2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理（教师版含解析）

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专题 15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理
十年大数据*全景展示


年 份
题号
考 点
考 查 内 容

2014
卷
1
文6

平面向量的概念与线性运算

主要考查平面向量的线性运算



2015
卷
1
理 7

平面向量基本定理及其应用
主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理
卷
2
理 13

平面向量的概念与线性运算

主要考查平面向量共线的充要条件
卷
1

文 2
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐
标运算

2016
卷
2

文 13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要
条件


2018
卷
1
理 6
文 7

平面向量基本定理及其应用

主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理
卷
3
理 13
文 13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件

主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件

2019
卷
2

文 3
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件

主要考查平面向量坐标运算及模公式

大数据分析*预测高考


考 点
出现频率
2021 年预测
考点 47 平面向量的概念与线性运算
2/8

2021 年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共线的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择 题或填空题．
考点 48 平面向量基本定理及其应用
2/8
考点 49 平面向量的坐标运算及向量

共线的充要条件

4/8

十年试题分类*探求规律


考点 47 平面向量的概念与线性运算

1．(2014 新课标 I，文 6)设 D, E, F 分别为DABC 的三边 BC, CA, AB 的中点，则 EB + FC =



A. BC B．

【答案】C
1 uuur
AD
2


C． AD D．
1 uuur
BC
2



【解析】 EB + FC =
1 uuur uuur
(CB + AB) +
1 uuur uuur
(BC + AC) =
1 uuur uuur
( AB + AC) = AD ，故选 C．

2 2 2
2．(2014 福建)在下列向量组中，可以把向量a =(3,2) 表示出来的是


A． e1 =(0,0),e2 = (1,2)
C． e1 =(3,5),e2 =(6,10)
【答案】B
B． e1 =(-1,2),e2 =(5,-2)
D． e1 =(2,-3),e2 =(-2,3)

【解析】对于 A，C，D，都有e1 ∥ e2 ，所以只有 B 成立．
考点 48 平面向量基本定理及其应用
1．(2020 江苏 13)在DABC 中， AB = 4 ， AC = 3 ， ÐBAC = 90°， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使得

uur uuur 3
AP = 9 ，若 PA = mPB + (
2
uuur
- m)PC ( m

为常数)，则CD 的长度是 ．





18
【答案】
5


uur 3

3 3
【解析】由向量系数m + ( - m) = 为常数，结合等和线性质可知
2 2
PA
uuur
PD


= 2 ，
1



故 PD =
2 PA = 6 ， AD = PA - PD = 3 = AC ，故ÐC = ÐCDA ，故ÐCAD =p- 2C ．
3

AC 3 CD AD
在DABC 中， cos C = = ；在DADC 中，由正弦定理得 = ，


BC 5
sin ÐCAD
sin C

sin(p- 2C) sin 2C
3 18

即CD = × AD = × AD = 2 cos C × AD = 2 ´ ´ 3 = ．

sin C
sin C
5 5
uuur

2．(2018•新课标Ⅰ，理 6 文 7)在DABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB = ( )

A． 3 uuur - 1 uuur B． 1 uuur


3 uuur C． 3 uuur


1 uuur D． 1 uuur


3 uuur


AB AC
4 4
【答案】A
AB - AC
4 4
AB + AC
4 4
AB + AC
4 4

EB AB AE AB AD
【解析】在DABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，∴ uuur = uuur - uuur = uuur - 1 uuur
2

= 1 1
uuur
AB - ´
2 2
uuur uuur
( AB + AC)
= 3 uuur - 1 uuur ，故选 A ．
AB AC
4 4


3．(2015 新课标Ⅰ，理 7)设 D 为?ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则( )

uuur
(A) AD = -
1 uuur
AB +
4 uuur
AC
uuur
(B) AD =
1 uuur
AB -
4 uuur
AC

3 3 3 3

uuur
(C) AD =
4 uuur 1
AB + AC
uuur
(D) AD =
4 uuur 1
AB- AC

3 3 3 3


【答案】A

uuur uuur uuur uuur

1 uuur uuur

1 uuur uuur

1 uuur

4 uuur

【解析】由题知 AD = AC + CD = AC +
BC = AC +
3 3
( AC - AB) = = -
AB +
3 3
AC ，故选 A．

4．(2013 广东)设a 是已知的平面向量且a ¹ 0 ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量 c ，使 a = b + c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数l和m，使a = lb + mc ；

③给定单位向量b 和正数m，总存在单位向量c 和实数l，使a = lb + mc ；

④给定正数l和m，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a = lb + mc ；

上述命题中的向量b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为m的圆，这个圆必须和向量lb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三
角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 lb + mc =l+m³ a ，所以④是假命题．综上，本题选 B．
2
5．(2017 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为 1，1， ， OA 与OC 的夹角

为a ， 且 tana= 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45o ． 若 OC = m OA + n OB ( m ， n Î R ) ， 则
m + n = ．



【答案】3

【解析】由tana= 7 可得sina= 7 2 ， cosa= 2 ，由OC = m OA + n OB 得
10 10
ìuuur uuur uuur 2 uuur uuur ì o

ïOC ×OA = mOA + nOB ×OA ï 2 cosa= m + n cos(a+ 45 )

íuuur uuur uuur uuur uuur 2 ，即í
，两式相加得，
2 cos 45o = mcos(a+ 45o ) + n

ïîOC ×OB = mOB ×OA + nOB ïî
2(cosa+ cos 45o ) = (m + n)(1+ cos(a+ 45o )) ，所以


o 2 ´
2 + 2 ´ 2

m + n =
2 cosa+
2 cos 45 =
10 2
= 3 ，所以 m + n = 3 ．

1+ cos(a+ 45o) 2 2 7 2 2
1+ ´ - ´
10 2 10 2

l
6．(2013 北京)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c = la + mb (λ，μ∈R)，则 m= ．


【答案】4
1
【解析】 如图建立坐标系，则 a = (-1,1) ，b = (6, 2) ，c = (-1, 3) ．由c = la + mb ，可得l= -2,m= - ，
2
l
∴ m= 4




uuuur uuur
uuur uuur
uuuur uuur uuur

7．(2015 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ，若 MN = x AB + y AC ，则 x =

； y = ．

1
【答案】
2
1
- 6
uuuur uuur uuur

1 uuur

1 uuur

1 uuur

1 uuur uuur

1 uuur

1 uuur

【解析】由 MN = MC + CN = AC + CB = AC + ( AB - AC ) = AB -
AC = x AB + y AC ．所

3 2 3 2 2 6
1 1
以 x = ， y = - ．
2 6
考点 49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件


2
r
1．(2019•新课标Ⅱ，文 3)已知向量 a = (2, 3) ， b = (3, 2) ，则| a - b |= ( )


2
A．
2
【答案】A
B.2 C． 5
D．50

(-1)2 +12
a
| a b |
r r r
【解析】Q a = (2, 3) ，b = (3, 2) ，\ - b = (2 ，3) - (3 ，2) = (-1 ，1) ，\ - =

= ，故选 A ．


2．(2013 辽宁)已知点 A(1, 3) ， B(4, -1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为


æ 3 4 ö


æ 4 3 ö


æ - 3 4 ö


æ 4 3 ö


A． ç ，- ÷
B． ç ，- ÷
C． ç ， ÷
D． ç - ， ÷

è 5 5 ø
【答案】A
è 5 5 ø
è 5 5 ø
è 5 5 ø

AB
【解析】 AB = (3, -4) ，所以| AB |= 5 ，这样同方向的单位向量是 1 uuur = (3 , - 4 ) ．
5 5 5

3．(2011 广东)已知向量a =(1，2)， b =(1，0)， c =(3，4)．若l为实数， (a + lb)∥c ，则l=


A. 1 4
【答案】B
B. 1
2

C．1 D．2

【解析】a + lb = (1+ l, 2) ，由(a + lb) ∥ c ，得6 - 4(1+ l) = 0 ，解得l= 1
2
c / /(2a
4．( 2018•新课标Ⅲ，理 13)已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ， c = (1,l) ．若 r r + b) ，则l= ．


【答案】 1
2

【解析】Q向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ，\

r + b = (4, 2) ，Q c = (1,l) ， r r + b) ，


2a

\ 1 = l，解得l= 1 ．
c / /(2a

4 2 2
5．(2016 新课标，文 13) 已知向量 a =(m，4)，b=(3，−2)，且 a∥b，则 m= ． x
【答案】 -6

【解析】因为 a∥b，所以-2m - 4 ´ 3 = 0 ，解得 m = -6 ．
6．(2015•新课标Ⅱ，理 13)设向量 a ， b 不平行，向量lr + b 与 r + 2b 平行，则实数l= ．


【答案】 1
2
a a



【解析】Q向量 a ， b 不平行，向量la + b 与 a + 2b 平行，
a + b = t(a + 2b) = ta + 2tb ，
r r \lr r r



í
\ ìl= t
î1 = 2t
，解得实数l= 1 ．
2


7．(2015 江苏)已知向量a = (2,1) ， b = (1, -2) ，若 ma + nb = (9, -8) ( m, n ÎR)，

则 m - n

的值为 ．


【答案】－3

【解析】由题意得： 2m + n = 9, m - 2n = -8 Þ m = 2, n = 5, m - n = -3.
8．(2014 北京)已知向量a 、b 满足 a = 1 ， b = (2,1) ，且la + b = 0 (lÎ R )，则 l = ．


5
【答案】

ìcosq= - 2



【解析】∵| a |= 1，∴可令 a = (cosq, sinq) ，∵ la + b = 0 ，∴ ìlcosq+ 2 = 0 ，即ïï
l，解

î
í lsinq+1 = 0
í
ï
ïsinq= - 1
î l


5
得l2 = 5 得| l|= ．
9．(2014 陕西) 设0