中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十1.如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．(1)请直接写出二次函数y=ax2＋x＋c的表达式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．             2.如图，已知抛物线y=﹣x2＋bx＋c经过A(0，4)，B(3，0)两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．(1)求该抛物线的解析式；(2)D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由．      3.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.      4.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．      5.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.      6.如图已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，﹣1)，点C(0，﹣4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2＋bx＋c的图象于点B，连接BC．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标：(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．      7.已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y=ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．      8.设一次函数y1＝2x＋m＋n和二次函数y2＝x(2x＋m)＋n．(1)求证：y1，y2的图象必有交点；(2)若m＞0，y1，y2的图象交于点A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，设C(x3，b)为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；(3)在(2)的条件下，如果存在点D(x1＋2，c)在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)将点A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2＋x＋c中，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2＋x＋4．(2)令y=﹣x2＋x＋4中y=0，则﹣x2＋x＋4=0，解得：x=﹣2，或x=8，∴点B的坐标为(﹣2，0)，又∵点A(0，4)，点C(8，0)，∴AB=2，AC=4，BC=10．∵AB2＋AC2=20＋80=100=BC2，∴△ABC为直角三角形．(3)设点N的坐标为(m，0)，则AC=4，AN=，CN=|8﹣m|．以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：①当AC=AN时，即4=，解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，此时点N的坐标为(﹣8，0)；②当AC=CN时，即4=|8﹣m|，解得：m=8﹣4，或m=8＋4，此时点N的坐标为(8﹣4，0)或(8＋4，0)；③当AN=CN时，即=|8﹣m|，解得：m=3，此时点N的坐标为(3，0)．综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为：(﹣8，0)、(8﹣4，0)、(8＋4，0)或(3，0)．(4)设点N的坐标为(n，0)(﹣2＜n＜8)，则BN=n﹣(﹣2)=n＋2．∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．∵S△BAC=AB•AC=20，BN=n＋2，BC=10，∴S△BMN=S△BAC•=(n＋2)2．S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=AO•BN﹣(n＋2)2=﹣(n﹣3)2＋5，∴当n=3，即点N的坐标为(3，0)时，△AMN面积最大，最大值为5． 2.解：(1)将A(0，4)，B(3，0)代入抛物线的解析式得：，解得；b=，c=4．∴抛物线的解析式为y=﹣x2＋x＋4．(2)①如图1所示：   ∵令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C(﹣1，0)．∴BC=4，AB=5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN＋∠NQB=90°，∠NQB＋∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当或时，△PQN与△ABC相似．∵当时，，解得；QN=．∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．∴点P的坐标为(1，2)．当时，，解得；QN=2.5．∵=，∴QB=QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．∴点P的坐标为(﹣，2)．综上所述点P的坐标为(1，2)或(﹣，2)．②如图2所示：∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．∵由(2)可知OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．∴，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．∴P(，2)． 3.解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x＋3；(2)令y＝0，则x2﹣4x＋3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B(3，0)，∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC＋PC＝3＋3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1(0，3＋3)，P2(0，3﹣3)；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3[来源:学科网]∴此时P与O重合，∴P4(0，0)；综上所述，点P的坐标为：(0，3＋3)或(0，3﹣3)或(0，﹣3)或(0，0)；(3)如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×(2﹣t)×2t＝﹣t2＋2t＝﹣(t﹣1)2＋1，即当M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)时△MNB面积最大，最大面积是1. 4.解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣(x﹣1)2+5，∴点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC解析式为y=kx+b，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，解得∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F   把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；(3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC=，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为(﹣1，5)，∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1(,)；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2(﹣,)；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3∴PH=3÷=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3(3，1)；P4(﹣3，7)．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1(,)，P2(﹣,)，P3(3，1)，P4(﹣3，7)． 5.解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.(2)当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值.∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，∴AC=，BC=，直线AC的解析式为y=x+2(可用待定系数法求出来).当x=﹣1时，y=x+2=，∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，)，△MBC的周长为+.(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.当y=2时，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴点Q的坐标为(﹣2，2)；当y=﹣2时，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2). 6.解：(1)将点A(3，﹣1)，点C(0，﹣4)代入y＝x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣4，∵y＝x2﹣2x﹣4＝(x﹣1)2﹣5，∴顶点M(1，﹣5)；(2)由题可得平移后的函数解析式为y＝(x﹣1)2﹣5＋m，∴抛物线的顶点为(1，m﹣5)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x﹣4，当顶点在直线AC上时，m﹣5＝﹣3，∴m＝2，∵AB∥x轴，∴B(﹣1，﹣1)，当M点在AB上时，m﹣5＝﹣1，∴m＝4，∴2＜m＜4；(3)存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：设E(0，t)，P(p，p﹣4)，Q(q，q2﹣2q﹣4)，∵点E在点C下方，∴t＜﹣4，∵Q点在第四象限，∴0＜q＜＋1，①当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，∴，解得(舍)或，∴Q点横坐标为1；②当CP为对角线时，CE＝CQ，∴，解得，∴Q点横坐标为2，不符合题意；③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP，∴，解得(舍)或，∴Q点横坐标为3﹣；综上所述：Q点横坐标为1或3﹣． 7.解：(1)将点A(－1，1)，B(4，6)代入y=ax2＋bx中，，解得，∴抛物线的解析式为y=x2－x；(2)证明：∵A(－1，1)，F(0，m)∴直线AF的解析式为：y=(m－1)x＋m.联立，得x2－(m－)x－m=0.∵A、G为直线AF与抛物线的交点，∴xA＋xG=－=2m－1，∴xG=2m－1－(－1)=2m，∴H(2m，0)，∴直线HF的解析式为：y=－x＋m.由抛物线解析式易得E(1，0)，又A(－1，1)，∴直线AE的解析式为：y=－x＋，∵直线HF与直线AE的斜率相等，∴HF∥AE；(3)t的值为或或或.由题意知直线AB解析式为y=x＋2，∴C(－2，0)，D(0，2)，P(t－2，t)，Q(t，0)．∴直线PQ的解析式为y=－x＋，设M(x0，y0)，由QM=2PM可得：|t－x0|=2|x0－t＋2|，解得：x0=t－或x0=t－4.(i)当x0=t－时，代入直线PQ解析式得y0=t.∴M(t－，t)，代入y=x2－x中得：(t－)2－(t－)=t，解得t1=，t2=； (ii)当x0=t－4时，y0=2t.∴M(t－4，2t)，代入y=x2－x中得：(t－4)2－(t－4)=2t，解得：t3=，t4=.综上所述，t的值为或或或. 8. (1)证明：当y1＝y2时，得2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化简为：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，△＝(m﹣2)2＋8m＝(m＋2)2≥0，∴方程2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n有解，∴y1，y2的图象必有交点；(2)解：当y1＝y2时，2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化简为：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，(2x＋m)(x﹣1)＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣m，x2＝1，∴b＝2＋m＋n，当y＝2＋m＋n时，y2＝x(2x＋m)＋n＝2＋m＋n，化简为：2x2＋mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2＋mx﹣m＝0，2(x＋1)(x﹣1)＋m(x﹣1)＝0，(2x＋m＋2)(x﹣1)＝0，解得，x＝1(等于x2)，或x＝﹣m﹣1，∴x3＝﹣m﹣1，∴x3﹣x1＝﹣1；(3)解：∵点D(x1＋2，c)在y2的图象上，∴c＝(x1＋2)[2(x1＋2)＋m]＋n＝2(x1＋2)2＋m(x1＋2)＋n．∵点A(x1，a)在y2的图象上，∴a＝x1(2x1＋m)＋n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1(2x1＋m)＋n﹣2(x1＋2)2﹣m(x1＋2)﹣n＞0，化简得4x1＋4＋m＜0，由(2)得x1＝﹣m，∴4×(﹣m)＋4＋m＜0，﹣2m＋4＋m＜0，﹣m＋4＜0，m＞4，∴m的取值范围为m＞4．