山东省招远第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

山东省招远第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、(   )

A. B. C. D.

2、设P为对角线交点，O为任意一点，则(   )

A. B. C. D.

3、已知，，则在上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

4、在中，已知，，则(   )

A. B. C. D.

5、已知，且，则(   )

A. B. C. D.

6、已知函数，则(   )

A.最小正周期是

B.在上单调递增

C.的图象关于点对称

D.在上的值域是

7、已知等边的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，，垂足为E，当时，(   )

A. B.

C. D.

8、锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知函数的值域为，若，则称函数具有性质I，下列函数中具有性质I的有(   )

A. B.

C. D.

10、设，其中，，若对一切恒成立，则(   )

A.

 B.

C.为非奇非偶函数

D.的单调递增区间为

11、已知向量，，满足，，，则下列命题正确的有(   )

A.若，则的最小值为 B.若，则存在㫿一的y，使得

C.若，则的最小值为-1 D.若，则的最小值为

12、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，,,的面积分别为，,则有．设O是锐角内的一点，,,分别是的三个内角，以下命题正确的有(   )

A.若，则O为的重心

B.若，则

C.若，,，则

D.若O为的垂心，则

三、填空题

13、已知，，则______．

14、已知,,则______．

15、已知向量，，若，则______．

16、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为______．

四、解答题

17、化简求值：

（1）；

（2）．

18、已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的最大值．

19、如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M，设，.

（1）试用向量,表示；

（2）过点M作直线EF分别交线段AC,BD于点E,F，记，，求证：不论点E,F在线段AC,BD上如何移动，为定值.

20、如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1．点P是上任一点，设．

（1）记，求的表达式；

（2）若，求的取值范围．

21、在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若M是BC的中点，且满足．

（1）求的最小值；

（2）若的面积为S，且满足，求的值．

22、已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且，

（1）求B；

（2）若，求的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：

，

故选A．

2、答案：D

解析：在中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，

所以，即．

在中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，

所以，即．

所以．

故选：D．

3、答案：答案：A

解析：依题意在上的投影向量为

.

故选：A.

4、答案： C

解析：由已知可得.

又因为，所以，所以.

所以，

所以.

故选：C.

5、答案：D

解析：由得，

即，解得或（舍）.

又，

所以，

所以.

故选：D.

6、答案：B

解析：

；

对于A，的最小正周期，A错误；

对于B，当时，，此时单调递减，

在上单调递增，B正确；

对于C，令，解得：，此时，

的图象关于点对称，C错误；

对于D，当时，，则，

在上的值域为，D错误.

故选：B.

7、答案：B

解析：设，则，，

，

，或（舍去），

P为的重心，，为的中点，

，

故选：B．

8、答案： B

解析：因为在锐角中，，且，

所以，则，

所以，则或（舍去），所以，

，

因为为锐角三角形，，

所以，

所以，所以，

，

故选：B.

9、答案：AC

解析：对于A，，其中，

则，符合题意；

对于B，，则，不符合题意；

对于C，，令，

所以在,上单调递增，所以，

则，符合题意；

对于D，，

当时，，当且仅当，即时等号成立；

当时，，当且仅当，即时等号成立；

综上所述，，则，不符合题意.

故答案为：AC.

10、答案：ABC

解析：，其中a,，

若对一切则恒成立

所以，整理得，故

所以，

对于A：，故A正确；

对于B：

故B正确；

对于C： 因为，所以该函数不是奇函数，

因为，

所以该函数不是偶函数，故C正确；

对于D：当时，令，解得， D错误.

故选：ABC

11、答案：BCD

解析：对于A，当时，， ，

，当时取得最小值，所以的最小值为，A不正确；

对于B，若 ，， ，解得 ，

则存在唯一的y，使得，故B正确；

对于C，，若，，

，

，令 ，

解得：，

, ， ，所以C正确；

对于D， ，

若 ， 时，由C知：，所以，

则的最小值为，D正确.

故选：BCD.

12、答案： ABD

解析：A：若D为AB的中点，连接OD，则，故C,O,D共线，即O在中线CD上，同理可得O在其它两中线上，故O为的重心，正确；

B：若，由题设知，即O为的重心，

所以，，，，

则，正确；

C：由题设，若，,

所以，即O为的重心，则，

而，则，故，，

所以，错误；

D：由，则，

同理，，

因为O为的垂心，则，

所以，

同理得：，，

则，

令，,

由，则，

同理：，

，

综上，，

由已知可得，正确.

故选：ABD

13、答案：

解析：

，

，又

故答案为：

14、答案：

解析：因为,,

故,

,

以上两式相加可得,

即,

故.

故答案为:

15、答案：

解析：由得，即，

整理得 ，

解得，或(舍).

则.

故答案为：.

16、答案：

解析：由题可得，，即，

又，所以，则，

因为，所以，则，

所以，即，

又因为，，

所以，整理得，

所以，

解得或（舍去），

所以，当且仅当时，等号成立，

则，

故周长的最小值为.

故答案为：

17、答案：（1）   

（2）

解析：（1）因为，

所以，

所以.

（2）

.

18、答案：（1）   

（2）4

解析：（1）

由解得：，

故函数的单调递增区间为.

（2），，

又，，，

又，所以，

又因为，所以，

所以，当且仅当“”时取等

所以的最大值为4.

19、答案： （1）   

（2）证明见解析

解析：因为D,M,A三点共线，

所以存在实数m使得，

又因为B,M,C三点共线，

所以存在实数n使得，

根据向量相等可得，解得，

所以.

（2）设，

由（1）可得①，②，

又F,M,E三点共线，所以③，

由①②可得，，代入③式可得，

即不论点E,F在线段AC,BD上如何移动，为定值7.

20、答案：（1）,

（2）

（1）由题意，以O为坐标原点，为x轴正向建立如图平面直角坐标系，则，

,.故，所以，即,

（2）由（1），，即，

故，解得，其中，

故 ，即，，

故，

所以，故，

即的取值范围为

21、答案：（1）   

（2）或

解析：（1），得

从而，即，

，当且仅当时取等号．

的最小值为

（2）由于，从而，

又则，即，

将代入，得，

即，从而，

又，则，

解得或．

22、答案： 答案：（1）   

（2）

解析：（1）因为，则，

所以，则，所以为直角三角形，

所以

（2），所以，而，

所以设，所以，

令，

又因为，所以，

所以，

令，

因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，

所以的取值范围为.