2023年陕西省西安市莲湖区中考四模数学试题

2023年陕西省西安市莲湖区中考四模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A． B．2023 C． D．

2．如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（    ）

A．30° B．45°

C．60° D．75°

3．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（        ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，，，点D为的中点，于点E，则的长是（        ）

A．1 B． C．3 D．6

6．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（        ）

A． B． C． D．

7．如图，内接于，是的直径，若，则的大小为（        ）

A． B． C． D．

8．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（        ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．比较大小：___________（填“＞”“＜”或“＝”）．

10．一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则___________．

11．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示的是一位古人记录的当天捕鱼的条数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，这位古人当天捕鱼的条数是___________．

12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像在第二象限交于点C，若，则k的值为___________．

13．如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________．

三、解答题

14．计算：

15．解不等式组：．

16．解分式方程：．

17．如图，在中，，，在边上求作一点P，使得．（要求：不写做法，保留作图痕迹）

18．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．

19．袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国科学院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻43200千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？

20．古城西安历史文化悠久，旅游资源丰富，共有十六个朝代在这里建都，这也使西安成为世界著名的文化旅游城市．寒假期间，小欣邀请她的好友小颖来西安游玩，她为好友推荐了四个游览地，分别是：A．大雁塔，B．钟楼，C．陕西省历史博物馆，D．西安城墙，小欣将A、B、C、D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小欣从中随机抽取一张卡片．

(1)小颖抽到卡片D的概率是 ；

(2)请用列表法或画树状图法求小欣和小颖两人抽取到同一个景点的概率．

21．如图，小明想测量建筑物的高度，已知斜坡米，斜坡的坡度为，建筑物底端和斜坡的底端在同一水平线上，小明从坡顶处沿水平方向前行若干米后至点处，在点处用仪器测得该建筑物的顶端的仰角为，到建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，你能帮小明计算出建筑物的高度吗？（结果保留根号）

22．甲、乙两个商场出售相同品牌的运动衣，每件售价均为元，并且多买都有一定的优惠甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．某学校运动队需要购买运动衣x件，甲商场收费元．乙商场收费元．

(1)分别求出、与x之间的关系式；

(2)当购买3件运动衣时，应选择哪个商场购买更优惠？请说明理由．

23．为进一步推进“双减”政策，提升学校课后服务水平，某校增设以下拓展课程丰富学生的课余生活．分别有A．编程，B．厨艺，C．园艺，D．礼仪，学校就“我最喜欢的拓展课程”从以上A、B、C、D四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），并将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：

(1)共调查了 名学生；D选项所对应的圆心角度数为 ；请补全条形统计图；

(2)请你估计该校2000名学生中，有多少名学生喜欢厨艺拓展课程．

24．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于点E，点F是延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；

(2)连接，若，，求的半径．

25．有一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，如图1，以抛物线对称轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中点A，B在x轴上，点C在y轴上，且．

(1)求该抛物线的函数关系式

(2)在纸片中裁剪出一个正方形，如图2，其中点E，F在该抛物线上，点G，H在x轴上．求点F的坐标．

26．现有一个三角形广场，如图所示，经测量，的长度为100米，点B到线段的距离为50米，，均为锐角．点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），点F为边上一动点（点F不与点B，C重合），且．

(1)当的长为50米时，的面积为_______平方米；

(2)设点B关于的对称点为，与四边形的重叠部分的面积记为S平方米，现准备在该重叠部分内种花．请问重叠部分的面积S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可求解．

【详解】解：的倒数是，

故选：D．

【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．

2．C

【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．

【详解】解：，

ACEF，

故选C

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

3．C

【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．

【详解】解：， 故A不符合题意；

， 故B不符合题意；

， 故C符合题意；

， 故D不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．

4．C

【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答．

【详解】解：A、若，则平行四边形为矩形；不符合题意；

B、若，则平行四边形为正方形；不符合题意；

C、若，则平行四边形为菱形；符合题意；

D、若，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

5．B

【分析】先求出，再根据中线求出、，然后利用等腰三角形性质即可得出．

【详解】解：在中，

，，，

，

点D为的中点，

，

为等边三角形，

，

．

故选：B

【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质定理、等腰三角形三线合一等知识点，直角三角形性质定理的运用是解题关键．

6．C

【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．

【详解】解：由题意得：方程组的方程与直线与的表达式相同，

直线的交点坐标即为方程组的解，

将带入中，

解得：，

方程组的解为：．

故选：C

【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．

7．A

【分析】连接，根据是的直径，求出，根据，得出，即可求出结果．

【详解】解：连接，如图所示：

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基础知识，求出，．

8．D

【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．

【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，

所以对称轴，

设点A的对称点为，

所以，

解得，

因为抛物线开口向上，

所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，

因为，

所以．

故选D．

【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．

9．＞

【分析】由，，从而可得答案.

【详解】解：∵，，而，

∴，

故答案为：.

【点睛】本题考查的是实数的大小比较，理解算术平方根的含义是解本题的关键.

10．10

【分析】由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案．

【详解】解：∵一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，

∴正多边形的每一个外角为：，

∴，

故答案为：10．

【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．

11．

【分析】由题可知，捕鱼的条数的五进制数为，化为十进制数即可．

【详解】解：根据题意得：

捕鱼的条数的五进制数为，

化为十进制数为：（条），

∴捕鱼的条数是条．

故答案为：．

【点睛】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力．解题的关键是会将五进制转化成十进制．

12．

【分析】过点C作于点D，根据，结合，利用平行线分线段成比例定理，计算，确定代入解析式计算．

【详解】解：过点C作于点D，

∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是的中位线，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，反比例函数，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题的关键．

13．/

【分析】作E关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论

【详解】解：作E关于的对称点，在上截取，连接，，，

则，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵，E为的中点，

∴，

由勾股定理得，

即的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定与性质，以及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．

14．

【分析】利用算术平方根定义，负整数指数幂，绝对值的性质化简，计算即可．

【详解】原式

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．

15．

【分析】根据不等式的性质，解不等式的方法分别求出两个不等式的解，再根据不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”，由此即可求解．

【详解】解：

解不等式，

去括号，得

移项，

合并同类项，系数化为，；

解不等式，

去分母，得，

移项，，

合并同类项，，

系数化为，；

∴原不等式组的解集为：．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．

16．

【分析】等式的两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解整式方程，并将解得的值代入最简公分母检验即可．

【详解】解：变形得，

去分母得，

去括号得，

移项得，

合并得，

系数化为1得，

经检验：是原分式方程的解，

故原分式方程的解为．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的过程是解题关键．

17．见解析

【分析】作线段的垂直平分线交于点P即可．

【详解】解：作线段的垂直平分线交于点P，

则点P即为所求．

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．

18．见解析.

【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AC=AD，AB=AE可证明△ABC≌△AED．

【详解】∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠EAD．

在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC≌△AED（SAS）．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

19．杂交水稻的亩产量为960千克

【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据共收获水稻43200千克，列出方程并解出即可．

【详解】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克．

根据题意得，解得．

杂交水稻亩产量为千克

答：杂交水稻的亩产量为960千克．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据概率的公式计算，用偶数的等可能性除以所有等可能性即可．

（2）画树状图计算即可．

【详解】（1）∵一共有4种等可能性，其中D有1种等可能性，

∴小颖抽到卡片D的概率是．

故答案为：．

（2）列表如下：

共有16种等可能结果，其中小欣和小颖两人抽取到同一景点的有4种，

故P（两人抽取到同一个景点）．

【点睛】本题考查了概率的计算公式，画树状图或列表法求概率，熟记公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．

21．建筑物的高度为

【分析】过点作于点，延长交于点，则四边形为矩形，由斜坡的坡度为，设，，在中，，进而得出，解，，求得，，进而根据，即可求解．

【详解】解：过点作于点，延长交于点．

由题意得

四边形为矩形

斜坡的坡度为

设，

在中，

在中，，

在中，，

答：建筑物的高度为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

22．(1)，；

(2)当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠，理由见解析．

【分析】（1）根据甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．可以得到，与x之间的关系式；

（2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的函数值，然后比较大小即可．

【详解】（1）解：，

即；

，

即；

（2）当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠．

当时，

；

．

∵

∴当购买3件运动衣时，应选乙商场更优惠．

【点睛】本题考查在实际背景下，列函数解析式和求函数值，解答本题的关键是根据题意列出满足条件的函数关系式．

23．(1)50；，补全图形见解析

(2)有800名学生喜欢厨艺拓展课程

【分析】（1）用A选项的人除以其所占的百分比，可得调查的总人数，再求出B选项的人数，从而得到D选项的人数，再用乘以D选项所占的百分比，即可；

（2）用2000乘以B选项所占的百分比，即可．

【详解】（1）解：共调查了名学生，

∴B选项的人数为名，

∴D选项的人数为名，

∴D选项所对应的圆心角度数为；

补全条形统计图，如下：

故答案为：50；

（2）解：（名）

答：有800名学生喜欢厨艺拓展课程．

【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)的半径为

【分析】（1）连接，利用点C是半圆的中点得出，之后通过等量代换和等边对等角进一步得出从而证明结论即可；

（2）通过得出，再证明从而得出，,之后进一步求解即可.

【详解】（1）证明：连接

∵点C是半圆的中点

∴，

∴

∵

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴，即

又∵为的半径

∴为的切线

（2）解：∵为的直径

∴

∵

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴即

∴，

∴

∴的半径为

【点睛】本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关概念是解题关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）设正方形的边长为x，则，根据点F在抛物线上，列出方程，解方程即可．

【详解】（1）解：由题意得，，，

设抛物线的表达式为，

将代入得，

∴，

即．

（2）解：设正方形的边长为x，则，

∵点F在抛物线上，

∴，

又∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正方形的性质，求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．

26．(1)625

(2)存在，当m时，S最大，最大值为

【分析】（1）不妨设点B到线段,的距离分别为，，根据，得到，求出，即可求解；

（2）由题意得．设EF的长度为x米，证明出，得到，再进行分类讨论①当点落在四边形内或边上时，；②当落在四边形外时，．

【详解】（1）解：不妨设点B到线段,的距离分别为，，

，

∴，

，

，

解得：，

，

故答案为：625；

（2）解：存在．由题意得．

设的长度为x米，

∵，

∴，，

∴

∴，即

∴．

分两种情况讨论：

①当点落在四边形内或边上时，，

如图，此时，

所以当时，S的最大值为625．

②当落在四边形外时，，

如图2，连接，与EF交于点M，与交于点N，

连接，与交于点G，连接，与交于点H，

∵，

∴

∴，

即

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴

即∴

∴

∴

当时，S最大，最大值为．

综上所述，当m时，S最大，最大值为．

【点睛】本题考查了三角形的相似，二次函数的应用，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．