物理通用类第六节 学生实验：测量运动物体的速度和加速度教学设计

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  普遍定理综合应用举例 张莉 哈尔滨工业大学理论力学教研组   

      普遍定理 
  动量定理  动量矩定理 动能定理   积分形式
普遍定理综合应用举例 动量和动量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变外力能使之改变内力可以改变动能约束力是外力时对之有影响理想约束不影响当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O 或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩守恒 在保守系统中，机械能守恒动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题
 
例1均质圆轮半径为 r ，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的 圆弧上往复滚动。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:轮心Ｃ的运动微分方程.
 例题：利用平面运动刚体运动微分方程求解
       率方程求解
 
解:
分析圆轮，受力如图所示。
T  12
mvC
 1 J 22 C
 3 mv24
vC  ωr
JC 
1 mr22
 
P  mg  v
 mg
 ds  dt 
 
 m dsdt
g 
 m dsdt
g sin 
 mg sin dsdtdT 3 

dt  P 4
m  2vC
 mg
θ   s R  r
d2sdt 2
2gs3R  r  0
例2物块和两均质轮的质量皆为m ,轮半径皆为R。滚轮上缘绕一刚度系数为k的无重水平弹簧，轮与地面间无滑动。现于弹簧的原长处自由释放物块。求:重物下降h 时,v，a 及滚轮与地面的摩擦力。   求速度和加速度可用动能定理求摩擦力可用相对质心的动量矩定理
 
 解:
动能定理，分析系统。
T1  0
ω  v/r
T  1 
mv2
 1  1  
mR22
 1  m 2 
 1 mR22   
3 mv2

2 2 2 2 2  2  2
W 
mgh 
1 k2h22
  mgh  2kh2
W  T2
T1 v 
mgh
       2kh2
 3 mv22
（a）
 将式（a）对t 求导 
3mv
 (mg
- 4kh)
  
得 a 
g  4kh3 3m
 分析滚轮，受力如图所示。相对质心的动量矩定理： 
d  1dt  2
mR2  v    F  F  RR
 
其中 F
 2kh
F  F  1 ma  mg  4 kh  s 2 6 3  分别研究两轮和物块，应用各自的运动微分方程求解。
例3均质细杆长l，质量为m，静止直立于光滑地面上。杆受到微小干扰而倒下。求:杆刚到达地面时的角速度和地面约束力。    求角速度可用动能定理求约束力可用平面运动刚体的运动微分方程
 
 解:
分析杆，地面光滑，水平方向不受力，由质心守恒定律可知，质心铅直向下运动。P为杆瞬心。
  vC 
2vC
T  0
CP l cos 1
T  1 
mv2
    1 J 
2 
1 m 1 
1  v2

2 2 C 2 C
2  3cos2   C
 mg l
1 sin   1 m 1 
 1  v2 
2 2  3cos2   C   0 时  
vC  2
,  
 在水平位置，分析杆受力如图所示。由刚体平面运动微分方程：
mg  FN
 maC
(a)
 l ml2
FN  2  JC  12 
(b)
 利用基点法：a  a  at  anC A CA CA
a  at
 l 
(c)
C CA 2F  mgN 4
例4塔轮质量
m  200kg，大半径
R  600mm ，小半径 r
 300mm ，
对轮心C的回转半径
C 
400mm ，质心在几何中心C。小半径
上缠绕无重细绳，绳水平拉出后绕过无重滑轮B悬挂一质量为
mA  80kg
的重物A。求：（1）若塔轮和水平地面间为纯滚动，
C点加速度，绳张力，摩擦力为多少；（2）纯滚动条件；（3）若静滑动摩擦因数为0.2，动滑动摩擦因数为0.18，绳张力
为多少？
求加速度可用动能定理微分形式，求力可用质心运动定理或相对质心的动量矩定理；第三问摩擦力是已知的， 采用哪种方法求解，决A 定于是否是纯滚动。
  解： （1）以整体为研究对象，其受力如图所示。T  1 mv2  1 J 2  1 m v2  2 2 C 2 C 2 A A 
其中：
vC  R aC  R
vA  (R  r)
由加速度基点法a  t n
向水平方向投影
aA  aDx
 aC
r
aA  (R  r)
T  1 m( 2
 R2 )  m
(R  r)2 2
2 力的功
2 C AW  mA gs
m gs  1 m( 2   R2 )  m (R  r)2 2   T
函数式
A 2 C A 1
 两端对时间求导得
mA gvA
 m( 2
 R2 )  m
(R  r)2 
  
  2.115rad/s2
a  0.635m/s2
a  1.269m/s2
  
研究重物A，受力如图所示
mAaA
 mAg
 FT
 FT  733N 研究塔轮，受力如图所示 
maC
 F  F1
F  F1
  F  479N
（2）
F  fs FN
FN  mg
fs 
0.244
   （3）塔轮连滚带滑运动研究重物A和塔轮，受力如图所示。
mAaA
 mAg
 FT
maC
 F 1
m 2
 FR
   F r1
F  F1
mgf
由加速度基点法   t n 
向水平方向投影
aA  aDx
 aC
r
FT 
667N
aC  αR