高考数学二轮复习专题14 不等式选讲解答题30题 教师版

这是一份高考数学二轮复习专题14 不等式选讲解答题30题 教师版，共27页。试卷主要包含了已知函数，.，已知函数.，已知函数的最小值为，已知，均为正数，且，证明，已知，已知函数，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
专题14 不等式选讲解答题30题

1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数，.
(1)当a=2时画出函数的图象，并求出其值域；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)图象见解析，
(2)

【分析】（1）将函数写出分段函数形式，画出函数图象，数形结合求出值域；
（2）化简得到，利用绝对值三角不等式，求出，从而得到，求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，,
作出图象如图所示，

由图可知函数在单调递减，在单调递增，，所以函数值域为.
（2）恒成立，即恒成立，
因为，
因为，所以或，
所以a的取值范围为
2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用绝对值的几何意义将表示成分段函数形式，即可解不等式；
(2)利用绝对值不等式得，进而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
当时，,不等式转化为，解得.
当时，,不等式转化为，无解.
当时，,不等式,
转化为，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得或.
故的取值范围为.
3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数的最小值为．
(1)求不等式的解集；
(2)若a，b都是正数且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解，即可得解；
（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）解：，
或或，
解得：或或，
不等式的解集为.
（2）解：由，
当且仅当时，取得最小值，且最小值为，则；
即，又、，
所以，当且仅当，即、时取等号，
即的最小值为.
4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解

【分析】（1）由柯西不等式的一般形式证明即可；
（2）结合（1）可得，再利用基本不等式证明即可．
【详解】（1）由柯西不等式有
，
∴，
当且仅当时，取等号．
（2）∵，∴，
∴又，∴，
当且仅当，即时取等号，∴．
5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，正实数，，满足，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.
（2）先求的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.
【详解】（1）
即：
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，无解，
综上：不等式的解集为．
（2）方法1：，
当且仅当时等号成立．所以，所以，即.
方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以,所以，即.
∴

，
当且仅当，即时，等号成立．
6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解

【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立，
∴函数的最小值为，则，
又∵，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
上式相加可得：，当且仅当时等号成立，
∴.
7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，若函数的图象恒在图象的上方，证明：.
【答案】(1)或
(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论的范围得到的解析式，然后列不等式求解即可；
（2）根据的单调性得到，然后根据函数的图象恒在图象的上方得到，即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为或.
（2）证明：当时，，
所以当时，取得最大值，且.
要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足，即，原不等式得证.
8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后分别列出不等式求解即可得到结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．
【详解】（1）当时，
等价于或或
解得或，
∴不等式的解集为或；
（2）由绝对值三角不等式可得，
∴若恒成立，则，即，
或，解得，
的取值范围为．
9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数.
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若的最小值为1，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）采用分类讨论，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；
（2）利用绝对值三角不等式可得，将变形，结合基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）依题意，当，时，得，
则，即，所以,
当时，，解得，所以；
当时，，无解；
当时，，解得,即，
故不等式的解集为.
（2）依题意，，
当且仅当时取等号，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为2.
10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数，．
（）解不等式．
（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）或．
【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．
【详解】（）由，得，
∴，
得不等式的解为．
故解集为：
（）因为任意，都有，使得成立，
所以，
又，
，所以，
解得或，
所以实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学 (文科)试题）已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）用平方法去绝对值将绝对值不等式转化为一元二次不等式，即可求解．
（2）将转化为，，即证即可．将函数转化为分段函数，根据各段的单调性即可求得的最小值．
【详解】（1）当时，由得，
两边平方整理得，解得或
∴原不等式的解集为
（2）由得 ，令，即
当时，单调递减，
当时， 单调递增，
当时，单调递增，
故 ，
故可得到所求实数的范围为．
12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）当时，写出函数的解析式，再分类讨论分别求出不等式的解集，即可得解；
（2）依题意可得，利用绝对值的三角不等式求出，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可；
【详解】（1）解：当时，，
当时，令，解得.
当时，不等式无解.
当时，令，解得.
因此，不等式的解集为或.
（2）解：因为恒成立，所以.
因为
当且仅当时取等号，
所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分，，三种情况求绝对值不等式的解集；
（2）利用绝对值的三角不等式求出，求解有解，即，解不等式即可求出答案.
【详解】（1）当时，不等式，即．
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，无解．
综上，当时，不等式的解集为．
（2）因为，当且仅当时等号成立．若关于x的不等式有解，则，即，所以实数a的取值范围是．
14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式；
（2）若正实数满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分，，解对应不等式，再取并集即可；
（2）由结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，解得，则；当时，，显然无解；
当时，，解得，则；综上：或；
（2）
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数，且的解集为．
(1)求m的值；
(2)设a，b，c为正数，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）由几何意义解绝对值不等式
（2）由柯西不等式求解
(1)
由，得
所以
又的解集为，
所以，解得
(2)
由（1）知，
由柯西不等式得

所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3
16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号后，解不等式即可；
（2）将不等式化为；分别在和时，根据恒成立的思想可构造不等式组求得结果.
(1)
当时，；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
(2)
当时，，即；
①当时，，即恒成立；
，解得：；
②当时，，即恒成立；
，不等式组解集为；
综上所述：实数的取值范围为.
17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）解：当时，，
原不等式可化为；
当时，原不等式可化为，即，解得，此时解集为；
当时，原不等式可化为，解得，此时解集为；
当时，原不等式可化为，即，显然成立；此时解集为；
综上，原不等式的解集为；
（2）解：当时，因为，所以由可得，
即，显然恒成立，所以满足题意；
当时，，
因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；
综上，的取值范围是.
18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数，其中为实常数．
（1）若函数的最小值为3，求的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）的值为1或-5；（2）的取值范围是．
【详解】试题分析：（1）因为，则；令，即可求得的值；（2）当时，由，得，即．
据题意，，解不等式组得的取值范围是．
试题解析：（1）因为，
当且仅当时取等号，则．
令，则或．
（2）当时，，．
由，得，即，即．
据题意，，则，即．
所以的取值范围是．
考点：1、绝对值不等式；2、最值问题．
19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m≥0，函数的最大值为4，
(1)求实数m的值；
(2)若实数a，b，c满足，求的最小值.
【答案】(1)m＝2
(2)

【分析】（1）利用绝对值三角不等式，可得，结合函数的最大值为4，即可求实数的值；
（2）根据柯西不等式得：，即可求的最小值．
【详解】（1）
∵m≥0，∴，当时取等号，
∴，又的最大值为4，∴m＋2＝4，即m＝2.
（2）根据柯西不等式得：，
∵，∴
当且仅当，即，，时等号成立.
∴的最小值为.
20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学 (理) 试题）已知函数f（x）＝2|x＋1|＋|x－3|．
(1)求不等式f（x）>10的解集；
(2)若函数的最小值为M，正数a，b，c满足a＋b＋c＝M，证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；
（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上所述，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
所以M＝8，所以a＋b＋c＝8．
因为，，，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故．
21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)记的最小值为m，若，，，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】(1)分类讨论去绝对值符号解不等式即可；
(2)根据绝对值的性质求出m，则由得，然后利用基本不等式即可求其最小值.
【详解】（1）即为，
记
∴不等式的解转化为：
；
或；
或，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题可知，，当且仅当时取等号.
∴，∴，即为，
则，当且仅当，即，即，时取等号.
22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若存在，使得，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分类讨论取绝对值可求出不等式的解集；
（2）去绝对值转化为不等式组在时有解，进一步转化为可求出结果.
【详解】（1）当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为，整理得，所以.
当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解集是空集.
当时，原不等式可化为，整理得，所以.
综上，当时，不等式的解集为.
（2）若存在，使得，即存在，使得①.
①式可转化为，即②.
因为，所以②式可化为③，
若存在使得③式成立，则，即，
所以，即a的取值范围为.
23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分、、讨论去绝对值解不等式可得答案；
（2）转化为对任意的，不等式恒成立，令，求出的最小值可得答案.
【详解】（1）由不等式得，即，
当时，得，解得；
当时，得，解得；
当时，得，解得；
所以不等式的解集为；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，
则对任意的，不等式恒成立，
令，，
当时，，因为，所以，
当时，，因为，所以，
所以，所以.
若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是.
24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数的最小值为．
(1)求的值；
(2)设为正数，且，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，得到解析式，进而可得最小值；
（2）方法一：利用基本不等式化简左侧分式的分子，将所得不等式右侧式子改写为，再次利用基本不等式可证得结论；
方法二：将所证不等式拆分成形如的形式，利用基本不等式可求得，以此类推，加和即可证得结论.
【详解】（1）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：的最小值.
（2）由（1）知：，
方法一：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）.
方法二：（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）．
25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分，和讨论，即可求得不等式的解集；
（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
当时，令，即，所以；
当时，此时恒成立，所以；
当时，令，即，所以，
所以不等式的解集为.
（2）由二次函数，
知函数在取得最大值，
因为，在处取得最小值2，
所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.
只需，即.
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.
26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)或.

【分析】（1）首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；
（2）利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可.
【详解】（1）化简得，
当时,,
当时等号成立,所以的最小值为2;
（2）由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立.
又因为,
当且仅当时,等号成立.
所以,
或
或.
27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知，函数的最小值为3．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析

【分析】（1）利用绝对值不等式即可求出；
（2）利用乘“1”法求出，则，则，移项即可.
【详解】（1）因为,
当且仅当时,等号成立,
又,所以.
（2）由（1）知,又,
所以,
当且仅当，联立，即时等号成立,
所以,
则
即
28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数．
(1)当付，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分别在，，条件下化简绝对值不等式，并求其解集；
（2）利用绝对值三角不等式得到，依题意可得，解绝对值不等式即可
【详解】（1）当时，，
当时，恒成立；
当时，即，解得；
当时，即，解得；
综上，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，故，
所以或，解得.
所以的取值范围是.
29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式的解集为．
(1)求证：；
(2)试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）分讨论去绝对值求出集合，再利用绝对值三角不等式即可证明；
（2）首先根据题意得到，再计算与平方的大小，即可得到答案.
【详解】（1）不等式，
或或或或，
即，
由，知，得，于是
；
（2）．理由如下：
由得，知，
所以，
得，即．
30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分区间法去掉绝对值，将不等式转化为三个不等式，分别求解取并集即可得到结果；
（2）利用零点分区间法去掉绝对值，然后对分，，分别求函数的最小值，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
则不等式可转化为或，解得或，
即不等式的解集为.
（2）当时，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时不存在，使得成立；
当时，，在上单调递减，
在上恒为，在上单调递增，则，
此时不存在，使得成立；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
令，得；
综上，实数的取值范围是.