山东省济南市市中区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

2022-2023学年山东省济南市市中区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线

2.  下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在平面直角坐标系内，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后所得点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则下列不等式中，错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打折．(    )

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

7.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，点在上，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是        ．

13.  一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

14.  如图，，将直角沿着射线方向平移，得，若，，则阴影部分的周长为______．

15.  如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着轴无滑动的滚动第一次滚动到的位置，点的对应点记作点；第二次滚动到的位置，点的对应点记作点；第三次滚动到的位置，点的对应点记作点；；依次进行下去，发现点，，，，则点的坐标为______ ．
 

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解
；
．

18.  本小题分
解不等式并写出最小整数解：；
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，在中，，直线垂直平分，若，求的度数．

20.  本小题分
如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为、，求证：．

21.  本小题分
如图，已知直线：经过点交轴于点，直线：与直线：交于点，交轴于点求点的坐标并结合图象，直接写出时的取值范围．

22.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
作出将向左平移个单位，向上平移个单位后得到的图形；
作出关于原点成中心对称的图形；
若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______ 无需作图；并计算出在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度．

23.  本小题分
为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车店准备购进型和型两种不同型号的电动汽车共辆进行销售．

为了保证该店购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，则型车至少购买多少辆？
在的条件下，若这辆电动汽车全部售出，为使店销售的利润最大，购进型电动汽车多少辆？最大利润是多少？

24.  本小题分
阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
分解因式：；
已知，，求的值；
的三边，，满足，判断的形状并说明理由．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点．
求的值和点坐标；
将线段向右平移个单位得到线段，连接，，若是等腰三角形，求的值；
点为轴上一动点，连接，若，直接写出点坐标．
 

26.  本小题分
【提出问题】
如图，等腰直角三角形中，，，点为上一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点作的垂线与相交于点如图，通过证明≌，最终探究出，，之间的数量关系．
根据小明的思路，补全≌的证明过程；
直接写出，，之间的数量关系：______ ；
【拓展思考】
如图，延长、相交于点，点是的中点，若，，三点共线时，求线段的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B、，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、，右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：．
根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】解：将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后所得点的坐标是，
即，
故选：．
根据平移的法则即可得出平移后所得点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化中的平移，根据根据平移的法则解答是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，故本选项正确；
B、在不等式的两边同时除以，不等号方向改变，即，故本选项正确；
C、在不等式的两边同时先乘以、再减去，不等式仍成立，，故本选项正确；
D、当时，该不等式不成立，故本选项错误．
故选：．
根据不等式的性质进行一一判断．
主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱，不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：第一个不等式的解集为：；
第二个不等式的解集为：；
不等式组的解集为：．
在数轴上表示不等式组的解集为：

、、选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：设打折，根据题意可得：
，
解得：，
故至多可以打折．
故选：．
直接利用打折是在原价的基础上降价，利润是进价的百分比，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图知，旋转中心的坐标为，

故选：．
选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点．
本题主要考查坐标与图形的变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质：，，，
点在上，
，
，
，，
，
即：，
，
故选：．
首先根据旋转的性质确定，，以及，，再结合平行线的性质，即可求出结论．
本题考查旋转的性质，平行线的性质等，熟练运用旋转的性质推出，，以及，是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
，故A选项正确，不符合题意；
，
，故B选项正确，不符合题意；

是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，故C选项正确，不符合题意；
，
，故D选项错误，符合题意，
故选：．
根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是：，
不等式组有个整数解，
，
解得：．
故选：．
先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，求出的范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得：．
故答案为：．
根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
由图象可知：
故答案为：
根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确理解一次函数与一元一次不等式的关系，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
阴影部分的周长．
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论．
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
点在的平分线上，，，
，
，
，
故答案为：．
作于点，根据角平分线的性质求得的长，然后利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得的长，难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
由题意得：三角形滚动次为一个周期，向右移动，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据图形的变化，找到规律，再计算求解．
本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：；


． 

【解析】利用完全平方公式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
．
不等式的最小整数解为．
由不等式得，，
解得，
由不等式得，，
解得，
不等式组的解集为． 

【解析】通过移项，合并同类项，系数化求出不等式的解集，进而可得出最小整数解．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，正确掌握一元一次不等式的解法解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
垂直平分，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得的度数，再根据求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
又，，
，
点为中点，
，
在和中，
≌，
． 

【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出．
根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出即可；
 

21.【答案】解：把代入，得，
解得，
直线：，
由，解得，
，
所以由图象知，时的取值范围是． 

【解析】利用待定系数法求得直线的解析式，然后利用两直线相交求得点的坐标，最后结合图形直接得到答案．
本题考查了两天直线相交问题，一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出直线与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由题意可得，点的坐标是．
故答案为：．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
根据平移的性质作图即可．
根据中心对称的性质作图即可．
由旋转的性质可得答案；利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式计算即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称、勾股定理、弧长公式，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设该店购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：型车至少购买辆；
设这辆电动汽车全部售出后店获得的总利润为万元，
根据题意得：，
即．
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最大值，最大值．
答：当购进型电动汽车辆时，店销售的利润最大，最大利润是万元． 

【解析】设该店购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，根据该店购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
设这辆电动汽车全部售出后店获得的总利润为万元，利用总利润每辆电动汽车的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】解：

；




，
，，
原式；
是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，，即，
是等腰三角形． 

【解析】首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断．
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
 

25.【答案】解：当时，，
点坐标为，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，
直线解析式为，
当时，，
点坐标为；
当时，，
点坐标为，
将线段向右平移个单位得到线段，
则坐标为，点坐标为，
，，，
是等腰三角形，分情况讨论：
，
可得，
解得或；
，
可得，
解得舍去或舍去，
，
可得，
解得，
综上所述，或或；
分情况讨论：
过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则是等腰直角三角形，
，
点，点，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
设直线的解析式为为常数，，
代入点，点，
得，
解得，
直线的解析式为，
点坐标为；
过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
设直线的解析式为为常数，，
代入点，点，
得，
解得，
直线的解析式为，
点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为或 

【解析】先求出点的坐标，即可确定的值，再令时，即可确定点坐标；
根据平移的性质，可知点和点坐标，是等腰三角形，分情况讨论：，，，分别列方程求解即可；
分情况讨论：过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，，证明≌，根据全等三角形的性质进一步可得点坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点坐标；过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，，先证明≌，根据全等三角形的性质进一步可得点坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，从而可得点坐标．
本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．
 

26.【答案】 

【解析】证明：如图中，过点作的垂线与相交于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，

结论：．
理由：是等腰直角三角形，
，
≌，
，
．
故答案为：；

如图中，过点作于点．

如图中，由可知≌，
，
如图中，，
，
，
，，
，
，，三点共线，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
．
如图中，过点作的垂线与相交于点，根据证明三角形全等即可；
利用全等三角形的性质证明即可；
过点作于点证明，设，构建方程求解．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．