中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四（含答案）

这是一份中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四（含答案），共13页。试卷主要包含了B两点．等内容，欢迎下载使用。
中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四1.已知直线y=x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；(3)如图3，在(2)的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．      2.在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．(1)求抛物线L1的函数表达式；(2)将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．      3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．      4.定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x＋4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．      5.如图，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点B(3，0)．(1)求直线BC及抛物线的函数表达式；(2)P为x轴上方抛物线上一点．①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD＋DE的最大值；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．      6.已知抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B(3，0)．(1)求a，b的值；(2)将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方(点P不与点A，D重合)，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM＋PN，求W的最大值．      7.如图，抛物线y=ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积.       8.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.(1)求A，B，C三点的坐标.(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积.(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.       
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)∵当x=0时，y=﹣x2+bx+3，∴C(0，3)，将点C代入y=x+m得m=3，当y=0时，x=﹣6，∴A(﹣6，0)，将点A代入y=﹣x2+bx+3得b=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；(2)如图2，延长QP、AE交于点H，∵点P、Q关于对称轴对称，∴QP∥x轴，∵AE⊥x轴，∴∠H=90°，∵2∠PQF+∠PFQ=90°，∴∠PQF+∠PFQ=90°﹣∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，∴∠PQF=∠HAP，在△HAP和△QEH中，∴△HAP≌△QEH，∴QH=AH，过点Q作QK⊥AB于点G，∴四边形AGQH是正方形，设点Q(t，﹣t2﹣t+3)，∴QH=t+6，QG=﹣t2﹣t+3，∴t+6=﹣t2﹣t+3，解得：t=﹣1或t=﹣6(舍去)，∴Q(﹣1，5)；∵点P、Q关于x=﹣对称，∴点P(﹣4，5)，∴PQ=3；(3)∵DP：DQ=1：4，∴DP=1，D(﹣5，5)，HD=1，∵DN⊥QK，∠AMN=45°，过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，∴AM=AG，∴KMN+∠KAN=180°，∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，∴∠MKA=∠ANG，∵KAN=∠MAG=90°，∴∠MAK=∠NAG，在△AKM和△ANG中，∴△AKM≌△ANG，∴AK=AN，过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形，∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，在△HKQ和△LND中，∴△HKQ≌△LND，∴HK=LN，设HK=LN=m，则AN=AK=m+1，∴AH=m+1+m=5，∴m=2，∵∠HQK=∠OAR，∴tan∠HQK=tan∠OAR=，设R(m，﹣﹣m2﹣m+3)，过点R作RS⊥AB于点S，∴，∴m=或m=﹣6(舍)，∴R(，)． 2.解：(1)把A(﹣6，0)、B(2，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x＋12；(2)存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x＋12＝﹣(x＋2)2＋16，∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣(x＋2﹣4)2＋16＝﹣(x﹣2)2＋16＝﹣x2＋4x＋12，令﹣x2﹣4x＋12＝﹣x2＋4x＋12，解得：x＝0，当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x＋12＝12，∴点C的坐标为(0，12)，∵点D是点C关于x轴的对称点，∴点D坐标为(0，﹣12)，①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yM＝yC，即﹣x2＋4x＋12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，∴M1(4，12)；②当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则yM＝yD，即﹣x2＋4x＋12＝﹣12，解得：x1＝2＋2，x2＝2﹣2，M2(2＋2，﹣12)，M3(2﹣2，﹣12)．综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为(4，12)或(2＋2，﹣12)或(2﹣2，﹣12)． 3.解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C(2，﹣4)，∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，∴点A(﹣2，0)，点B(6，0)，把点A(﹣2，0)，点B(6，0)，点C(2，﹣4)代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．(2)设过点D(2，0)的直线MN解析式为y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，xN＋xM＝﹣＝4(k＋1)，xNxM＝＝8k﹣12.①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，化简得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2..②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴xO＝(xN＋xM)＝2(K＋1)，代入直线方程得yO＝2k2，∴圆心坐标为(2k＋2，2k2)，直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点(x，y)到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点(2，﹣4)． 4.解：(1)对于二次函数y＝x2﹣4x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A(1，0)，B(3，0)，与y轴交点为C(0，3)，∵点P(2，2)，∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆．(2)如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A(2，0)，与y轴的交点H(0，4)，∴△POA周长＝PO＋PA＋OA＝PO＋PH＋2≥OH＋2＝6，∴△POA周长的最小值为6．(3)如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C(0，4)，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2＋AF2，∴，即，化简，得，解得，∴． 5.解：(1)将点B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)，∴m2＋m＝0，解得m＝0(舍)或m＝﹣1，∴y＝﹣x2＋4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入，得，解得，∴y＝x﹣3；(2)①如图1，过点A作AP∥BC，则S△PBC＝S△ABC，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线AP的表达式为y＝x﹣1．联立．解得 (舍)或，∴P(2，1)；②由(1)知直线BC的表达式为y＝x﹣3，设直线AC的解析式为y＝k'x＋b'，∴，解得，∴y＝3x﹣3，设点P(t，﹣t2＋4t﹣3)，则点D(t，t﹣3)，，∴PD＝﹣t2＋4t﹣3﹣(t﹣3)＝﹣t2＋3t，，∴＝﹣(t﹣)2＋，∴当时，PD＋DE取最大值；(3)如图2，在抛物线上取点Q，使∠ACQ＝45°，过点B作BM⊥BC，交CQ的延长线于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，∵B(3，0)，C(0，﹣3)∴OB＝OC＝3，BC＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△BMN为等腰直角三角形，∵∠ACQ＝45°，∴∠OCA＝∠BCM，∵A(1，0)，∴，∴，∵，∴，∴BN＝NM＝1，∴M(4，﹣1)，∴直线CQ的解析式为y＝x﹣3，设点Q(n,n﹣3)，∴x﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得：n2﹣n＝0，解得n＝或n＝0(舍)，∴Q(,﹣)． 6.解：(1)∵直线l2：y＝﹣x﹣与x轴交于点A，∴A(﹣1，0)，将点A(﹣1，0)、点B(3，0)代入抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2，得：，解得：，∴a＝，b＝﹣；(2)∵a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，∴抛物线l1的顶点C(1，﹣)，将y＝﹣代入直线l2：y＝﹣x﹣得，﹣x﹣＝﹣，解得x＝3，∴抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，移动后顶点的横坐标为3，∴h＝3﹣1＝2，即h的值为2；(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，∵x2﹣x﹣2＝﹣x﹣的解为x＝﹣1或x＝2，∴D(2，﹣2)，设P(m，m2﹣m﹣2)(﹣1＜m＜2)，则N(m，﹣m﹣)，M(﹣m2＋2m＋2，m2﹣m﹣2)，∴PM＝﹣m2＋2m＋2﹣m＝﹣m2＋m＋2，PN＝﹣m﹣﹣m2＋m＋2＝﹣m2＋m＋，∴W＝PM＋PN＝﹣m2＋m＋2﹣m2＋m＋＝﹣m2＋m＋＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣＜0，∴W的最大值为． 7.解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y=ax2＋bx中，得  解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2＋4x；(2)点C的坐标为(3，3)，又∵点B的坐标为(1，3)，∴BC=2，∴S△ABC=×2×3=3；                     (3)过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P(m，﹣m2＋4m)，根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH＋S四边形HAPD﹣S△BPD，6=×3×3＋(3＋m﹣1)(m2﹣4m)﹣(m﹣1)(3＋m2﹣4m)，∴3m2﹣15m=0，m1=0(舍去)，m2=5，∴点P坐标为(5，﹣5).                          (4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得：MC=，∴S△CMN=××=；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM==，∴S△CMN=××=；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN==，∴S△CMN=××=17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=，∴S△CMN=××=5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5. 8.解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3可知点C(0，3)，令y=0，则0=﹣x2﹣2x＋3，解得x=﹣3或x=1，∴点A(﹣3，0)，B(1，0).(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=﹣1，设点M的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m＋3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)=﹣2m2﹣8m＋2=﹣2(m＋2)2＋10，∴当m=﹣2时矩形的周长最大.∵点A(﹣3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，当x=﹣2时，y=﹣2＋3=1，则点E(﹣2，1)，∴EM=1，AM=1，∴S=AM·EM=.(3)∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x＋3，得y=4，∴点D(﹣1，4).∴DQ=DC=.∵FG=2DQ，∴FG=4，设点F(n，﹣n2﹣2n＋3)，则点G(n，n＋3)，∵点G在点F的上方，∴(n＋3)﹣(﹣n2﹣2n＋3)=4，解得n=﹣4或n=1.∴点F(﹣4，﹣5)或(1，0).