山东省烟台市2023届高三数学下学期二模试题(Word版附答案)
展开2023年高考适应性练习(一)
数 学
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效:在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设,若,则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一,现今已证明该问题无解.但借助有刻度的直尺、其他曲线等,可将一个角三等分.古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法:如图,以的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点;取线段三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点作双曲线,与圆弧交于点E,连接,则.若图中交于点P,,则( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6.口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个球,记取出的球的最大编号为X,则( )
A. B. C. D.
7.若函数有两个极值点,且,则( )
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代的一部数学名著,书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如图所示,在羡除中,底面为矩形,和均为正三角形,平面,,则该羡除的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数则( )
A.的最小正周期为
B.在上单调递增
C.直线是图象的一条对称轴
D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.已知双曲线C经过点,且与椭圆有公共的焦点,点M为椭圆的上顶点,点P为C上一动点,则( )
A.双曲线C的离心率为 B.
C.当P为C与的交点时, D.的最小值为1
11.如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱的中点,G为线段上一个动点,则( )
A.存在点G,使直线平面
B.存在点G,使平面平面
C.三棱锥的体积为定值
D.平面截正方体所得截面的最大面积为
12.定义在上的函数满足是偶函数,,则( )
A.是奇函数 B.
C.的图象关于直线对称 D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,则与夹角的大小为_____________.
14.若点与关于x轴对称,则的一个可能取值为___________.
15.已知点P为x轴上的一个动点,过P的直线与圆相交于A,B两点,则弦中点的轨迹的最大长度为_____________.
16.给定数列A,定义A上的加密算法:当i为奇数时,将A中各奇数项的值均增加i,各偶数项的值均减去1;当i为偶数时,将A中各偶数项的值均增加,各奇数项的值均减去2,并记新得到的数列为.设数列:2,0,2,3,5,7,数列,则数列为_________;数列的所有项的和为____________.(本小题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求;
(2)求的最小值.
18.(12分)已知为数列的前n项和,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
19.(12分)如图,在圆台中,分别为上、下底面直径,,C为的中点,M为线段的中点,为圆台的母线,与圆台下底面所成的角为.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20.(12分)已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,,求实数k的取值范围.
21.(12分)某企业拥有甲、乙两条零件生产线,为了解零件质量情况,采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件,测量其尺寸(单位:)得到如下统计表,其中尺寸位于的零件为一等品,位于和的零件为二等品,否则零件为三等品.
生产线 | |||||||
甲 | 4 | 9 | 23 | 28 | 24 | 10 | 2 |
乙 | 2 | 14 | 15 | 17 | 16 | 15 | 1 |
(1)完成列联表,依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联?
(2)将样本频率视为概率,从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件,每次抽取零件互不影响,以表示这4个零件中一等品的数量,求的分布列和数学期望;
| 一等品 | 非一等品 |
甲 |
|
|
乙 |
|
|
(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售,每箱60个.产品出厂前,该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验,则每个零件的检验费用为5元,并将检验出的三等品更换为一等品或二等品;若不执行检验,则对卖出的每个三等品零件支付20元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了10个,检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据,是否需要对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.
附,其中;.
22.(12分)在平面直角坐标系中,P,Q是抛物线上两点(异于点O),过点P且与C相切的直线l交x轴于点M,且直线与l的斜率乘积为.
(1)求证:直线过定点,并求此定点D的坐标;
(2)过M作l的垂线交椭圆于A,B两点,过D作l的平行线交直线于H,记的面积为S,的面积为T.
(ⅰ)当取最大值时,求点P的纵坐标;
(ⅱ)证明:存在定点G,使为定值.
2023年高考适应性练习(一)
数学参考答案及评分标准
一、选择题
BDBC CACD
二、选择题
9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13. 14.如:(答案不唯一) 15. 16.1,3,1,6,4,10,
四、解答题
17.解:(1)由余弦定理知,
所以,
所以,
又因为,
所以,在中,,
所以.
(2)由(1)知,
所以
,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
18.解:(1)因为,
所以,
两式相减得,
化简得,
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以.
(2),
所以
所以.
19.解:(1)证明:连接,则平面.
因为为母线,所以四点共面,且.取中点N,连接.因为,则,
所以四边形为平行四边形.
所以,所以平面.
所以为与底面所成角,
即.
在中,,所以,同理.在中,,所以.
因为平面平面,所以.
因为C为的中点,所以,又,所以平面,
又平面,所以.
又因为,所以平面;
(2)以O为原点,分别以所在的方向为x,y,2的正方向,建立空间直角坐标系,则,
所以.
设平面的一个法向量为,
由,得,
令,得,所以.
设平面的一个法向量为,
由,则.
令,得,所以,
设平面,与平面夹角为,
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.解:(1),
令,得,此时在上为增函数;令,
得或,此时在和上为减函数;
综上,的单调增区间为,单调减区间为和.
(2)法一:当时,,所以.
设,则,
设,则,
当时,恒有在单增,
所以恒成立,即,所以在单增.
所以当时,,所以k的取值范围为.
法二:由可得,即为;
因为,所以,可得恒成立.
设,则.当时,单减.
下证在上恒成立.
令,所以在上单调递增,
得,所以.
所以,即,所以,
所以,可得,所以k的取值范围为.
21.解:(1)由题意得列联表如下:
| 一等品 | 非一等品 |
甲 | 75 | 25 |
乙 | 48 | 32 |
,
因为,依据小概率值的独立性检验,可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.
(2)由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为,任取一个乙生产线零件为一等品的概率为.
的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,
,
,
,
,
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
P |
.
(3)由已知,每个零件为三等品的频率为,
设余下的50个零件中的三等品个数为X,则,
所以.
设检验费用与赔偿费用之和为Y,
若不对余下的所有零件进行检验,则,
.
若对余下的所有零件进行检验,则检验费用元.
因为,所以应对剩下零件进行检验.
22.解:(1)设,因为,所以l斜率,
所以直线斜率,即,
所以,
所以的方程为,即,
所以直线过定点;
(2)(ⅰ),
l的方程为,令,得,
所以直线的方程为,即,
所以直线过定点.
将与联立,得.
显然,设,则.
所以,
,
所以,
令,则,
设,则.
令,得(负根舍去),当时,单增;当时,单减;所以当时,取得最大值,即取得最大值,此时P的纵坐标为.
(ⅱ)证明:因为直线过定点平行于l,所以,
所以点H在以为直径的圆上.
设G为中点,则,且,
所以存在定点,使得为定值.
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