通用类主题一 运动和力第五节 牛顿运动定律及其应用教学设计

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绕定轴转动刚体的轴承动约束力曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组  

 
1、轴承约束力、动约束力刚体的角速度 ，角加速度（逆时针），主动力系向O点简化: 主矢FR , 主矩MO，惯性力系向O点简化: 主矢FIR , 主矩MIO。Ax
  FAy
轴承A处的约束力： FAx，FAy轴承B处的约束力： FBx，FBy， FBz根据动静法，列平衡方程:
MO MIO FR
 Fx  0
FAx
FBx
FRx
 FIx 0
 FIR
 Fy    0 Fz    0
FAy FBy FRy FIy 0FBz FRz 0
FBz F
 FBy
 Mx   0 M y   0
FBy OBFAy OAMx   MIx 0 BxFAx OAFBx OB My MIy 0
 由此求得两轴承的全约束力： 
FAx   F 
 1 [(MAB y1 [(M
   FRx    F
 OB)  (M Iy  OB)  (M
   FIx    F
 OB)]  OB)]
Ay FBx 
AB x1 [(MAB y
Ry    FRx
Ix  OA)  (M Iy
Iy    FIx
 OA)]
FBy 
 1 [(MAB x
   FRy
 OA)  (M Ix
   FIy
 OA)]
FBz    FRz   全约束力由两部分组成：•            一部分由主动力引起的，不能消除，称为静约束力；•            另一部分是由于惯性力系引起的，称为动约束力。 后者可以通过调整加以消除。
 
轴承全约束力
静约束力动约束力
使动约束力为零，须有：
 
FIx
 FIy  0
M Ix
 M Iy  0

maCx   0maCy    0
J xz  J yz   0xz J yz   0
  
aCx
 aCy  0
J xz
 J yz  0
       
例1 设匀质转子质量为m ，质心 C 到转轴的距离是e，转子以匀角速度 绕水平轴转动，AO=a ，OB=b，假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心C 转到最低位置时轴承所受的压力。 解：转子有质量对称平面，并且转轴垂直于该质量对称平面，因此轴Oz 是转子在点 O 的惯性主轴。惯性力对点 O 的主矩在过O点的 x 轴和 y 轴上投影M Ix 和 M Iy 恒等于零。又 = 0，故M Iz =0。因此转子的惯性力系在O点合成为一个力(主矢) FIO ，大小等于: 
FIO
 me2
 方向沿 OC。当质心 C 转到最低位置时， 轴上实际所受的力如图所示。根据动静法列平衡方程：
 MB
 0,
(mg
    FIO )b 
FA (a
 b)  0
(1)
 M A
 0,
FB (a
   b)  (mg
    FIO )a  0
(2)
 b bmg
解得:
FA 
a  b (mg
    FIO ) 
a  b
(1  )
 a amg
FB 
a  b (mg  FIO )  a  b (1  )
  两轴承所受的力分别和FA ，FB的大小相等而方向相反。假设转子重20kg，到两个轴承的距离a和b均为0.5m,转子转速为12000r/min,偏心矩为0.1mm，则在两个轴承上产生的动约束力为1579N是静约束力98N的16.1倍！偏心距会给轴承带来巨大的动约束力。工程上也可以对偏心距的振动和冲击效应加利用：打夯机、手机振动模块等。
例2 若上题中，轮子在装配过程中无偏心距，但由于安装误差，轮盘盘面垂线与转轴有一个1°的偏角，已知轮盘为均质圆盘，半径R=20cm， 厚度 h=2cm，其他条件不变，求轴承提供的动约束力。 
解：取轮盘和轴为研究对象，分析作用于系统的外力。取固定于轮盘的坐标系Oxyz在圆盘上加惯性力，往O点简化，其主矢大小为：
FAx AFAy
x O zMIyy
FBx BFBy
FIO主矩大小：
 maC   0 mg
 =0， 所以 MIz=-Jz  =0 
J yz
 V
yzdm  0
所 以 MIx=Jxzα-Jyz  2=0
 MIy=Jyz  +Jxz  2= Jxz  2≠0
x’ Aγ x x’ z’
J xz
 V
xzdm
γ x = x’ cosγ+z’ sinγz’ z = z’ cosγ- x’ sinγz
y’xz
 V
xzdm 
V  (xcos 
    zsin  )(z cos
    xsin  )dm
 sin  sin 
cos cos 
 V V
(z2(z2
 x2 )dm  (cos2     x2 )dm
  sin2  )  xzdmV
(z2V
 x2 )dm 
(z2  V
y2 )  ( x2 
y2 )dm
 r2dm V
r2dm V
J x
     J z
 1 m(3R212
 h2 ) 
1 mR22
 
J xz
 m (h224
 3R2 ) sin 2
本题中γ=1º=0.01745rad, 所以sin2γ≈ 2γ
J xz
 m12
(h2
 3R2 ) 
0.003478 kg  m2
得到： MIy= Jxzω2= -5492 kg.m2/s2由轴承动约束力的计算公式 得到：
FAx
  1 (MAB Iy
   FIx
 OB)
 
FAy 
1 (M AB  Ix
   FIy
 OB)
 
FBx 
1 (M AB  Iy
   FIx
 OA)
 
FBy
  1AB
(M Ix
   FIy
 OA)
动约束力是静约束力98N的56倍！
 装配误差会给轴承带来巨大的动约束力。
 2、静平衡与动平衡的概念  静平衡：当刚体转轴通过质心，且刚体除重力外,没有受到其它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡。   动平衡：当刚体转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时，不出现轴  承附加动约束力，这种现象称为动平衡。动平衡在工程中具有重要意义。
 例3 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？ 



  动平衡： (a) 静平衡：(a)、(b)、 (d)动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。