四川省成都市蓉城名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省成都市蓉城名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市蓉城名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、下列求导运算正确的是(   )A.  B.C.  D.2、已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，，则(   )A.-4 B.-2 C.2 D.43、已知，，则向量与的夹角为(   )A.90° B.60° C.30° D.0°4、四边形ABCD为矩形，平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零是(   )A. B. C. D.5、在平面直角坐标系中，曲线，与x轴所围成的封闭区域的面积为(   )A.2 B.3 C. D.6、函数在上的最大值为(   )A. B. C.2 D.57、曲线在横坐标为1的点处的切线方程为(   )A. B. C. D.8、如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是(   )A. B.C. D.9、已知正四面体ABCD的棱长为1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为(   )A.1 B. C. D.10、若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为(   )A. B. C. D.11、在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么(   )A.1 B.2 C. D.12、定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是(   )A. B. C. D.二、填空题13、若直线l一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．14、直线l、m的方向向量分别为、，则直线l、m的夹角为______．15、圆柱内接于半径为3的球，当圆柱体积最大时其底面半径为______．16、1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．三、解答题17、计算:（1）定积分的值；（2）求函数的导数．18、已知函数在处有极值．（1）求a，b的值；（2）求的单调区间．19、已知曲线．（1）若，过点作的切线，求切线的方程；（2）当有3个零点时，求a的取值范围．20、如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，P，D分别为，BC，，的中点．（1）求证：面；（2）求平面PMN与平面夹角的余弦值．21、某商场销售某种商品，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：百元/件）满足关系式，其中，a为常数．已知销售价格为6百元/件时，每日可售出该商品11件．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为4百元/件，当销售价格x为多少百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润．22、已知函数．（1）当，时，证明：当时，；（2）若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
参考答案1、答案：B解析：，A错误；，B正确；，C错误；，D错误故选：B2、答案： A解析：因为向量，，是两两垂直的单位向量，，，所以，故选：A3、答案： A解析：因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.4、答案：A解析：根据题意，依次分析选项：对于A：若SC与BD垂直，又SA与BD垂直，则平面SAC与BD垂直，则AC与BD垂直，与AC与BD不一定垂直矛盾，所以SC与BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；对于B：根据题意，有平面ABCD，则，又由，则有平面SAB，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于C：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于D：根据题意，有平面ABCD，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.故选：A．5、答案：C解析：，的函数图象如图记，因为所以.所以所求面积为故选：C6、答案：D解析：由题意得，令，则 ，当时， ，函数递减；当时， ，函数递增，故 是函数在的极小值点，所以当时， ；当时， ；当时， ；故函数在上的最大值为5，故选：D7、答案：D解析：因为，所以，所以切线的斜率，又，所以切点坐标为，所以切线方程为，即，故选：D.8、答案：A解析：由函数的图象可知，函数的单调性为：增—减—增—减，故导函数的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数的图象可能是选项A.故选：A9、答案：C解析：因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD棱长都为1，所以，故故选：C．10、答案：D解析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，，而在区间上单调递减，，k的取值范围是：，故选：D．11、答案： B解析：如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则,，，，则，则，因为在棱上有唯一的一点E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因为，所以解得：故选：B12、答案： B解析：为奇函数，所以考虑函数，所以在R上单调递减，，的解集等价于的解集，即的解集为.故选：B.13、答案：垂直或解析：因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或14、答案：60°解析： ，，又两直线夹角范围是，直线l、m的夹角为．故答案为：．15、答案：解析：设圆柱底面半径为r，圆柱高为h，球的半径为R，则，即，所以圆柱的体积为，，由，可得，，,，所以当，即时，圆柱体积最大.故答案为：.16、答案： 答案：2解析：由题意可得：,故答案为：2.17、答案：（1）4（2）解析：（1）（2）18、答案： （1），    （2）单调递增区间是，；单调递减区间是解析：（1），又在处有极值，．即，解得，．经检验，当，时满足题意（2）由（1）可知，，令，得或；令，得；函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．19、答案：（1）和    （2）解析：（1）因为，所以，所以，设所求切线的切点坐标为，切线斜率为，则所求切线方程为．因为切线过点，所以，即，解得：或-1．所以或-1．即所求的切线有两条，方程分别是和．即和．（2），令，解得，．令，得或，在上为增函数，令，得，在上为减函数，所以的极大值为，极小值为．因为有3个零点，所以，解得：．所以a的取值范围是20、答案：（1）证明见解析；    （2）.解析：（1）解法一：以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，．取向量为平面的一个法向量，，，．又，平面．解法二P，D分别为，的中点，，且平面，平面，平面，D，N分别为，BC的中点，，且平面，平面，平面，又，平面平面，又平面PDN，平面．（2）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，．，．取向量为平面的一个法向量，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，则．．由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，平面PMN与平面夹角的余弦值为．21、答案：（1）    （2）销售价格为5百元或8百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大为42百元解析：（1）由题意得，，解得．（2）由（1）得，商场每日销售该商品所获得利润为，∴，令，解得或7，列表得x，，的变化情况如下：x57＋0－0＋↗极大值↘极小值↗，，故销售价格为5百元或8百元时商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为42百元．22、答案： （1）证明见解析    （2）解析：（1）由题意得，则，当时，，在上是减函数，∴，设，在上是增函数，，当时，．（2），且，令，得或a，①当时，则，单调递减，函数没有极值；②当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，在取得极大值，在取得极小值，则；③当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，在取得极大值，在取得极小值，由得：，综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．