中职物理高教版（2021）通用类第五节 牛顿运动定律及其应用教案设计

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虚位移（虚功）原理练习曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组  

练习1 已知：如图所示机构, 不计各构件自重与各处摩擦.求：机构在图示位置平衡时, 主动力偶矩M 与主动力F 之间的关系.    

解： 1、以整体为研究对象，理想约束系统，画出主动力。2、依主动力性质给出对应的虚位移3、列虚功方程
δWF
 Mδ
    Fδ xC  0
4、消去不独立的虚位移分量直接找虚位移之间的几何关系不容易！δr
利用虚速度： v dt虚角速度：  δdt
 v h h
利用速度合成定理
vB 
  e  sin
sin2 
δxC
 vBdt
  sin 2  dt
代入   δdt
δxC
   hδ sin2 
－－虚速度法
虚功方程变为
Mδ     h δ  0 sin2 
如果构件之间的约束很容易用方程表示出来，则表明虚位移之间有明确的数学联系，可以用解析的方法求出虚位移之间的关系。 
xC  h cot求变分
     BC
δxC
  hδsin2
代入虚功方程
δWF
 Mδ
    FδxC  0
 虚功方程变为：
Mδ     h δ  0 sin2 
  －－解析计算法
虚位移(虚功)原理解题步骤及注意事项步骤：1、画出所有主动力；2、依主动力性质给出每一个主动力对应的虚位移；3、列虚功方程∑Fi· δri =0 ；4、消去不独立的虚位移分量。注意：1、注意对应的约束为理想约束；2、求解约束力时，需将产生该约束力的约束去掉，变约束力为主动力求  解;3、约束中存在非理想约束，需要将非理想约束系统用主动力代替；4、消去不独立的虚位移分量时，几何法和虚速度法要注意虚位移之间的  方向问题；解析法则不必考虑这个问题，变分过程中已然包含了方向的因素，但主动力一定要遵循坐标轴的方向，同向为正，反向为负。
练习2 已知：图中所示结构, 各杆自重不计, 在G点作用一铅直向上的力F,AC=CE=CD=CB=DG= GE=l.求：支座B的水平约束力.解：虚功原理原则上只能求解理想约束系统的主动 力，为了求约束力，需要将约束力变成主动力。因此，首先解除B端水平约束, 以主动力代替.1、以整体为研究对象，理想约束系统，画出主动力.2、依主动力性质给出对应的虚位移.3、列虚功方程:δWF    Fδ yG   FBxδxB   04、消去不独立的虚位移分量.用解析法，将虚位移表示成一（几）个独立变量的函数。xB    2l cos ; yG  3l sinδxB   2l sin δ ; δyG  3l cosδ代入虚功方程得到：FBx 2l sin δ   F  3l cos δ  0    虚位移（虚功）原理练习 
新问题：如图在CG 间加一弹簧, 刚度k, 且已有伸长量δ0, 仍求FBx.解：虚功原理原则上只能求解理想约束系统的主 动力，为了求约束力，需要将约束力变成主动 力。同时需要将非理想约束系统用主动力代替。因此，首先解除B端水平约束, 以主动力代替.然后，拿掉弹簧，代之以主动力.
δyG  δyC
FC  FG  kδ0
1、以整体为研究对象，理想约束系统，画出主动力。2、依主动力性质给出对应的虚位移.3、列虚功方程
δxB
δWF
 FBxδxB
     FCδ yC
     FGδ yG
     Fδ yG  0
δWF
 FBxδ xB
    FC δ yC
    FGδ yG
    Fδ yG  0
 4、消去不独立的虚位移分量用解析法，将虚位移表示成一（几）个独立变量 的函数。
xB  2l cos ,
yC  l sin ,
yG  3l sin
δxB
 2l sin δ ,
 yC
 l cos δ ,
 yG
 3l cos
 代入虚功方程
δWF得到：
 FBxδxB
    FC δ yC
   FG δ yG
    Fδ yG  0
FBx (2l sin )  k0l cos   k0 3l cos  
F 3l cos   0
   
练习3 如图所示椭圆规机构中, 连杆AB长为l, 滑块A , B与杆重均不计, 忽略各处摩擦, 机构在图示位置平衡.求：主动力FA与FB之间的关系。 

解：1、以整体为研究对象，理想约束系统，
画出主动力。2、依主动力性质给出对应的虚位移3、列虚功方程
δrA δrBFAFB
δWF
 FAδrA
    FB δrB  0
4、消去不独立的虚位移分量由δrA和δrB在 A, B 连线上投影大小相等, 故：
δrA
sin 
 δrB
cos
 代入虚功方程得到：
δWF
 FAδrA
    FB tanδrA  0
FA
 FB
tan
－－直接法（几何法）
 
(2)   解析法
建立坐标系如图.
xB 
l cos , yA  l sin 
δ x B   l s in  δ 
δrA
δy A 
l cos
δ
代入虚功方程得到：
δWF
 FAδyA
    FB δxB  0
FA
 FB
tan
 
(3)       虚速度法定义虚速度: vA代入虚功方程：
 δrA , dt
vB 
δrBdt
δWF
 FAδrA
   FBδrB  0
FAvA  FBvB  0
由速度投影定理, 有
vA sin  vB cos  0 
  FA
 FB
 tan 