;
    A
    B
    C
    D
    E
    O
    (第25题)
    (2)若CD=1,DE=3,求⊙O的半径.












    26.(8分)如图①,古代行军中传令兵负责传送命令.如图②,一支长度为600 m的队伍AB,排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发.队伍AB以v1 m/min 的速度行进,且队伍长度保持不变;出发时,传令兵接到命令,立即以v2 m/min 的速度赶赴排头B,到达排头B后立即返回排尾A,再次接到命令,立即赶赴排头B……如此循环往复,且传令兵往返速度保持不变.行进过程中,传令兵离甲地的距离y1(单位:m)与出发时间x(单位:min)之间的函数关系部分图像如图③所示.
    (1)v1= m/min,v2= m/min;
    (2)求线段MN所表示的y1与x 之间的函数表达式;
    (3)在图③中,画出排头B离甲地的距离y2(单位:m)与出发时间x之间的函数图像.
    12
    x/min
    y/m
    N
    15
    O
    M

    A
    B
    甲地












    (第26题)




    27.(10分)P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在两个三角形相似,那么称P是△ABC的内相似点.
    【概念理解】
    A
    B
    C

    (1)如图①,在△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,P是△ABC的内相似点.直接写出∠BPC的度数.




    【深入思考】
    A
    B
    C
    P

    (2)如图②,P是△ABC内一点,连接PA,PB,PC,∠BPC=2∠BAC,从下面①②③中选择一个作为条件,使P是△ABC的内相似点,并给出证明.
    ①∠BAP=∠ACP; ②∠APB=∠APC; ③AP2=BP·CP.









    【拓展延伸】
    (3)如图③,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A>∠C.求作一点P,使P是△ABC的内相似点.要求:①尺规作图;②保留作图痕迹,写出必要的文字说明.
    A
    B
    C








    2022~2023学年度第二学期九年级学情调研卷
    数学参考答案及评分标准
    说明:本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,参照本评分标准的精神给分.
    一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    答案
    C
    D
    B
    A
    C
    B



    二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
    7.-2023,- 8.x≠2 9.a(x-1)(x+1) 10.x= 11.2
    12.120 13.(2,10) 14.105 15.2 16.2-2≤BD≤2+2
    三、解答题(本大题共11小题,共88分)
    17.(本题9分)
    (1)解:原式=π-3-(-)+4× 3分
    =π-. 4分
    (2)解:由①得:x>2,
    由②得:x≤4, 4分
    ∴该不等式组的解集为2<x≤4. 5分
    18.(本题8分)
    解:原式=·
    =· 4分
    =. 6分
    当a=-3时,原式===1-3. 8分
    19.(本题7分)
    (1); 2分
    (2)根据题意列出所有可能出现的结果有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共有6种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“随机选择两个景点,A,B景点至少有一个”(记为事件A)的结果有5种,即(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D).
    所以P(A)=. 7分
    20.(本题8分)
    解:(1)9,0.96,8.8; 3分
    (2)选甲更合适.因为甲、乙、丙三人平均成绩一样,说明三人实力相当,但是甲的方差最小,说明甲的成绩更稳定,所以选甲; 6分
    (3)<. 8分
    21.(本题7分)
    A
    B
    C
    D
    E
    P
    证明:在△PBD和△PCE中,
    ∠B=∠C,∠DPB=∠EPC,PD=PE.
    ∴ △PBD≌△PCE(AAS). 3分
    ∴ PB=PC.
    ∴ PB+PE=PC+PD,
    即BE=CD.                       
    在△ABE和△ACD中,
    ∠B=∠C,∠A=∠A,BE=CD,
    ∴ △ABE≌△ACD(AAS).                  6分
    ∴ AB=AC.                       7分
    另解:连接BC,
    在△PBD和△PCE中,
    ∠DBP=∠ECP,∠DPB=∠EPC,PD=PE.
    ∴ △PBD≌△PCE(AAS)  3分
    ∴ PB=PC.
    ∴ ∠PBC=∠PCB.                    
    ∴ ∠PBC+∠DBP=∠PCB+∠ECP.
    即∠ABC=∠ACB.                     6分
    ∴AB=AC. 7分
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    O
    22.(本题8分)
    (1)证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
    ∴ AO=CO,AD∥BC.
    ∴ ∠FAO=∠ECO,
    在△AOF和△COE中,
    ∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE.
    ∴ △AOF≌△COE. 2分
    ∴ EO=FO.
    ∵ AO=CO,EO=FO.
    ∴ 四边形AECF是平行四边形. 4分
    (另解:△AOF≌△COE,得AF=CE,又AF∥BC,四边形AECF是平行四边形.或者由AB∥EF,AF∥EC得四边形ABEF是平行四边形)
    (2)证明:∵ EF平分∠AEC,
    ∴ ∠AEF=∠CEF.
    ∵ AD∥BC,
    ∴ ∠AFE=∠CEF,
    ∴ ∠AFE=∠AEF,
    ∴ AE=AF.
    ∴ □AECF是菱形. 6分
    ∴ AC⊥EF.
    ∴ ∠COE=90°.
    ∵ E是BC的中点,O是AC的中点,
    ∴ OE是△ABC的中位线,
    ∴ OE∥AB,
    ∴ ∠COE=∠CAB,
    ∴ ∠CAB=90°,
    ∴ AB⊥AC. 8分
    (另解:可证得EA=AF=EC=EB,再利用等边对等角以及三角形内角和180°,得到∠CAB=90°,从而AB⊥AC.)
    23.(本题8分)
    (1)令x=0,则y=m-1. 1分
    ∵ 函数的图像与y轴的交点在x轴上方,
    ∴ m-1>0, 2分
    ∴ m>1; 3分
    (2)令y=0,则x2+2mx+m-1=0. 4分
    ∵ a=1,b=2m,c=m-1,
    ∴ b2-4ac=(2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3. 6分
    ∵ (2m-1)2≥0,
    ∴ (2m-1)2+3>0. 7分
    ∴ 该方程有两个不相等的实数根.
    ∴ 不论m为何值,该函数图像与x轴有两个不同的公共点. 8分
    24.(本题7分)
    12.7°
    A
    B
    M
    N
    42°
    37°
    32°
    C
    D
    E
    解:如图,过点N作NC⊥MC,垂足为C,过点M作MD⊥AB,垂足为D,过点N作NE⊥AB,垂足为E,可知∠MCN=∠AEN=∠ADM=90°,可得四边形EDCN是矩形,从而DE=NC,EN=DC.
    在Rt△CMN中,∠NMC=37°,MN=5×4=20,
    ∵ sin37°=,cos37°=,
    ∴ CN=20sin37°=12,CM=20cos37°=16.
    设DM=x,则EN=x+16,
    在Rt△ADM中,∠AMD=42°,
    ∵ tan42°=,∴ AD=MDtan42°=0.9x.
    在Rt△AEN中,∠ANE=32°,
    ∵ tan32°=,∴ AE=ENtan32°=0.625(x+16).
    又 AD=AE+ED,∴ 0.9x=0.625(x+16)+12,
    ∴ x=80.
    ∴ AD=0.9x=72.
    在Rt△MDB中,∠BMD=12.7°,DM=80,
    ∴ tan12.7°=,∴ BD=MDtan12.7°=80×0.225=18.
    ∵ AB=AD+BD,∴ AB=72+18=90.
    因此,建筑物高度AB的高是90 m. 7分
    25.(本题8分)
    A
    B
    C
    D
    E
    O
    解:(1)∵ AE∥BC,
    ∴ ∠E+∠C=180°.
    ∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
    ∴ ∠C+∠BAD=180°.
    ∴ ∠BAD=∠E.
    ∵ AD=DE,
    ∴ ∠DAE=∠E=∠BAD.
    在△BAD和△EAD中

    ∴ △BAD≌△EAD(SAS).
    ∴ BD=DE
    ∴ AD=BD. 4分
    (2)连接AC,OA,OB,连接DO并延长交AB于点H.
    A
    B
    C
    D
    E
    O
    H
    ∵ △BAD≌△EAD,
    ∴ ∠ABD=∠E=∠DAE.
    ∵ ∠ABD=∠ACD,
    ∴ ∠DAE=∠ACD.
    在△ADE和△CAE中,
    ∠E=∠E,∠DAE=∠ACD,
    ∴ △ADE∽△CAE.
    ∴ =,
    ∴ =,
    ∴ AE=2,
    ∴ AB=2.
    ∵ OA=OB,DA=DB,
    ∴ D、O在线段AB的垂直平分线上.
    ∴ DO⊥AB且AH=BH=AB=.
    在Rt△AHD中,∠AHD=90°,
    ∵ AD=DE=3,
    ∴ HD===.
    设半径为r,则OH=-r.
    在Rt△OHA中,∠OHA=90°,
    ∵ OH2+AH2=OA2,
    ∴ (-r)2+3=r2.解得r=.
    ∴⊙O的半径为. 8分
    26.(本题8分)
    解:(1)75;125 2分
    (2)根据题意M(12,1500),设线段MN表示的y1与x之间的函数表达式为
    y1=-125x+b,将M(12,1500)代入y1=-125x+b得b=3000.
    ∴线段MN表示的y与x之间的函数表达式为y1=-125x+3000. 6分
    (另解:根据题意,求出点N(15,1125),利用待定系数法求解.)
    (3)y2与x之间的函数图像如图所示.
    12
    x/min
    y/m
    N
    15
    O
    M







    8分
    27.(本题10分)
    (1)120°,130°,140°. 3分
    (2)选择①∠BAP=∠ACP
    证明:如图②,作AP的延长线AD.
    A
    B
    C
    P

    D
    ∵ ∠BPD=∠BAP+∠ABP,∠CPD=∠CAP+∠ACP,
    ∴∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠ABP+∠CAP+∠ACP.
    ∴∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP.
    又 ∠BPC=2∠BAC,
    ∴ ∠BAC=∠ABP+∠ACP.
    又 ∠BAC=∠BAP+∠CAP,∠BAP=∠ACP,
    ∴∠ABP=∠CAP.
    又 ∠BAP=∠ACP,
    ∴△ABP∽△CAP,即P是△ABC的内相似点.
    A
    B
    C
    P

    D
    选择②∠APB=∠APC
    证明:如图②,作AP的延长线AD.
    ∵ ∠APB=∠APC,
    ∴180°-∠APB=180°-∠APC,即∠BPD=∠CPD.
    ∵ ∠BPD+∠CPD=∠BPC,
    ∴∠BPC=2∠BPD.
    又∠BPC=2∠BAC,
    ∴∠BPD=∠BAC.
    ∵ ∠BPD=∠BAP+∠ABP,∠BAC=∠BAP+∠PAC,
    ∴∠ABP=∠PAC.
    又∠APB=∠APC,
    ∴△ABP∽△CAP,即P是△ABC的内相似点. 7分
    (3)方法不唯一.如图③,作法如下:
    ①作BC的垂直平分线l1,与AC交于点D;
    ②作CD的垂直平分线l2,与l1交于点O;
    ③以O为圆心,OD为半径作⊙O,与l1交于点E;
    A
    B
    C


    O
    E
    P
    l1
    l2
    D

    ④连接AE,与⊙O交于点P,点P即为所求. 10分


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