高教版（2021）通用类第五节 牛顿运动定律及其应用教案

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           3、重心的计算
(1)     平行力系的中心
 
F1=F1a2
F2=F2 a Fn=Fna
F1 向某点O点进行简化
F3 r2a rn
主矢：F '
  Fi a 
 r1 r3
主矩：MOFn
  ri  Fi   ri  Fi a  ( Fi ri ) a
O 显然主矩MO垂直于单位矢量a,因此主矩垂直于主矢。简化为一个合力 合力作用线距O点距离为
    由合力矩定理：
zy 'R FF1
M x (FR )   M x (Fi )
F3  FR  yC
  Fi
 yi
 Cyz Fn
故： y
  Fi  yi C F 
O Czy x
类似地：x
  Fi  xi 
C C xCyz 同时改变各力的方向：M x (FR )   M x (Fi )
   FR
 zC
  Fi
 ziz
  Fi
 zi
故： C F 
(2)     重心物体各微小部分的重力近似组成一个空间平行力系， 此力系的合力大小称为物体的重量（重力），此力系的中心称为物体的重心，亦即物体重力合力的作用点称为物体的重心。地球表面附近的刚体，其重心相对物体本身来说是 一个确定的几何点，不因物体的位置方位而变。 确定物体的重心在工程上有重要意义。
(3)     确定重心的方法：a. 对称确定法对称且均质的物体，重心在其对称面、对称轴或对称中心上。 
(3) 确定重心的方法：b. 悬挂法  
(3) 确定重心的方法：c. 称重实验法MAF  0
P xC
 F1  l 则
xC 
F1 lP
MB F  0F
P  xC  F2   l
xC
 2 lP
l '  l cos
xC ' 
l2 2
sin  Hl
cos
    H l
h  F2    F1    l P H
zC 
r  h
 r 
F2    F1    l P H
(3)     确定重心的方法：d. 有限分割法
    P  xC
 P1
 x1
    P2
 x2
 ...  Pn
 xn
  Pi
 xi
xC 
 Pi xi P
P  zC
 P1  z1
    P2
 z2
 ...  Pn
 zn
  Pi
 zi
z    Pi zi C  P
 
    P  yC
 P1 
y1  P2  y2
 ...  Pn  yn
  Pi  yi 
yC 
 Pi yi P
 计算重心坐标的公式
x   Pi xi C  P
y   Pi yi C  P
z   Pi zi C  P
 对均质物体有P=ρVg, 故：
x  Vi xiC V
y  Vi yi C  V
z  Vi zi C  V
  对均质板状物体有P=ρAhg, 故： 
x   Ai xiC A
y   Ai yi C  A
z   Ai zi C  A
例3 已知均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示, 单位为mm。求其重心坐标。解: 厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x, y坐标即可.用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与重心坐标分别为：
x 1   15 mm
y 1 
45 mm
A 1 
300 mm 2
 
x        2 
5 mm
y        2 
30 mm
A 2 
400 mm 2
x 3  15mm
y 3 
5mm
A 3 
300 mm 2
 利用重心公式，有：
x  
Ai x i
 A1 x1  A2 x 2  A3 x 3
 2mm
 C A A  A  A
 y  
Ai y i
1 2 3  A1 y 1  A2 y 2  A3 y 3
 27mm
 C A A  A  A1 2 3
(3) 确定重心的方法：e. 无限分割法 
xC 
VxdPP
yC 
V  ydP P
zC 
VzdPP
 类似地： 对均质物体有
 xC 
VxdVV
yC 
V  ydV V
zC 
VzdVV
对均质板状物体有 
x              
xdA
y              
ydA
z              
zdA
A A A  C A C A C A
例4 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。 解：取如图坐标系，让圆弧位于xoy 平面内， 并被x轴平分。由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0，只需求xC。取微段dL OdL Rdx  R cos 
x  Vx  dP
 L
x  gdL
 x  dL

LC P Lg L
  R2 
 cos 2R
 d
(3) 确定重心的方法：f. 负面积(体积)法 若物体被切去一部分，重心仍可应用有限分割法的公式来计算，但切去部分的面积或体积应该取负值。 分割原则：将切掉的部分填充上形成一个完整物体，然后进行分割，按照有限分割法计算，此外填充的那部分也要计算并且在计算时面积或体积要取负值。
例5 已知等厚均质偏心块中R=100mm, r=17mm, b=13mm。求其重心坐标。解：用负面积法，物体视作由三部分组成.上部分半圆+下部分半圆+中间空心圆（负的） 由对称性知xC=0, 故只需确定yC 
A   R2 
y  4R
1 2 1 3
A  2 2
(r  b)2
y2 
 4(r  b)3
A3   由 yC
r2  Ai yiA
y3  0 
 
得 y 
A1 y 1  A2 y 2  A3 y 3
 40.01mm
C A  A  A1 2 3