真题重组卷05——2023年高考数学真题汇编重组卷（云南、安徽、黑龙江、山西、吉林五省通用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷05

云南、安徽、黑龙江、山西、吉林五省通用

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

2．（2021·全国·统考高考真题）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，故，故

故选：C.

3．（2022·北京·统考高考真题）若，则（    ）

A．40 B．41 C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

令，则，

故，

故选：B.

4．（2020·全国·统考高考真题）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

5．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为离心率，解得，，

分别为C的左右顶点，则，

B为上顶点，所以.

所以，因为

所以，将代入，解得，

故椭圆的方程为.

故选：B.

7．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．

故选：C．

8．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，易得，依次类推可得

由题意，，即，

∴，

即，，，…，，

累加可得，即，

∴，即，,

又，

∴，，，…，，

累加可得，

∴，

即，∴，即；

综上：．

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2021·全国·统考高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】A：且，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

C：，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

故选：CD

10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）

A．在区间单调递减

B．在区间有两个极值点

C．直线是曲线的对称轴

D．直线是曲线的切线

【答案】AD

【解析】由题意得：，所以，，

即，

又，所以时，，故．

对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；

对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；

对C，当时，，，直线不是对称轴；

对D，由得：，

解得或,

从而得：或,

所以函数在点处的切线斜率为，

切线方程为：即．

故选：AD．

11．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

【答案】BCD

【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；

，所以直线的方程为，

联立，可得，解得，故B正确；

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

所以，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，得，

所以，所以或，，

又，，

所以，故C正确；

因为，，

所以，而，故D正确.

故选：BCD

12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

14．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

【答案】.

【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．

故答案为：．

15．（2020·全国·统考高考真题）设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，

，

为真命题，

，

为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

16．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】 因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时；

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

【解析】（1）由题意得，则，

即，由余弦定理得，整理得，则，又，

则，，则；

（2）由正弦定理得：，则，则，.

18．（12分）

（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前n项和为，求证：；

(3)求．

【解析】（1）设公差为d，公比为，则，

由可得（舍去），

所以；

（2）证明：因为所以要证，

即证，即证，

即证，

而显然成立，所以；

（3）因为

，

所以

，

设

所以，

则，

作差得

，

所以，

所以.

19．（12分）

（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

20．（12分）

（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【解析】（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

 [方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

  [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，此时．

 [方法二] ：几何法

如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．

设，过作交于点G．

由得．

又，即，所以．

又，即，所以．

所以．

则，

所以，当时，．

[方法三]：投影法

如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．

设，在中，．

在中，，过D作的平行线交于点Q．

在中，．

在中，由余弦定理得，，，

，，

当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．

【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．

21．（12分）

（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．

易知直线l的斜率存在，设，，

联立可得，，

所以，，且．

所以由可得，，

即，

即，

所以，

化简得，，即，

所以或，

当时，直线过点，与题意不符，舍去，

故．

（2）［方法一］：【最优解】常规转化

不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，

当均在双曲线左支时，，所以，

即，解得（负值舍去）

此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当均在双曲线右支时，

因为，所以，即，

即，解得（负值舍去），

于是，直线，直线，

联立可得，，

因为方程有一个根为，所以，，

同理可得，，．

所以，，点到直线的距离，

故的面积为．

［方法二］：

设直线AP的倾斜角为，，由，得，

由，得，即，

联立，及得，，

同理，，，故，

而，，

由，得，

故

【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；

法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．

22．（12分）

（2022·天津·统考高考真题）已知，函数

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若和有公共点，

（i）当时，求的取值范围；

（ii）求证：．

【解析】（1），故，而，

曲线在点处的切线方程为即.

（2）（i）当时，

因为曲线和有公共点，故有解，

设，故，故在上有解，

设，故在上有零点，

而，

若，则恒成立，此时在上无零点，

若，则在上恒成立，故在上为增函数，

而，，故在上无零点，

故，

设，则，

故在上为增函数，

而，，

故在上存在唯一零点，

且时，；时，；

故时，；时，；

所以在上为减函数，在上为增函数，

故，

因为在上有零点，故，故，

而，故即，

设，则，

故在上为增函数，

而，故.

（ii）因为曲线和有公共点，

所以有解，其中，

若，则，该式不成立，故.

故，考虑直线，

表示原点与直线上的动点之间的距离，

故，所以，

下证：对任意，总有，

证明：当时，有，故成立.

当时，即证，

设，则（不恒为零），

故在上为减函数，故即成立.

综上，成立.

下证：当时，恒成立，

，则，

故在上为增函数，故即恒成立.

下证：在上恒成立，即证：，

即证：，即证：，

而，故成立.

故，即成立.