赣州市南康区唐江中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

赣州市南康区唐江中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知i是虚数单位，复数的虚部为(   )

A. B.1 C. D.i

2、在，“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

3、如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为(   )

A. B. C. D.

4、在三角形中，a，b，c是角A，B，C所对的边，满足，则C的大小是(   )

A.30° B.60° C.90° D.120°

5、如图，在等腰梯形中，，，，，P为线段上的动点(包括端点)，则的最小值为(   )

A.8 B.12 C.20 D.30

6、如图，在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，若，，则(   )

A.1 B. C.2 D.3

7、在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知，，且满足，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

8、在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为(   ).

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知，，则下列结论正确的有(   )

A. B.与方向相同的单位向量是

C. D.与平行

10、已知复数z，，，下列命题错误的有(   )

A.若，则 B.若，那么

C.若，那么 D.若，那么

11、圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(   )

A. B. C. D.

12、在中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是(   )

A.

B.若，则

C.

D.若，且，则为等边三角形

三、填空题

13、在中，，，，点D在BC边上，，则_________.

14、窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且E，F，G，H分别是，，，的中点，则的值为__________.

15、已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为_________.

16、如图，在中，已知，，，直线l过的重心G，且与边A、B分别交于D、E两点，则的最小值为________.

四、解答题

17、已知向量，.

(1)若与共线，求实数m的值；

(2)若与垂直，求与的夹角.

18、已知复数(其中i是虚数单位，).

(1)若复数z是纯虚数，求x的值；

(2)若函数与的图象有公共点，求实数m的取值范围.

19、如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点.

(1)求圆柱的表面积；

(2)求四棱锥的体积的最大值.

20、在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.

（1）求角A的大小；

（2）若，求面积的取值范围.

21、已知，，设，.

(1)若，求实数k的值；

(2)当时，求与的夹角；

(3)是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由.

22、正方形ABCD中，，点O为正方形内一个动点，且，设，()

(1)当时，求的值；

(2)若P为平面ABCD外一点，满足，，记，求的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：因为，所以复数的虚部为1，故选B.

2、答案：C

解析：本题考查向量的数量积，

由数量积的定义有，

，

由得，

即即，

所以，故，所以，即，

即是的充分条件；

若，则，所以，

于是，

，

所以，

即是必要条件，

故是的充要条件，

故正确答案为C.

3、答案：C

解析：圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为扇形的面积，所以扇形的面积，解得，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C.

4、答案：D

解析：根据余弦定理：，即，即.

故选：D.

5、答案：C

解析：如图所示，过点D作，垂足为E，

因为在等腰梯形中，，，，，

可得，，

设，

可得

，

由二次函数的图象与性质，可得当时，取得最小值，最小值为20.

故选：C.

6、答案：C

解析：连接AO，由O为BC中点可得，

，

M、O、N三点共线，

，

.

故选：C.

7、答案：D

解析：且，所以，

由正弦定理得，即，

，，所以，，则，

由余弦定理得，

，则，由于双勾函数在上单调递增，

则，即，所以，.

因此，的取值范围为.

故选：D.

8、答案：D

解析：中，由余弦定理得，，

且的面积为，由，得，

化简得；又，，所以，

化简得，解得或(不合题意，舍去)；

因为，所以，

所以，

由，且，，

解得，

所以，所以，所以；

设，其中，

所以，

又，所以时，y取得最大值为，

时，；时，，且.

所以，即的取值范围是，

故选：D.

9、答案：ABC

解析：因，，则，A正确；

与方向相同的单位向量是，B正确；

，而，所以，C正确；

因，则与不平行，D不正确.

故选：ABC.

10、答案：BCD

解析：设，，，则，

，A正确；

若，则，但，B错；

若，，则，但，C错；

若，满足1，但，D错.

故选：BCD.

11、答案：BD

解析：侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，

若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，

此时圆柱的体积，

若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，

此时圆柱的体积，

故选：BD.

12、答案：ACD

解析：A：由，根据等比的性质有，正确；

B：当，时，有，错误；

C：，而，即，由正弦定理易得，正确；

D：如图，，是单位向量，则，即、，则且平分，，的夹角为，易知为等边三角形，正确.

故选：ACD.

13、答案：

解析：在中，，，，

利用余弦定理的应用，整理得，解得，

在中，设，则，，利用余弦定理，

在中，，，，利用余弦定理，

由于，

所以，解得x.

故答案为：.

14、答案：0

解析：如图所示，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系.

延长与交于点I，，故I为中点.

直线，同理可得：直线，直线；

解得：，，

，，故，，.

故答案为：0.

15、答案：

解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，如图，

由题意可得解得，

正四棱柱的体积为，

，当时，，V为增函数；当时，，V为减函数；所以当时，正四棱柱体积最大，此时正四棱柱的底面边长为.

16、答案：

解析：先证明结论：已知O为直线l外一点，R、S、T为直线l上三个不同的点，若，则.

因为R、S、T为直线l上三个不同的点，则，

可设，即，所以，，

所以，，结论成立.

本题中，设，，

当点E与点C重合时，D为的中点，此时；

当点E为线段的中点时，D与点B重合，此时，故，同理可得.

由，

又E、G、D三点共线，，即，

延长交于点F，则F为的中点，且有，

又

，

当且仅当，时取得最小值.

故答案为：.

17、答案：(1)4

(2)

解析：(1)，，

，

，

与共线，

，

.

(2)与垂直，且，

，

，

，

与的夹角为.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)，且复数z为纯虚数，

，解得.

(2)由(1)知函数，

又函数与的图象有公共点，

方程有解，即方程有解，

，

或，

实数m的取值范围是.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)连接BD，在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，设圆柱底面半径为r，

由正弦定理，得，

所以，

故圆柱的表面积.

(2)由(1)知，中，，，

由余弦定理，得

，

即，当且仅当时，等号成立，

所以，

因为，，

所以四棱锥的体积，

，

故四棱锥的体积的最大值为.

20、

（1）答案：

解析：由及正弦定理得：

，

因为，，所以，，

所以，又，所以；

（2）答案：

解析：由正弦定理，，，

由得：，

即①，由余弦定理得，解得，

所以，，

，

为锐角三角形，且，

即，，

，.

面积的取值范围为.

21、答案：(1)

(2)

(3)存在；-6

解析：(1)由题意，向量，，可得，，，

因为且，，

可得，解得.

(2)当时，可得，，

则，，，

所以与的夹角为，

因为，所以.

(3)由题意可得，，

若，可得，解得，

即存在，使得.

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)构建如图所示的平面直角坐标系，则，，，

当，则，故，，

所以，，

则.

(2)由题设，构建如图示的空间直角坐标系，

所以，，且，

则，，

所以，

令，则，可得，

若，则，此时在上递增，

所以.