中职物理高教版（2021）通用类第二节 动能定理教案

3、平面运动刚体的运动微分方程

平面运动刚体的运动微分方程

Cxy：过质心平移参考系

随质心平移

平面运动

绕质心转动

投影式：

以上各组均称为刚体平面运动微分方程

aC    0

平面任意力系平衡方程

例1

已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动， 如图所示.设轮的惯性半径为 C ，作用于轮的力偶矩为

M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，

问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?

 解：

分析圆轮，受力和运动情况如图所示。

由平面运动刚体运动微分方程：

m aC  F m 0  FN



   mg 

m 2

 M  Fr 

a  Mr

aC  r

, M 

F r2  2

C ,

C m  2  r2  r

F  maC , FN  mg

r2   2

纯滚动的条件：

F  fs FN

即 M 

fs mg r

已知：均质圆轮半径为r 质量为m ，受到轻微扰动后， 在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.

求:质心C 的运动规律.

 解:

分析圆轮，受力和运动情况

如图所示。

mat  F  mg sin

v2

m C 

R  r

 FN

   mg cos

JC  Fr

t   r

t

s  R  r

1 2

aC   s, JC   2 mr , sin  

很小

s  s sin(  t   )

 2    2g 

0 0

初始条件 s

0 3 R  r

 0,s  v

  0,

s           v

运动方程为

0

s  v0



sin 



0 0



t 



已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。

求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向

约束力。

解: 整体质心为C，其受力如图所示。

平面运动微分方程

2maCx 2maCy

 Fs

 2mg  FN

JC

 FN

 r 

4

FS

其中：

J  mr 

r 2  mr2 

r 2  29 mr2

C 12

m( )

4

m( )

4 24

由基点法有

  n t

C O co co

aCx

 aO

 r

aCy 

t                               1 r

CO 4

  3 g

20 r

Fs  10 mg

FN 

77 mg

40

 质点系相对质心动量矩定理