真题重组卷05——2023年高考数学真题汇编重组卷（天津专用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷05

天津专用（解析版）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2019高考天津卷）设集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【详解】集合，，
则，
，
；
故选：．

2.（2019高考天津卷）设，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 

【详解】，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：．

3. （2022河西区二模））函数在，上的大致图象为　　

A． B． 

C． D．

【答案】C

【详解】根据题意，函数 ，

有， 为偶函数，排除A，

，排除BD，

故选：C．

4. （2022河北区二模） 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的学生，将他们的身高数据（单位：按，，，，，，，分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中身高在区间，内的人数为300，身高在区间，内的人数为180，则的值为　　

A．0.03 B．0.3 C．0.035 D．0.35

【答案】A

【详解】身高在区间内的频率为，

总人数为人，

身高在区间内的频率为，

的值为，

故选：A．

5. （2022高考天津卷）化简的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【详解】
．
故选B．

6.（2021高考天津卷）设，，，则三者大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【详解】，
，
，
，
，
，
，
故选：．

7.（2022高考天津卷）已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【详解】由题意可得抛物线的准线为，
又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
，
双曲线的渐近线方程为，
设直线与直线相交于点，
则，解得，
又，，
，
，
，
又，
，
，，
双曲线的标准方程为．
故选C．

8. （2020高考天津卷）已知函数给出下列结论：
的最小正周期为；
是的最大值；
把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【详解】因为，
由周期公式可得，的最小正周期，故正确； 
，不是的最大值，故错误；
根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故正确．
故选：．

9. （2018高考天津卷）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，过点作轴，过点作轴，

，，，，
，，
，
，
，
，
，，，
设，
，，，
，
当时，取得最小值为．
故选A．

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

10．（2015高考天津卷）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为          ．

【答案】 

【详解】由为纯虚数，
得，解得：．
故答案为：．

11. （2022河西区二模）若，则　　．

【答案】0

【详解】由题中的条件易知， ，

令，得， ，

，

故答案为：0．

12. (2019高考天津卷) 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为          ．

【答案】 

【详解】由题可知，该四棱锥是正棱锥，
又底面正方形的对角线长为，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于，即半径等于，
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，
则该圆柱的体积为：．
故答案为．

13. （2020年南开区一模）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为　　，乙射中的概率为　　．

【答案】，．

【详解】甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，

则甲击中的次数X～B（3，），

∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3，乙第一次射击的命中率为，

第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．

乙若射中，则不再继续射击．

则乙射中的概率为：P．

故答案为：，．

14．（2017高考天津卷）若，，，则的最小值为          ．

【答案】 

【详解】，，，
，
当且仅当，
即，
即，或，时取“”；
上式的最小值为．
故答案为：．

15．（2022高考天津卷）设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为          ．

【答案】 

【详解】设，，
当时，，
又函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，
，
解得或，
当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不符合题意，故舍，
当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，无解，故舍去，
当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，符合题意，
当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，即，
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为．

三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（2018高考天津卷）中，角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ设，，求和的值．

【答案】；

【详解】Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
． 

17．（2020高考天津卷）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的正弦值；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
 

【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）

【详解】根据题意，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
，，，，，
Ⅰ方法一：在三棱柱中，平面，
则该三棱柱是个直三棱柱各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直
，为
为棱的中点，
，
又平面平面，
平面，
，
方法二：证明：依题意，，，
，
，即；
Ⅱ依题意，是平面的一个法向量，
，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，则，
，，
，，
二面角的正弦值为；
Ⅲ依题意，，
由Ⅱ知，为平面的一个法向量，
，，
直线与平面所成角的正弦值为． 

18．（2021高考天津卷）已知椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e＝，长轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点），MO的延长线与椭圆交于P点，求△PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

【答案】（1）；（2）x﹣y+＝0或x+y+＝0；

【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，所以2a＝4，解得a＝2，①

因为椭圆的离心率e＝，所以e＝＝，②

又因为a2＝b2+c2，③

由①②③解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆的方程为+y2＝1．

（2）设直线MN的方程为x＝my﹣，

联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，

因为△＞0，y1+y2＝，y1y2＝，

所以|MN|＝ ，

所以原点到直线x＝my﹣的距离d＝，

所以点P到直线MN的距离2d＝，

所以S△MNP＝|MN|•2d＝，

令＝t，t≥1，

则S△MNP＝＝2，当且仅当t＝时，取等号，

所以直线l的方程为x﹣y+＝0或x+y+＝0．

19.（2019高考天津卷）设是等差数列，是等比数列．已知，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ设数列满足，其中．
求数列的通项公式；
求

【答案】（1）；．

（2）（i）；（ii）

【详解】 Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意有：，
解得，
，
．
Ⅱ数列满足，
其中．
，
数列的通项公式为：．
 

20. （2017高考天津卷）设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ设，函数，求证：；
Ⅲ求证：存在大于的常数，使得对于任意的正整数，，且，满足．

【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是

（2）证明详见解析；（3）证明详见解析。

【详解】Ⅰ解：由，可得，
进而可得令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是
Ⅱ证明：由，得，
．
令函数，
则
由Ⅰ知，当时，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此，当时，，
可得，即，
令函数，
则．
由Ⅰ知，在上单调递增，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减．
因此，当时，，即，
所以．

Ⅲ对于任意的正整数，，且，
令，函数．
由Ⅱ知，当时，在区间内有零点；
当时，在区间内有零点．
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．
由Ⅰ知在上单调递增，故，
于是．
因为当时，，故在上单调递增，
所以在区间上除外没有其他的零点，而，故．
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而．
所以．
所以，只要取，就有．