中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十二（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十二1.如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A(4，0)，点B(0，4)，△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．(1)求圆心M的坐标；(2)若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4时，求点P的坐标．      2.抛物线W1：y＝a(x＋)2﹣与x轴交于A(﹣5，0)和点B．(1)求抛物线W1的函数表达式；(2)将抛物线W1关于点M(﹣1，0)对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得S△PA′B′＝S△PA'C，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．      3.如图，已知直线y＝﹣x＋1与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．(1)求抛物线的解析式；(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．      4.已知：抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)．(1)若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；(2)当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2＋bx＋c|﹣1的最大值；(3)若不论m为任何实数，直线y＝m(x﹣1)﹣m2与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k＋1时，抛物线的最小值为k，求k的值．      5.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标.      6.如图，经过点C(0，﹣4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(﹣2，0)，B两点.(1)a　   　0，b2﹣4ac　   　0(填“＞”或“＜”)；(2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.      7.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A(﹣3，0)和B，将抛物线y＝x2＋bx＋c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；(2)求证A，M，A1三点在同一直线上；(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．      8.如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B(1，0)(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；(3)如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．       
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十二（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)点B(0，4)，则点C(0，2)，∵点A(4，0)，则点M(2，1)；(2)∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO===tanα，则sinα=，cosα=，AC=，则CD==10，则点D(0，﹣8)，将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线AD的表达式为：y=2x﹣8；(3)抛物线的表达式为：y=a(x﹣2)2+1，将点B坐标代入上式并解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=EF=2，cos∠PEH=，解得：PE=5，设点P(x，x2﹣3x+4)，则点E(x，2x﹣8)，则PE=x2﹣3x+4﹣2x+8=5，解得x=4或2(舍去2)，则点P(4，6)． 2.解：(1)把A(﹣5，0)代入y＝a(x＋)2﹣，得：0＝a(﹣5＋)2﹣，解得：a＝，∴抛物线W1的函数表达式为y＝(x＋)2﹣；(2)存在．∵抛物线W1关于点M(﹣1，0)对称后得到抛物线W2，∴抛物线W2的开口大小不变，方向相反，∵抛物线W1的a1＝，∴抛物线W2的a2＝﹣，设抛物线W2的顶点为(m，n)，∵抛物线W1的顶点为(﹣，﹣)，M(﹣1，0)，∴m﹣＝(﹣1)×2，n﹣＝0，∴m＝，n＝，∴抛物线W2的函数表达式为y＝﹣(x﹣)2＋．∴C(0，4)，∵y＝(x＋)2﹣与x轴交于A(﹣5，0)和点B，∴点B和A(﹣5，0)关于直线x＝﹣对称，∴B(0，0)，∵点A、B的对应点分别为A'，B'，∴A′(3，0)，B′(﹣2，0)，∴A′B′＝3﹣(﹣2)＝5，∵y＝﹣(x﹣)2＋＝﹣x2＋x＋4，设P(t，﹣t2＋t＋4)，设直线A′C的解析式为y＝kx＋b，则，解得：，∴直线A′C的解析式为y＝﹣x＋4，过点P作PQ∥y轴交A′C的延长线于点Q，则Q(t，﹣t＋4)，∴PQ＝﹣t＋4﹣(﹣t2＋t＋4)＝t2﹣2t，∴S△PA′C′＝PQ×(xA′﹣xC)＝×(t2﹣2t)×3＝t2﹣3t，S△PA′B′＝A′B′•|yP|＝|﹣t2＋t＋4|，∵S△PA′B′＝S△PA'C，∴|﹣t2＋t＋4|＝t2﹣3t，解得：t＝3或t＝﹣5或t＝﹣，当t＝3时，点P与点A′重合，舍去，当t＝﹣5时，﹣t2＋x＋4＝﹣×(﹣5)2＋×(﹣5)＋4＝﹣16，∴P(﹣5，﹣16)；当t＝﹣时，﹣t2＋x＋4＝﹣×(﹣)2＋×(﹣)＋4＝，∴P(﹣，)；综上所述，P点坐标为(﹣5，﹣16)或(﹣，)． 3.解：(1)∵直线y＝﹣x＋1，∴当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，∴OA＝1，OB＝2，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，∴∠ABO＋∠CBZ＝90°，∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBZ，在△AOB和△BZC中，，∴△AOB≌△BZC(AAS)，∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，∴C(3，2)，同理可求D的坐标是(1，3)；设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)，则，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋1；(2)∵OA＝1，OB＝2，∴由勾股定理得：AB＝，①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，当0＜t≤1时，如图1，∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝t，∴S△FB′G＝FB′×GB′＝t2；②当点C运动x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，∵AB＝A′B′＝，∴A′F＝t﹣，∴A′G＝(t﹣1)，∵B′H＝t，∴S四边形A′B′HG＝(A′G＋B′H)A′B′＝t﹣；③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，∵A′G＝(t﹣1)，∴GD′＝﹣t，∵S△AOF＝×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，∴△AOF∽△GA′F，∴＝()2，∴S△GA′F＝()2，则S五边形GA′B′CH＝﹣t2＋t﹣；综上，S＝；(3)设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，联立y＝﹣x＋1与y＝﹣x2＋x＋1并解得，∴E(4，﹣1)，∴BC＝BE，CE＝，当顶点D落在x轴上时，抛物线向下平移了3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐标为(10，﹣4)，∴EE′＝3，∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′BC＝3×＝15． 4.解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，1)，∴y＝a(x﹣1)2＋1＝ax2﹣2ax＋a＋1，∴b＝﹣2a，c＝a＋1；(2)∵y＝ax2＋bx＋c，a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个交点，∴|ax2＋bx＋c|≥0，∴﹣2022|ax2＋bx＋c|≤0，∴﹣2022|ax2＋bx＋c|﹣1≤﹣1，∴函数y＝﹣2022|ax2＋bx＋c|﹣1的最大值为﹣1；(3)∵直线y＝m(x﹣1)﹣m2与抛物线C1有且只有一个公共点，∴方程组只有一组解，∴ax2＋(b﹣m)x＋m2＋m＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴(b﹣m)2﹣4a(m2＋m＋c)＝0，整理得：(1﹣a)m2﹣2(2a＋b)m＋b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，(1﹣a)m2﹣2(2a＋b)m＋b2﹣4ac＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k＋1时，抛物线的最小值为k，∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①当k＜0时，k＋1＜1，当k≤x≤k＋1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k＋1时，y的最小值为k，∴(k＋1﹣1)2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴(k﹣1)2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，综上所述，若k≤x≤k＋1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或． 5.解：(1)在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A(4，0)、B(0，3)，把A(4，0)、B(0，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴=，∵=y、OB=3，∴y=PE，∵P(m，﹣m2+m+3)、E(m，﹣m+3)，则PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m，∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+，∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=，∴PQ与OQ的比值的最大值为；(3)由抛物线y=﹣x2+x+3易求C(﹣2，0)，对称轴为直线x=1，∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，∴sin∠ODC=sin∠OMN==，又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN=，∴点M(﹣1，﹣)，根据对称性，另一点(﹣1，)也符合题意；综上所述，点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣). 6.解：(1)a＞0，b2﹣4ac＞0；(2)∵直线x＝2是对称轴，A(﹣2，0)，∴B(6，0)，∵点C(0，﹣4)，将A，B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；(3)存在，理由为：(i)假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示， 则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，∵抛物线y＝x2﹣﹣4关于直线x＝2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又∵OC＝4，∴E的纵坐标为﹣4，∴存在点E(4，﹣4)；(ii)假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G，又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G＝CO＝4，∴点E′的纵坐标是4，∴4＝x2﹣x﹣4，解得：x1＝2＋2，x2＝2﹣2，∴点E′的坐标为(2＋2，4)，同理可得点E″的坐标为(2﹣2，4). 7.解：(1)∵原抛物线与x轴的交点为A(﹣3，0)和B∴点A、B关于对称轴：直线x＝1对称∴点B坐标(5，0)∴原抛物线解析式为y＝(x＋3)(x﹣5)＝x2﹣x﹣(2)证明：∵y＝x2﹣x﹣＝(x﹣1)2﹣4∴M(1，﹣4)设直线AM解析式为y＝kx＋a∴   解得：∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣3∵点A绕点B逆时针方向旋转90°得点A1∴A1B＝AB＝5﹣(﹣3)＝8，∠ABA1＝90°∴A1B⊥x轴，即xA1＝xB＝5∴A1(5，﹣8)当x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣5﹣3＝﹣8∴点A1在直线AM上∴A，M，A1三点在同一直线上(3)设原抛物线上的点E经旋转后为新抛物线上的点P，P在抛物线上DM1之间，如图1，连接BE、BP、DM1，过点E作EG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，交DM1于点Q∴∠EBP＝∠EGB＝∠BHP＝90°，BE＝BP∴∠EBG＋∠HBP＝∠EBG＋∠GEB＝90°∴∠HBP＝∠GEB在△BEG与△PBH中∴△BEG≌△PBH(AAS)∴EG＝BH，BG＝PH设P(s，t)(s≥0，t＜0)∴BG＝PH＝﹣t，EG＝BH＝|s﹣5|∴xE＝5﹣(﹣t)＝5＋t当s≤5时，EG＝BH＝5﹣s，点E在x轴上方∴yE＝5﹣s当s＞5时，EG＝BH＝s﹣5，点E在x轴下方∴yE＝﹣(s﹣5)＝5﹣s∴点E(5＋t，5﹣s)在原抛物线上∴(5＋t)2﹣(5＋t)﹣＝5﹣s，整理得：s＝﹣t2﹣2t＋5当s＝0时，﹣t2﹣2t＋5＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣10∴D(0，﹣10)∵M(1，﹣4)即解得：   即点M1(9，﹣4)∴MM1∥x轴，MM1＝8，0≤s≤9，﹣10≤t≤﹣4∴直线DM1解析式为y＝x﹣10∴Q(s，s﹣10)∴PQ＝s﹣10﹣t＝(﹣t2﹣2t＋5)﹣10﹣t＝﹣t2﹣t﹣∴S四边形PM1MD＝S△M1MD＋S△PM1D＝M1M•(yM﹣yD)＋PQ•(xM1﹣xD)＝×8×6＋(﹣t2﹣t﹣)＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣(t＋7)2＋∴当t＝﹣7时，Smax＝∴s＝﹣t2﹣2t＋5＝﹣×49﹣2×(﹣7)＋5＝∴点P坐标为(，﹣7)使四边形PM1MD的面积最大，最大值为． 8.解：(1)把B(1，0)代入y=ax2+2x﹣3，可得a+2﹣3=0，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，∴A点坐标为(﹣3，0)；(2)若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′， 由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中，∴△BPO≌△B′PO(ASA)，∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得，解得，∴直线AP解析式为y=x+1，联立，解得，∴P点坐标为(，)；若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为(，)；(3)如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，∵CF为y=x﹣，∴可求得C(，0)，F(0，﹣)，∴tan∠OFC==，∵DQ∥y轴，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE×HQ=×t×t=t2，若DQ=QE，则S△DEQ=DE×HQ=×2DH×HQ=×t×t=t2，∵t2＜t2，∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．设Q点坐标为(x，x2+2x﹣3)，则D(x，x﹣)，∵Q点在直线CF的下方，∴DQ=t=x﹣﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣x+2，当x=﹣时，tmax=3，∴(S△DEQ)max=t2=，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．