中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习六（含答案）

这是一份中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习六（含答案），共16页。试卷主要包含了B两点，与y轴交于点C．等内容，欢迎下载使用。
中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习六1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．      2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,﹣4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P(m,n)在第一象限的抛物线上，且m＋n＝9，求点P的坐标；在线段PA上确定一点M，使DM平分四边形ACDP的面积，求点M的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接OQ、AQ，设AOQ的外心为H，当sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标．      3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A(﹣4，0)，B(0，4)两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．      4.如图1．抛物线y=﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B(4，0)．(1)若C(0，3)，求抛物线的解析式．(2)在(1)的条件下，P(﹣2，m)为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求PQ＋BQ的最小值，并求此时点Q的坐标．(3)如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．      5.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A(4，0)，∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)为关于点A，E的“伴随抛物线”．(1)如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为 　  　，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为 　        　；(2)如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2＋bx(a≠0)存在，直接写出a的取值范围．      6.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)三点，直线y=kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线和抛物线的解析式；(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；(3)点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标.      7.已知，如图1，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，点D是线段AO上一动点，连接CD、BD.(1)求出抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线的对称轴分别交BD、CD于点E、F，当△DEF为等腰三角形时，求出点D的坐标；(3)当∠BDC的度数最大时，请直接写出OD的长.      8.抛物线y＝x2﹣2x＋m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；(3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习六（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)将点A(﹣2，0)、B(6，0)、C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；(2)如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P(t，t2﹣t﹣3)，则F(t，t﹣3)，∴PF＝t﹣3﹣t2＋t＋3＝﹣t2＋t，∵A(﹣2，0)，∴E(﹣2，﹣4)，∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣3)2＋，∴当t＝3时，有最大值，∴P(3，﹣)；(3)∵P(3，﹣)，D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D(3，6)；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D(3，﹣9)；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T(3，﹣)，BC＝3，设D(3，m)，∵DT＝BC，∴|m＋|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D(3，﹣)或D(3，﹣﹣)；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，﹣9)或(3，﹣﹣)或(3，﹣)． 2.解：(1)顶点的坐标为，设，将代入，解得，；(2)点，则，而，解得：或4，点在第一象限的抛物线上，点；顶点的坐标为．直线的解析式为，，，点，，直线的解析式为，，，，，点在线段上，平分四边形的面积，设，，，解得，点的坐标为，；(3)如图，作的外心，作轴，则，，在的垂直平分线上运动，依题意，当最大时，即最大时，是的外心，，即当最大时，最大，，，则当取得最小值时，最大，，即当直线时，取得最小值，此时，，在中，，，，根据对称性，则存在，，综上所述，，或，． 3.解：(1)把A(﹣4，0)，B(0，4)代入y=ax2+2xa+c得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；(2)如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，由直线DE的解析式为：y=x+5，则E(0，5)，∴OE=5，∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，∴∠EPA′=∠OEF，∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，∴△PEA′≌△EFB′，∴PA′=EB′=﹣t，则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+；(3)如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，∵EH⊥ED，∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，∴FB′=A′E=5﹣(﹣t2﹣t+4)=t2+t+1，∴F(t2+t+1，5+t)，∴点H的横坐标为：t2+t+1，y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，∴H(t2+t+1，﹣t2﹣t+4)，∵G是DH的中点，∴G(，)，∴G(t2+t﹣2，﹣t2﹣t+2)，∴PH∥x轴，∵DG=GH，∴PG=GQ，∴=t2+t﹣2，t=±，∵P在第二象限，∴t＜0，∴t=﹣，∴F(4﹣，5﹣)． 4.解：(1)把B(4，0)，C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋3．(2)∵P(﹣2，m)为该抛物线y＝﹣x2＋x＋3上一点，∴m＝﹣×(﹣2)2＋×(﹣2)＋3＝﹣，∴P(﹣2，﹣)，如图1，过点Q作QH⊥BC于点H，作PH′⊥BC于点H′，PH′交x轴于点Q′，交y轴于点G，连接PQ，则∠BHQ＝∠BOC＝90°，∵B(4，0)，C(0，3)，∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∵∠QBH＝∠CBO，∴△BQH∽△BCO，∴＝＝，∴QH＝BQ，∴PQ＋BQ＝PQ＋QH，当P、Q、H在同一条直线上，且PH⊥BC时，PQ＋QH最小，即PQ＋BQ＝PH′为最小值，过点P作PK⊥y轴于点K，则∠PKG＝∠CH′G＝90°，PK＝2，CK＝3﹣(﹣)＝，∵∠PGK＝∠CGH′，∴△PGK∽△CGH′，∴∠GPK＝∠GCH′，∴tan∠GPK＝tan∠GCH′＝tan∠BCO＝＝，∴＝，∴GK＝×2＝，∴G(0，﹣)，设直线PG的解析式为y＝kx＋d，则，解得：，∴直线PG的解析式为y＝x﹣，令y＝0，得x﹣＝0，解得：x＝，∴Q(，0)，∵cos∠GPK＝cos∠BCO＝，∴＝cos∠GPK＝，∴PG＝PK＝，∵CG＝3﹣(﹣)＝，sin∠GCH′＝sin∠BCO＝＝，∴GH′＝CGsin∠GCH′＝×＝，∴PH′＝PG＋GH′＝＋＝，故的最小值为，此时Q(，0)，(3)把B(4，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得0＝﹣×42＋4b＋c，∴b＝3﹣c，∴y＝﹣x2＋(3﹣c)x＋c，令y＝0，得﹣x2＋(3﹣c)x＋c＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣c，∴A(﹣c，0)，∴OA＝c，∵C(0，c)，∴OC＝c，设E(t，﹣t2＋bt＋c)，过点E作EF⊥x轴于点F，如图2，则EF＝﹣[﹣t2＋(3﹣c)t＋c]＝t2＋(c﹣3)t﹣c，AF＝t﹣(﹣c)＝t＋c，∵AE∥BC，∴∠EAF＝∠CBO，∵∠AOD＝∠BOC＝90°，∴△ADO∽△BCO，∴＝，即＝，∴OD＝c2，∵EF∥OD，∴△ADO∽△AEF，∴＝＝，∵DE＝7AD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴AF＝8OA，EF＝8OD，∴，解得： (舍去)或，故c的值为2． 5.解：(1)如图，连接CE，过点E作E′作x轴的垂线于点E′，过点C作CC′⊥x轴于点C′，∴CC′＝，∵∠AOC＝60°，∴OC＝2，由旋转可知，OE＝OC＝2，∠EOC＝60°，∴△COE是等边三角形，∴∠EOE′＝60°，∴OE′＝1，EE′＝，∴E(﹣1，)．将A(4，0)，E(﹣1，)代入抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣；故答案为：(﹣1，)；y＝x2﹣；(2)①由旋转可知，点E在线段C′B′上运动，过点C作CE⊥C′B′于点E，点E即为所求，过点E作y轴的垂线，过点C′作x轴的垂线，交EM于点M，交x轴于点N，由题意可知，CC′＝2，由旋转可知，△OBC≌△OB′C′，∴C′B′＝CB＝OA＝4，∠OCB＝∠OC′′＝120°，∵∠OC′C＝60°，∴∠B′C′C＝60°，CC′＝OC＝2，∴C′E＝1，CE＝，∴ME＝，C′M＝，∴E(﹣，)．将A(4，0)，E(﹣，)代入抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为：y＝x2﹣．②如图，过点B′作x轴的平行线，交MN于点P，∴B′P＝2，PC′＝2，∴B′(1，3)，将B′(1，3)，A(4，0)代入抛物线的解析式y＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4．结合图象可知，a的取值范围为：＜a＜；﹣＜a＜0． 6.解：(1)把点B(4，0)，C(0，2)代入直线y=kx+t，得：，解得，∴y=﹣x+2；把点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)代入y=ax2+bx+c，得：，解得，∴y=x2﹣x+2；(2)设点D坐标为(m， m2﹣m+2)，E点的坐标为(m，﹣ m+2)，∴DE=(﹣m+2)﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2，∴当m=2时，DE的长最大，为2，当m=2时， m2﹣m+2=﹣1，∴D(2，﹣1)；(3)①当D在E下方时，如(2)中，DE=﹣m2+2m，OC=2，OC∥DE，∴当DE=OC时，四边形OCED为平行四边形，则﹣m2+2m=2，解得m=2，此时D(2，﹣1)；②当D在E上方时，DE=(m2﹣m+2)﹣(﹣m+2)=m2﹣2m，令m2﹣2m=2，解得m=2±2，∴此时D(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)，综上所述，点D的坐标是(2，﹣1)或(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形. 7.解：(1)∵AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，∴A(0，4)，B(2，4)，C(5，0)，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；(2)如图，过点B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴点H，G的横坐标为2，∵EF⊥OC，∴EF∥BH，∵△DEF是等腰三角形，∴△BDH是等腰三角形，设D(0，5m)(0≤m≤)，∵C(5，0)，∴直线CD的解析式为y=﹣mx+5m，∴H(2，3m)，∴BH=4﹣3m，∴BH2=9m2﹣24m+16，DH2=4+(5m﹣3m)2=4+4m2，BD2=4+(5m﹣4)2=25m2﹣40m+20，当BD=DH时，25m2﹣40m+20=4+4m2，∴m=(舍)或m=，∴5m=，∴D(0，)，当BD=BH时，25m2﹣40m+20=9m2﹣24m+16，∴m=，∴D(0，)，当BH=DH时，9m2﹣24m+16=4+4m2，∴m=或m=(舍)，∴D(0，12﹣2)，即：当△DEF为等腰三角形时，点D的坐标为(0，)或(0，)或(0，12﹣2)；(3)如图1，过点B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴四边形OABG是矩形，点H，G的横坐标为2，∴∠OAB=∠ABG=90°，∴OG=2，∵OC=5，∴CG=3，∵B(2，4)，∴BG=4，过点B作BQ⊥CD，∴∠BQD=90°，∴要∠BDC最大，∴∠DBQ最小，即：BD⊥BC时，∠DBQ最小，∴∠DBC=90°=∠ABG，∴∠ABD=∠CBG，∵∠BGC=∠BAD=90°，∴△ABD∽△GBC，∴，∴，∴AD=，∴OD﹣OA﹣AD=. 8.解：(1)∵抛物线y＝x2﹣2x＋m＝(x﹣1)2＋m﹣1的顶点A(1，m﹣1)在x轴上，∴m﹣1＝0，∴m＝1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＋1；(2)∵y＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，∴顶点A(1，0)，令x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，在Rt△AOB中，AB＝，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋1，∵CD∥AB，∴设直线CD的解析式为y＝﹣x＋d，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则x2﹣2x＋1＝﹣x＋d，整理得：x2﹣x＋1﹣d＝0，∴xC＋xD＝1，xCxD＝1﹣d，yC＝﹣xC＋d，yD＝﹣xD＋d，∴yC﹣yD＝(﹣xC＋d)﹣(﹣xD＋d)＝xD﹣xC，∵，∴CD＝3AB＝3，∴CD2＝(3)2＝18，∴(xC﹣xD)2＋(yC﹣yD)2＝18，即(xC﹣xD)2＋(xD﹣xC)2＝18，∴(xC﹣xD)2＝9，∴(xC＋xD)2﹣4xCxD＝9，即1﹣4(1﹣d)＝9，解得：d＝3，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或﹣1，∴C(2，1)，D(﹣1，4)，设直线CD：y＝﹣x＋3交y轴于点K，令x＝0，则y＝3，∴K(0，3)，∴OK＝3，∴S△COD＝OK×|xC﹣xD|＝×3×3＝；(3)如图2，过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H，则AM∥EG∥FH，∴＝，＝，设直线PM的解析式为y＝kx＋n，当x＝1时，y＝k＋n，∴P(1，k＋n)，当y＝0时，kx＋n＝0，解得：x＝﹣，∴M(﹣，0)，∴AM＝|1﹣(﹣)|＝||，由x2﹣2x＋1＝kx＋n，整理得：x2﹣(k＋2)x＋1﹣n＝0，则xE＋xF＝k＋2，xExF＝1﹣n，∵EG＝|xE﹣1|，FH＝|xF﹣1|，∴＋＝＋＝，当k＜0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1左侧，∴EG＝|xE﹣1|＝1﹣xE，FH＝|xF﹣1|＝1﹣xF，AM＝||＝，∴＋＝＝＝＝，∴＋＝AM×(＋)＝×＝1；当k＞0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1右侧，∴EG＝|xE﹣1|＝xE﹣1，FH＝|xF﹣1|＝xF﹣1，AM＝||＝﹣，∴＋＝＝＝＝﹣，∴＋＝AM×(＋)＝﹣×(﹣)＝1；综上所述，的值为1．