中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2＋bx＋c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，＋是定值，并求出该定值；(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．      2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA＋DB的最小值.      3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ＋QP＋PC的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．      4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B．(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．      5.如图，经过点A(0，－4)的抛物线y=x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y=x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．       6.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C(0，2)．(1)请直接写出A、B的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式；(3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．      7.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(﹣3，0)两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．(3)设(1)中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．      8.已知抛物线y=﹣x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(﹣4，0)，B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；(4)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)∵顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)，∴B(2，﹣1)，∴A(4，0)，将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；(2)①设F(2，m)，G(x，y)，∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y＋2|，∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4，∵y＝x2﹣x，∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4＝y2＋x2﹣4x＋4＝y2＋(x﹣2)2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点(2，0)和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴(x﹣2)2＋(m﹣x2﹣x＋2)2＝(x2﹣x＋2)2，整理得，m(m﹣x2＋2x)＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F(2，0)；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，联立，整理得x2﹣(4＋4k)x＋8k＝0，∴xM＋xN＝4＋4k，xMxN＝8k，∴yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝1是定值；(3)作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ＋PQ＋PC＋BC＝B'Q＋PQ＋C'P＋CB＝C'B'＋CB，∵点C(3，m)是该抛物线上的一点∴C(3，﹣)，∵B(2，﹣1)，∴B'(﹣2，﹣1)，C'(3，)，∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q(0，﹣)，P(，0)． 2.解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2＋bx＋2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝-x2＋x＋2．(2)存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F(3，0)．当y＝0时，由-x2＋x＋2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C(4，0)，∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝∠BAF＋∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO(ASA)，∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E(0，﹣2)．(3)如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA＋LD≥AL，∴当DA＋LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA＋DB＝DA＋LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝，∴BL2＝()2＝，又∵AB2＝22＋42＝20，∴AL＝＝＝，DA＋DB的最小值为． 3.解：(1)根据表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，将C(0，3)代入，得：3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，顶点坐标为M(1，4)；(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，∴AQ′＋Q′P′＋P′C＝BQ′＋C′Q′＋Q′P′＝BC′＋Q′P′＝＋1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′＋C′Q′的值最小，∴AQ＋QP＋PC的最小值为＋1；(3)线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D(t，﹣t2＋2t＋3)，且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣(﹣t2＋2t＋3)＝t2﹣2t﹣3，∵F(t，0)，∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t＋1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF＋∠BED＝180°，∵∠BEF＋∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1． 4.解：(1)依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M(﹣1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；(3)设P(﹣1，t)，又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，∴BC2=18，PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2，PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)． 5.解：(1)将A(0，﹣4)、B(﹣2，0)代入抛物线y=x2+bx+c中，得：解得：b=﹣1 c=﹣4   ∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=(x+m)2﹣(x+m)﹣4+7/2 ，它的顶点坐标P：(1﹣m，﹣1)；由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0)；那么直线AB：y=﹣2x﹣4；直线AC：y=x﹣4；当点P在直线AB上时，﹣2(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=5 2 ；当点P在直线AC上时，(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜5/2 ；又∵m＞0，∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5/2 ．(3)由A(0，﹣4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；易得：AB2=(﹣2)2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．综上，AM的长为6或2． 6.解：(1)∵C(0，2)，∴OC＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，∴OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，∴A(﹣2，0)，B(6，0)；(2)设y＝a(x＋2)(x﹣6)，把C(0，2)代入得：2＝a(0＋2)(0﹣6)，解得：a＝﹣，∴y＝﹣(x＋2)(x﹣6)＝﹣x2＋x＋2，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋2；(3)在△BOC中，BC＝＝4，∵y＝﹣x2＋x＋2＝﹣(x﹣2)2＋，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设P(m，﹣m2＋m＋2)(m＞2)，E(2，n)，①当△PDE≌△ACB时，如图1，∵∠PDE＝∠ACB＝90°，∴PD＝AC＝4，DE＝BC＝4，∴m﹣2＝4，解得：m＝6，∴P(6，0)，D(2，0)，∴|n﹣0|＝4，解得：n＝±4，∴E(2，4)或(2，﹣4)，②当△PDE≌△BCA时，如图2，∵∠PDE＝∠ACB＝90°，∴PD＝BC＝4，DE＝AC＝4，∴m﹣2＝4，解得：m＝4＋2，∴P(4＋2，﹣)，D(2，﹣)，∴|n﹣(﹣)|＝4，解得：n＝4﹣或﹣4﹣，∴E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)；综上所述，P(6，0)，E(2，4)或(2，﹣4)；或P(4＋2，﹣)，E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)． 7.解：(1)将A(1，0)，B(﹣3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，设M(﹣1，m)，∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1＋(m﹣3)2＝1＋9，解得m＝0或m＝6(舍)，∴M(﹣1，0)；(3)存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由(2)知D(﹣1，4)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x＋3，∴E(﹣1，2)，设P(t，﹣t2﹣2t＋3)，Q(t，t＋3)(﹣3≤t≤0)，①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P(﹣1，4)(舍)；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t＋3＝2＋t＋3，解得t＝(舍)；③当DQ为平行四边形的对角线时，4＋t＋3＝2﹣t2﹣2t＋3，解得t＝﹣1(舍)或t＝﹣2，∴P(﹣2，3)；综上所述：P点坐标为(﹣2，3)． 8.解：(1)抛物线的解析式为y=﹣(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣x2﹣x＋2；(2)存在．当x=0，y=﹣x2﹣x＋2=2，则C(0，2)，∴OC=2，∵A(﹣4，0)，B(1，0)，∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25∴AC2＋BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为(﹣4，0)；当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx＋n，把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x＋2，∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=x＋p，把B(1，0)代入得＋p=0，解得p=﹣，∴直线BP的解析式为y=x﹣，解方程组得或，此时P点坐标为(﹣5，﹣3)；综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；(3)存在点E，设点E坐标为(m，0)，F(n，﹣n2﹣n＋2)①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标(﹣7，0)，②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，∴﹣n2﹣n＋2=﹣2，解得n=，得到F2(，﹣2)，F3(，﹣2)，根据中点坐标公式得到： =或=，解得m=或，此时E2(，0)，E3(，0)，③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4(﹣1，0)，综上所述满足条件的点E为(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．