中职物理高教版（2021）通用类主题一 运动和力第五节 牛顿运动定律及其应用教案设计

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          3、刚体惯性力系的简化
简化方法采用静力学中的力系简化的理论。将所有虚拟的惯性力视作一个力系向任一点O简化而得到一个惯性力FIR（主矢） 和一个惯性力偶MIO（主矩）。 
FIR
 FiI
 (mi ai )d2 (m r )  
 d2 (mr )
考虑到：m a 
i  i     C 
 ma
i i dt2
dt2 C
故： FIR
 (mi ai ) 
maC
与简化中心无关
     
MIO
  MO (FiI )
 ri
  (miai )
一般与简化中心有关
1、刚体作平移向质心C简化：
FIR
 FiI
 (mi a)
 maC
M IC
  MC (FiI ) 
ri
  (miaC )
 (mi ri )  aC
 mrC
   aC  0
rC 质心到简化中心C的矢径。
     刚体平移时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。
FIR
 maC
 3、刚体惯性力系的简化 2、刚体定轴转动向转轴上任一点O简化： 刚体上任一点i 的惯性力：
iI mi
i mi
r 2
FiI
 mi ai
 mi ri
 惯性力系对x，y，z轴的矩，分别以MIx ，MIy， MIz表示
MIx
 Mx (F )  M 
(FiI )
 mi ri cosi
 zi
  m r 2
sin  z
   mi xi zi
2  m
i  i i i yi zi
考虑到：
cos  i  iri
sin  i  iri
  3、刚体惯性力系的简化 
M Ix
  mi
xi zi
 2 m
yi zi
 
令： J xz
  mi xi zi
J yz
  mi
yi zi
 
 M Ix
 J xz
     J yz
 同理可得惯性力系对y轴的矩MIy为：
M Iy
2xz yz
 而惯性力系对转轴z轴的矩MIz为：
M Iz
  M z
iI i
ri
 ri
 ( 
m r 2 )
  J z
刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化
主矩为：
M IO
 M Ix i 
M Iy
j  M
Iz k
惯性积的物理意义 3、刚体惯性力系的简化 当刚体绕某个轴（例如z轴）转动时，这样的两个积分:
J yz
  mi
yi zi
J xz
  mi xi zi
称之为对该转轴的惯性积。
 它是表示刚体转动惯性的量。 质量是表示刚体平移惯性的量。转动惯量Jz能够准确描述刚体绕定轴转动时的转动惯性? z z转动惯量Jz和惯性积Jxz和Jyz一起才能完整描述绕z轴转动时的转动惯性。当刚体在空间绕定点转动时，可以分解成绕过该定点的三根坐标轴转动，此时刚体的转动惯性需要通过刚体对三个坐标
轴的转动惯量（3个）和对三个坐标轴的惯性积（6个）， 一共9个量来描述。
Jz=mr2/2
Jz=mr2/2
 J x J xy
J xz 
JO    yx J y
J yz 
惯性张量
 J zx J zy
J z 
 转动惯量Jz 描述的是刚体的质量分布相对于转轴的集中度；惯性积Jxz和Jyz描述的是刚体的质量分布相对于转轴的对称度。
 如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取为此平面与转轴的交点，则 
J yzJ xz
   mi   mi
yi zi  0xi zi  0
 z轴为刚体过O点的一个惯性主轴惯性力系简化的主矩为:
M IO
 M Iz
  J z
 当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系   向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质   心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力   偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的   转向相反。
3、刚体作平面运动假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体   的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。  
刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平移：
FIR
 maC
绕通过质心轴的转动：
MIC
 JC
 作用于质心C  总结不论刚体作何种运动,其惯性力系的主矢大小均等于刚体的质量与质心加速   度的乘积，方向与质心加速度方向相反。刚体平移时，惯性力系对质心的主矩为零；刚体定轴转动时，惯性力系对转轴上一点O的主矩由其三个分量确定；刚体平面运动时，惯性力系对质心C的主矩大小等于对通过质心C   且垂直于质量对称面的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
例3 如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的角速度为 ，角加速度为 。试计算并画出惯性力系向O点简化的结果。解：杆做定轴转动，惯性力系向转轴上的一点O点简化 
主矢FIO=-maC主矢大小：
主矩MIO= -JO 
 l IO 2
n l 2 IO      IO
主矩大小：
M IO
 1 ml 2 3
 注意：此处不能以FIO=-maC，惯性力与质心加速度aC相反为由，而把  惯性力系主矢画在C点。如果这样画的话是绝对错误的。
例4 如图所示电动机定子及其外壳总重量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，
 3、刚体惯性力系的简化 
质心位于C处，偏心距OC=e，图视平面为转子的质量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于水平基座上，转轴O与水平基座间的距离为h。运动开始时，转子质心C位于最低位置，转子以匀角速度 转动，求电动机受到的总的约束力。 解：取电动机整体为研究对象，分析受力。 y分析运动，虚加惯性力（偶），2
FI 的大小为： FI
 m2e
 由达朗贝尔原理（动静法），列静力学平衡方程：FAy Fx  0 Fx  F1 sin  0 Fy  0 Fy  (m1  m2 )g  F1 cos  0 M A  0 M  m2 ge sin  FI h sin  0代入φ=ωt，得到：F  m e2 sint, F  (m  m )g  m e2 cost, M  m ge sint  m e2h sint
x 2思考：
y 1 2 2 2 2
(1) 、电动机受到的约束力有什么变化规律，与静止时相比有什么不同？(2) 、如果转子是加速转动，除了角速度  ，还有角加速度 ，此时又该如何分析？