中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习八（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习八
抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．
(1)直接写出点A、B的坐标为 　 ；抛物线的解析式为 　 ．
(2)如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；
(3)如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．







如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．







已知点A(﹣2，0)，B(3，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A，B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．
①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；
②直接写出PH＋PQ的取值范围．






如图，抛物线f(x)：y＝a(x＋1)(x﹣5)与x轴交于点A、B(点A位于点B左边)，与y轴交于点C(0，．
(1)求抛物线f(x)的解析式；
(2)作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f(x)沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'(x)．在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'(x)于点P．当△ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标．







如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点.
(1)当m=2时,a= ,当m=3时,a= ；
(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系，并证明你的结论；
(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为 a= ；
(4)利用(2)(3)中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．







如图，抛物线y=﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(5，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m＋5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D(A与D不重合)，与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
(1)当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
(2)求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m＋5恒有两个交点．
(3)当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(4)当抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．






如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x＋2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
(3)将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．







中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习八（含答案）答案解析


一 、综合题
解：(1)令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)；
令x＝0，则y＝﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，即OC＝﹣3a，
∴S＝×4×(﹣3a)＝6，解得a＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3．
故答案为：A(﹣1，0)，B(3，0)；y＝﹣x2＋2x＋3．
(2)由(1)知，A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴OA＝1，OC＝3，AB＝，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴S△OAC＝OAOB＝ACOG
∴×1×3＝×OG，
∴OG＝，设点D到直线AC的距离h＝＝2OG，
延长GO到点G′，使得OG′＝OG，过点G′作AC的平行线与x轴交于点A′，与抛物线在第一象限内交于点D，

∴∠GAO＝∠G′A′O，
∵∠GOA＝∠G′OA′，
∴△GAO≌△G′A′O(AAS)，
∴OA＝OA′＝1，
∴A′(1，0)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：y＝3x＋3，
∴直线A′G′的解析式为：y＝3x﹣3，
令3x﹣3＝﹣x2＋2x＋3，解得x＝2或x＝﹣3，
∵点D在第一象限，
∴D(2，3)．
(3)如图，过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，
设M(x1，﹣x12＋2x1＋3)，N(x2，﹣x22＋2x2＋3)，P(x0，﹣x02＋2x0＋3)，
则：ME＝﹣x12＋2x1＋3﹣(﹣x02＋2x0＋3)
＝﹣x12＋2x1＋x02﹣2x0＝﹣(x1﹣x0)(x1＋x0)＋2(x1﹣x0)＝(x0＋x1﹣2)(x0﹣x1)，
PE＝x0﹣x1，
FN＝﹣x02＋2x0＋3﹣(﹣x22＋2x2＋3)＝﹣(x0＋x2﹣2)(x0﹣x2)，
PF＝x0﹣x2，
∵PQ恰好平分∠MPN，即∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴＝，
∴＝，∴x0＝，
∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
∵MN∥AC，
∴设直线MN的解析式为y＝3x＋b，
令3x＋b＝﹣x2＋2x＋3，
由消去y整理得：x2＋x﹣3＋b＝0，
由韦达定理可知：x1＋x2＝﹣1，
∴x＝，∴P(，)．


解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，
把A、B两点坐标代入上式，，解得：，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，∴，设OP＝x，则PB＝3﹣x，∴，
∴OE＝，
∵0＜x＜3，∴x=时，线段OE长有最大值，最大值为．
即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是．
(3)存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，

∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0，y＝﹣3，∴N点坐标为(0，﹣3)，
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴，∴，∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)，
∴MH＝a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2+3a，
∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，
∵－