中职物理高教版（2021）通用类第三节 机械能守恒定律及其应用教案

4、质点动力学的两类问题

质点动力学的两类基本问题

质点运动微分方程

第一类问题：已知运动求力.

第二类问题：已知力求运动.

混合问题：第一类与第二类问题的混合

例1

已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 

转动,OA=r，AB=l，当

  r / l

比较小时,以O 为坐

标原点,滑块B 的运动方程可近似写为

 2

x  l 1

 4

  r cos t 

 

 cos 2 

4 

如滑块的质量为m, 忽略摩

擦及连杆AB的质量。

试求当

  t

 0 和π 时 ,

连杆AB所受的力. 2

解:

其中

研究滑块

max

 F

cos 

ax 

x 

r 2 cos t

      cos 2 t 

当  

0时,

a  r 2

1  ,且  0

F  mr 2 1  

当 

 时, 2

ax 

r 2

且cos  

l 2  r 2 l

mr 2

 F

l 2  r 2 l

F   mr2 2

属于动力学第一类问题。

例2

已知：小球质量为m，在静止的水中缓慢下沉，初速

度沿水平方向，大小为v0

。水的阻力为

F  - μv ，

 为粘滞系数，如图所示。水的浮力忽略不计。

求:小球的运动速度和运动规律。

O v0 x

F M

P v

y

d2 x

m dt 2

 m dvx

dt

 vx ,

d2 y

m dt 2

 m dvy

dt

 mg

   vy

由 t  0 时

vx  v0

vy  0

O v0 x

vx 1 dv    dt F M

积分 v x 0

0 vx

vy 1 dv

m P v

 dt

0

vx v

mg



   t

0 e m

      vy

y

vy  

0  m

mg (1 e



   t

m )

 dx

y

  v0e

   t

m dt

由 t  0

时，x 

0 0

y 0 积分 

x  v0

m   t

 (1 e m )

0   dy

 0

mg  t

 (1 e m )dt

y  mg t 



m2 g

 2

(1 e

    t

m )

属于动力学第二类问题。

例3

已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系

于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与

铅直线成

  60 角。

求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球的速

度与绳的张力。

解：

研究小球

v2

m  F

b

sin

F cos  mg  0

其中 b

 l sin

F  mg

cos

 1.96N

v  

2.1

属于混合问题。

例4

已知：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平

轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为

了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在

  0 时

才掉下来。

求：滚筒每分钟的转数 n 。

解：

研究铁球

m v

R

 FN

   mg cos

其中 v

  n R

30

当   

, FN    0

时，解得

n  9.549

当 n 

9.549

时，球不脱离筒壁。