2011-2020年高考数学真题分专题训练专题20 不等式性质与基本不等式（教师版含解析）

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这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练专题20 不等式性质与基本不等式（教师版含解析），共20页。试卷主要包含了设 a  30.7 ,b ，若 a  b ，则等内容，欢迎下载使用。
专题 20 不等式性质与基本不等式
十年大数据*全景展示

年份
题号
考点
考查内容
2012
文 11
不等式解法
利用指数函数与对数函数的图像与性质解不等式及数形结合思想

2013
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算[
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系

2014
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 1
文 15
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
2015
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算

2016
卷 3
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
文 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
理 2
不等式解法
一元二次不等式解法及并集运算

卷 1

文 8
不等式性质
及其应用

不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质

卷 1

理 8
不等式性质
及其应用

不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算

2017

卷 3
理 15
文 16

不等式解法

与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
卷 1
理 1
不等式解法
简单指数不等式解法及集合并集、交集运算
2018
卷 1
文 12
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，数形结合思想及转化与化归思想

2019
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算

卷 2

理 6
不等式性质
及其应用

不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质．
卷 3
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算

2020
卷 1
理 14
不等关系
指数函数、对数函数的单调性，数式的大小比较

卷 3

文 12
三角函数，基
本不等式

三角函数图象及其性质，均值不等式

大数据分析*预测高考

考点
出现频率
2021 年预测
考点66 不等式性质及其应用
3/22
2021 年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最
值中考查，难度为基础题或中档题．
考点 67 不等式解法
19/22
考点 68 基本不等式
0/22

十年试题分类*探求规律

考点 66 不等式性质及其应用

2 4
1．(2020 全国 I 理 14)若2a + log a = 4b + 2 log b ，则 ( )

A. a > 2b
【答案】B
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2

2 2 4 2
【解析】【解析】设 f (x) = 2x + log x ，则 f (x) 为增函数，∵ 2a + log a = 4b + 2 log b = 22b + log b ，

2 2
∴ f (a) - f (2b) = 2a + log
a - (22b + log 2b) = 22b + log
b - (22b + log 2b) = log
1 = -1 < 0 ，
2 2

2 2
∴ f (a) < f (2b) ，∴ a < 2b ．

2 2
∴ f (a) - f (b2 ) = 2a + log a - (2b 2 + log b2) =

当b = 1时， f (a) - f (b2 ) = 2 > 0 ，此时 f (a) >
22b + log b - (2b 2 + log b2 ) = 22b - 2b2 - log b ，

2 2 2
f (b2 ) ，有 a > b2 ；当b = 2 时， f (a) - f (b2 ) = -1 < 0 ，

此时 f (a) < f (b2 ) ，有 a < b2 ，∴C、D 错误，故选 B．

2．(2020 天津 6)设 a = 30.7 ,b =
æ 1 ö-0.8
3
ç ÷
è ø

, c = log 0.7 0.8 ，则 a,b, c 的大小关系为( )

A. a 30.7 = a > 1 ，所以c < a b ，则( )

A. ln(a - b) > 0
【答案】B
B. 3a < 3b
C． a3 - b3 > 0
D．| a |>| b |

【解析】取 a = 0 ， b = -1 ，则ln(a - b) = ln1 = 0 ，排除 A ； 3a = 30 = 1 > 3b = 3-1 = 1 ，排除 B ；
3

a3 = 03 > (-1)3 = -1 = b3 ，故C 对； | a |= 0 b > 1 ， 0 < c < 1 ，则( )

A. ac < bc
C． a logb c b > 1， 0 < c < 1 ，\函数 f (x) = xc 在(0, +¥) 上为增函数，故 ac > bc ，故 A 错误，
∵函数 f (x) = xc-1 在(0, +¥) 上为减函数，故 ac -1 < bc -1 ，故bac < abc ，即 abc > bac ；故 B 错误；

∵ log

c < 0 ，且log c < 0 ， log
b < 1 ，即 logc b = loga c < 1 ，即log c > log

c ．故 D 错误；

a b a
log a log c a b

c b

0 < -loga c < -logb c ，故 -b loga c < -a logb c ，即b loga c > a logb c ，即 a logb c b > 0 ， 0 < c < 1 ，则( )

A. loga c < logb c
【答案】B
B. logc a < logc b
C. ac < bc
D. ca > cb

【解析】Q a > b > 0 ， 0 < c < 1 ，\logc a < logc b ，故 B 正确；\当 a > b > 1 时， 0 > loga c > logb c ，故 A 错
误； ac > bc ，故C 错误； ca < cb ，故 D 错误，故选 B
6．(2017 山东)若 a > b > 0 ，且 ab = 1 ，则下列不等式成立的是

A. a + 1 < b
b 2a
< log2
(a + b)
B. b < log
2a 2
(a + b) < a + 1
b

C. a + 1 < log
b 2
(a + b) < b
2a
D. log2
(a + b) < a + 1 1，0 2 ，又a + b > 1，所以(a + b)2 > (a + b) ，

2a
ab
2 2 2
所以 2 > log (a + b)2 > log (a + b) > log 2
b
= 1 ，故 b
2a

< log2

(a + b) < a + 1 ，选 B．
b

7．(2016 年北京)已知 x, y Î R ，且 x > y > 0 ，则

1 1
A． - > 0 B． sin x - sin y > 0 C． ( 1 )x - ( 1 ) y < 0

D． ln x + ln y > 0

x y 2 2
【答案】C

1
【解析】因为 x > y > 0 ，选项 A，取 x = 1, y = ，则
2
p
选项 B，取 x = p, y = ，则sin x - sin y = sinp- sin
2
- = 1- 2 = -1 < 0 ，排除 A；
1 1
x y
p
= -1 < 0 ，排除 B；
2

1
选项 D， x = 2, y = ，则ln x + ln y = ln( xy) = ln1 = 0 ，排除 D，故选 C．
2
8．(2014 山东)若 a > b > 0 ， c < d < 0 ，则一定有( )

A. a > b
c d
【答案】D
B. a b
d c
D. a - > 0 ，又 a > b > 0 ，由不等式性质知： - > - > 0 ，所以 < ，故

d c
选 D．
d c d c

9．(2014 四川)已知实数 x, y 满足 ax < a y (0 < a < 1) ，则下列关系式恒成立的是

1
A. >
x2 +1
1

y2 +1

B． ln(x2 +1) > ln( y2 +1)

C. sin x > sin y
【答案】D
D. x3 > y3

【解析】由已知得 x > y ，此时 x2 , y2 大小不定，排除 A，B；由正弦函数的性质，可知 C 不成立；故选 D．
10．(2014 辽宁)已知定义在[0,1] 上的函数 f (x) 满足：
① f (0) = f (1) = 0 ；
1

②对所有 x, y Î[0,1]，且 x ¹ y ，有| f (x) - f ( y) |
0} = {x | x > 3 或 x < 2} ， B = {x | x - 1 < 0} = {x | x < 1} ，则 AI B = {x | x < 1} = (-¥,1) ，故选 A ．
3．(2019•新课标Ⅲ，理 1)已知集合 A = {-1，0，1， 2} ， B = {x | x2 £ 1}，则 AI B = ( )
A．{-1 ，0，1} B．{0 ，1} C．{-1 ，1} D．{0 ，1， 2}
【答案】A
【解析】因为 A = {-1，0，1， 2} ， B = [-1,1] ，所以 AI B = {-1 ，0，1} ，故选 A ．
ì2- x , x0

4．(2018•新课标Ⅰ，文 12)设函数 f (x) = í
î1, x > 0
，则满足 f (x + 1) < f (2x) 的 x 的取值范围是( )

A． (-¥ ， -1]
【答案】D
B． (0, +¥)

ì2- x , x0
C． (-1, 0)
D． (-¥, 0)

【解析】函数 f (x) = í
î1, x > 0
解得 x Î(-¥, 0) ，故选 D ．
，的图象如图，满足 f (x + 1) < f (2x) ，可得： 2x < 0 < x + 1 或 2x < x + 10 ，

5．(2017•新课标Ⅰ，理 1)已知集合 A = {x | x < 1} ， B = {x | 3x < 1} ，则( )

A． AI B = {x | x < 0} B． AU B = R
C． AU B = {x | x > 1}
D． AI B = Æ

【答案】A
【解析】由题知， B = {x | 3x < 1} = {x | x < 0}，\ AI B = {x | x < 0} ，故 A 正确， D 错误；
AU B = {x | x < 1} ，故 B 和C 都错误，故选 A ．
6．(2016•新课标Ⅰ，理 1)设集合 A = {x | x2 - 4x + 3 < 0}， B = {x | 2x - 3 > 0} ，则 AI B = ( )

A． (-3, - 3)
2

B． (-
3
3, )
2
3
C．
(1, )
2
D． ( 3 ， 3)
2

【答案】D
【解析】Q集合 A = (1, 3) ， B = ( 3 ， +¥) ，\ AI B = ( 3 ， 3) ，故选 D ．
2 2
7．(2016•新课标Ⅱ，理 2)已知集合 A = {1 ，2， 3}， B = {x | (x + 1)(x - 2) < 0 ， x Î Z}，则 AU B 等于( )
A． {1} B． {1 ， 2} C．{0 ，1，2， 3} D．{-1 ，0，1，2， 3}
【答案】C
【解析】Q集合 A = {1 ，2， 3}， B = {x | (x + 1)(x - 2) < 0 ， x Î Z} = {0 ，1} ，\ AU B = {0 ，1，2， 3}，故选
C ．
8．(2016•新课标Ⅱ，文 1)已知集合 A = {1 ，2， 3}， B = {x | x2 < 9} ，则 AI B = ( )
A．{-2 ， -1 ，0，1，2， 3} B．{-2 ， -1 ，0，1， 2}
C．{1 ，2， 3} D． {1 ， 2}
【答案】D
【解析】Q集合 A = {1 ，2， 3}， B = {x | x2 < 9} = {x | -3 < x < 3}，\ AI B = {1， 2} ，故选 D ．
9．(2016•新课标Ⅲ，理 1)设集合 S = {x | (x - 2)(x - 3)0} ， T = {x | x > 0} ，则 SIT = ( )

A． [2 ， 3] B． (-¥ ， 2]U[3 ， +¥)
【答案】D
C．[3 ， +¥)
D． (0 ， 2]U[3 ， +¥)

【解析】由题知 S = (-¥ ， 2]U[3 ， +¥) ，QT = (0, +¥) ，\ SIT = (0 ， 2]U[3 ， +¥) ，故选 D ．

10．(2015•新课标Ⅱ，理 1)已知集合 A = {-2 ， -1 ，0，1， 2} ， B = {x | (x - 1)(x + 2) < 0} ，则 A I B = ( ) A．{-1 ， 0} B．{0 ，1} C．{-1 ，0，1} D．{0 ，1， 2}
【答案】A
【解析】 B = {x | -2 < x < 1} ， A = {-2 ， -1 ，0，1， 2} ，\ AI B = {-1 ， 0} ，故选 A ．
11．(2014 新课标Ⅰ，理 1)已知集合 A={ x | x2 - 2x - 3 ³ 0 }，B={ x |－2≤ x ＜2＝，则 A Ç B =
A ．[-2，-1] B ．[-1，2) C ．[-1，1] D ．[1，2)

【答案】A
【解析】∵A= (-¥, -1] È[3, +¥) ，∴ A Ç B =[-2，-1]，故选 A．
12．(2014 新课标Ⅱ，理 1)设集合 M=｛0，1，2｝，N={x | x2 - 3x + 2≤0}，则 M Ç N =( ) A．｛1｝ B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵ N ={x x2 - 3x + 2 £ 0} = {x 1 £ x £ 2}，∴ M I N = {1, 2}，故选 D．
13．(2013 新课标Ⅰ，理 1)已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ 5＜x＜ 5｝，则 ( )
A、A∩B=Æ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B
【答案】B
【解析】A=(- ¥ ，0)∪(2，+ ¥ )， ∴A∪B=R，故选 B．
14．(2013 新课标Ⅱ，理 1)已知集合 M={ x ∈R| (x -1)2 < 4 }，N={-1，0，1，2，3}，则 M∩N= A．{0，1，2} B．{-1，0，1，2} C．{-1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)， ∴M∩N={0，1，2}，故选 A．
15．(2012•新课标，文 1)已知集合 A={x| x2－x－2 0 )的解集为(x , x ) ，
且 x2 - x1 = 15 ，则 a =
5 7 15 15
A. B． C． D．
2 2 4 2

【答案】A
【解析】∵由 x2 - 2ax - 8a2 < 0

( a > 0 )，得(x - 4a)(x + 2a) < 0 ，即 -2a < x < 4a ，∴ x = -2a, x

= 4a ，

1 2

15 5

∵ x2 - x1 = 4a - (-2a) = 6a = 15 ，∴ a = 6
= ．故选 A．
2

ìx +1, x £ 0

f (x) = í x
21．(2017•新课标Ⅲ，理 15)设函数 î2
【答案】(- 1 ， +¥)
4
, x > 0
，则满足 f (x) + f (x - 1 ) > 1 的 x 的取值范围是．

2

x - 1 £ - 1

【解析】若 x £ 0 ，则 2 2 ，则 f (x) + f (x - 1 ) > 1 等价为 x + 1 + x - 1 + 1 > 1 ，即 2x > - 1 ，则 x > - 1 ，
2 2 2 4
- 1 < x £ 0
此时 4 ，
当 x > 0 时， f (x) = 2x > 1， x - 1 > - 1 ，
2 2

当 x - 1 > 0 即 x > 1 时，满足 f (x) + f (x - 1 ) > 1 恒成立，
2 2 2
0 ³ x - 1 ³ - 1 1 ³ x > 0

当 2 2 ，即 2
时， f (x - 1 ) = x - 1 + 1 = x + 1 > 1 ，
2 2 2 2

此时 f (x) + f (x - 1 ) > 1 恒成立，综上 x > - 1 ．
2 4
ìïex-1 , x < 1,
22．(2014 新课标 I，文 15)设函数 f ( x ) = í 1 则使得 f ( x) £ 2 成立的 x 的取值范围是．

【答案】(-¥,8]

ìx < 1
ïîx3 , x ³ 1,

ìïx ³ 1

【解析】原不等式等价于í

x-1
或í 1

，解得 x £ 8 ，故 x 的取值范围是(-¥,8]．

îe £ 2

6 + x - x 2
23．(2017 江苏)记函数 f (x) =
ïîx3 £ 2
的定义域为 D ．在区间[-4, 5] 上随机取一个数 x ，则 x Î D 的

概率是．
5
【答案】
9
【解析】由6 + x - x2 ≥ 0 ，解得-2 ≤ x ≤ 3，根据几何概型的计算公式得概率为
3 - (-2) = 5
5 - (-4) 9
24．(2014 江苏)已知函数 f (x) = x 2 + mx - 1, 若对于任意 x Î[m, m + 1] ，都有 f (x) < 0 成立，则实数 m 的取值范围是．

【答案】(-
, 0)
2
2

î
ì f (m) = 2m2 -1 < 0

【解析】由题意可得
f (x) < 0 对于 x Î[m, m +1] 上恒成立，即 í f (m +1) = 2m2 + 3m < 0 ，解得

2
- < m < 0 ．
2
25．(2013 重庆)设 0 ≤a≤p，不等式8x2 - (8sina)x + cos 2a≥0 对 x Î R 恒成立，则 a 的取值范围
为．
p 5p
【答案】． [0, ] U[ ,p]
6 6
【解析】不等式8x2 - (8sina)x + cos 2a³ 0 对 x Î R 恒成立，则有D = (8sina)2 - 4´ 8 cos 2a= 64 sin 2 a- 32 cos 2a≤0

即2 sin2 a-cos 2a= 2 sin2 a-(1 - 2 sin2 a)
∴ sin2 a≤ 1 ．∴ - 1 £ sin a£ 1 ．
= 4 sin2 a-1≤ 0 ．

4 2 2
又0 £ a£ p ，结合下图可知，a∈ é0, π ù U é 5π , πù ．
ëê 6 úû êë 6 úû

26．(2013 江苏)已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数．当 x > 0 时， f (x) = x2 - 4x ，则不等式 f (x) > x 的解

集用区间表示为．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 f (x) = x2 - 4x

( x > 0 )的图像，如下图所示．由于 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，利用奇函

数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像．不等式 f (x) > x ，表示函数 y＝ f (x) 的图像在 y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．

27．(2013 四川)已知 f (x) 的定义域为 R 的偶函数，当 x ³ 0 时，f (x) = x 2 - 4x ，那么，不等式 f (x + 2) < 5
的解集是．
【答案】(－7，3)
【解析】当 x ≥0 时，令 x2 - 4x < 5 ，解得， 0 ≤ x < 5 ．又因为 f (x) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式
f (x + 2) < 5 等价于-5 < x + 2 < 5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7，3)．
28．(2012 福建)已知关于 x 的不等式 x2 - ax + 2a > 0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是．
【答案】(0，8)
【解析】因为不等式 x2﹣ax+2a＞0 在 R 上恒成立．∴△= (-a)2 - 8a < 0 ，解得 0＜ a ＜8．
29．(2012 江苏)已知函数 f (x) = x2 + ax + b(a，b Î R) 的值域为[0 ，+ ¥) ，若关于 x 的不等式 f (x) < c 的解集为(m ，m + 6) ，则实数c 的值为．

【答案】9

【解析】因为 f (x) 的值域为[0，+∞)，所以D = 0, 即 a 2 = 4b ，所以 x2

a 2

2
+ a
ax + - c = 0 的两根，由一元
4

二次方程根与系数的关系得 2m + 6 = -a, m(m + 6) =

x2 - 9
- c, 解得c =9．
4

30．(2012 江西)不等式
x - 2
> 0 的解集是．

【答案】(-3, 2) È (3, +¥)
【解析】不等式可化为(x + 3)(x - 2)(x - 3) > 0 采用穿针引线法解不等式即可．
31．(2018 浙江)已知lÎ R ，函数 f (x) = ì x - 4, x ≥l ，当l= 2 时，不等式 f (x) < 0 的解集是
î
íx2 - 4x + 3, x < l
．若函数 f (x) 恰有 2 个零点，则l的取值范围是．
【答案】(1, 4) ； (1, 3] U (4, +¥)
【解析】若l= 2 ，则当 x ≥ 2 时，令 x - 4 < 0 ，得2 ≤ x < 4 ；当 x < 2 时，令 x2 - 4x + 3 < 0 ，得1 < x < 2 ．综上可知1 < x < 4 ，所以不等式 f (x) < 0 的解集为(1, 4) ．令 x - 4 = 0 ，解得 x = 4 ；令 x2 - 4x + 3 = 0 ，解得 x = 1 或 x = 3 ．因为函数 f (x) 恰有 2 个零点，结合函数的图象(图略)可知1 < l≤ 3 或l> 4 ．
考点 68 基本不等式应用

1．(2020 全国 3 文 12)已知函数 f (x) = sin x +
1

sin x

，则( )

A. f (x) 的最小值为 2 B．

C． f (x) 的图像关于直线 x = π 对称 D．
f (x) 的图像关于 y 轴对称
f (x) 的图像关于直线 x = π 对称
2

sin x ×
1
sin x
【答案】D【解析】由题意得sin x Î[-1，0) È (0，1] ．对于 A，当sin x Î (0，1] 时，

f (x) = sin x +

1 ³ 2 sin x

= 2 ，当且仅当sin x = 1 时取等号；当sin x Î[-1，0) 时，

-sin x ×
1
-sin x
f (x) = sin x + 1 = -æ -sin x + 1 ö £ -2

= -2 ，当且仅当sin x = -1 时取等号，所以 A 错

sin x ç -sin x ÷
è ø
误．对于 B， f (-x) = sin(-x) + 1 = -æsin x + 1 ö = - f (x) ，所以 f (x) 是奇函数，图象关于原点对称，
sin(-x) ç sin x ÷
è ø
所以 B 错误．对于 C， f (x + π) = sin(x + π) + 1 = -æsin x + 1 ö ，
sin(x + π) ç sin x ÷

f (π - x) = sin(π - x) +
è ø
1 = sin x + 1 ，则 f (x + π) ¹ f (π - x ) ， f (x) 的图象不关于直线 x = π 对称，

sin(π - x) sin x
æ π ö æ π ö 1 1

2 2
所以 C 错误．对于 D， f ç x + ÷ = sinç x + ÷ +
è ø è ø
sin æ x +
ç
è
= cos x + ，
π ö cos x
2
÷
ø

f æ π - x ö = sinæ π - x ö +


1 = cos x + 1
，所以 f æ x + π ö = f æ π - x ö ，f (x) 的图象关于直线 x = π 对

ç 2 ÷ ç 2
÷ æ π ö

cos x
ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2

è ø è ø
sin ç
è
- x ÷
2
ø
è ø è ø

a
b
称，所以 D 正确．故选 D． 2．(2020 山东 11)已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a + b = 1 ，则 ( )

A． a2 + b2 ³ 1
2
【答案】ABD
B. 2a-b > 1
2
C. log
2 a + log2
b ³ -2
D ． + £ 2

【思路导引】根据 a + b = 1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．

【解析】对于A， a2 + b2 = a2 + (1- a)2
= 2a2 - 2a +1 = 2 æ a -
ç
è
1 ö2
2
÷
ø
+ 1 ³ 1
2 2
，当且仅当 a = b = 1 时，等
2

号成立，故 A 正确；对于 B ， a - b = 2a -1 > -1 ，所以 2a-b > 2-1 = 1 ，故 B 正确；对于 C ，
2
æ a + b ö2 1 1

log2 a + log2 b = log2 ab £ log2 ç 2 ÷ = log2 4 = -2 ，当且仅当 a = b = 2 时，等号成立，故 C 不正确；
è ø

a
对于D，因为(
+ b )2 = 1+ 2

£ 1+ a + b = 2 ，所以
+ £ ，当且仅当 a = b = 1 时，等号
a
b
2
2

ab
成立，故 D 正确，故选：A BD．

ab
ab
3．(2020 上海 13)下列不等式恒成立的是 ( )

A. a2 + b2 £ 2ab
B. a2 + b2 ³ -2ab
C. a + b ³ -2
D. a + b £ 2

【答案】B

【解析】由基本不等式可知 a2 + b2 ³ 2ab ，故 A 不正确； a2 + b2 ³ -2ab Þ a2 + b2 + 2ab ³ 0 ，即
(a + b)2 ³ 0 恒成立，故 B 正确；当 a = -1, b = -1时，不等式不成立，故 C 不正确；当 a = 0, b = -1 时，

不等式不成立，故 D 不正确，故选 B．
4．(2013 四川)已知函数 f (x) = 4x + a (x > 0, a > 0) 在 x = 3 时取得最小值，则 a = ．
x

【答案】36
4xg a
x
【解析】因为 x > 0, a > 0 ，f (x) = 4x + a ³ 2
x

= 4a ，当且仅当 4x = a ，即 x = = 3，解得 a = 36 ．
a
4
x
a + b

5．(2015 陕西)设 f (x) = ln x ， 0 < a p
C. p = r < q
D. p = r > q

ab
【解析】∵ 0 < a ，又 f (x) = ln x 在(0,+
2

) 上单调递增，故 f (

ab )
p ，∵ r =
1 ( f (a) + f (b)) 2
= 1 (ln a + ln b) = ln = f ( ab ) = p ，∴ p = r < q ．
ab
2

6．(2015 北京)设{an } 是等差数列．下列结论中正确的是
A．若 a1 + a2 > 0 ，则 a2 + a3 > 0 B．若 a1 + a3 < 0 ，则 a1 + a2 < 0
a1a3
C．若0 < a1 < a2 ，则 a2 > D．若 a1 < 0 ，则(a2 - a1 )(a2 - a3 ) > 0
【答案】C
【解析】若{an } 是递减的等差数列，则选项 A, B 都不一定正确．若{an } 为公差为 0 的等差数列，则选项 D
不正确．对于 C 选项，由条件可知{a } 为公差不为 0 的正确数列，由等差中项的性质得 a = a1 + a3 ，由基

n 2 2
a1a3
本不等式得 a1 + a3 > ，所以 C 正确．
2

3
3
7．(2014 重庆)若log（4 3a + 4b）= log2
ab ,则a + b 的最小值是

3
A． 6 + 2
【答案】D
B． 7 + 2
C． 6 + 4
D． 7 + 4
3
4 3

【解析】由已知得 3a + 4b = ab ，且 ab > 0 ，可知 a > 0, b > 0 ，所以
+ = 1 ( a > 0, b > 0 ) ，
a b

4 3 4b 3a 4b 3a
3
a + b = (a + b)( + ) = 7 + + ≥ 7 + 4 ，当且仅当 = 时取等号．
a b a b a b
8．(2013 福建)若 2x + 2 y = 1 ，则 x + y 的取值范围是

A．[0,2]
【答案】D
B．[-2,0]
C．[-2,+¥)
D． (-¥,-2]

2x × 2 y
【解析】本题考查的是均值不等式．因为1 = 2x + 2 y ³ 2
所以 x + y £ -2 ，当且仅当 2x = 2 y ，即 x = y 时取等号．
，即 2x+ y £ 2-2 ，

9．(2013 山东)设正实数 x, y, z 满足 x2 - 3xy + 4 y2 - z = 0 ．则当 xy 取得最大值时，
z

+ -
2 1 2
的最大值为
x y z
9
A．0 B．1 C．
4

D．3

【答案】B
【解析】由，得．
所以，当且仅当，

即时取等号此时，．

，

故选 B．
10．(2013 山东)设正实数 x, y, z 满足 x 2 - 3xy + 4 y 2 - z = 0 ，则当 z
xy

取得最大值时， x + 2 y - z 的最大

值为
9
A．0 B．
8
【答案】C

9
C．2 D．
4

【解析】由 x2 - 3xy + 4 y2 - z = 0 得 x2 + 4 y2 - 3xy = z ，

2 x2 × 4 y2
z x2 + 4 y2
4xy

= - 3 ³ - 3 = - 3 = 1，
xy xy xy xy

当且仅当 x2 = 4 y2 即 x = 2 y 时， z
xy

有最小值 1，

将 x = 2 y 代入原式得 z = 2 y2 ，
所以 x + 2 y - z = 2 y + 2 y - 2 y 2 = -2 y 2 + 4 y ，当 y = 1时有最大值 2．故选 C．
11．(2012 浙江)若正数 x, y 满足 x + 3y = 5xy ，则3x + 4 y 的最小值是( )

24 28
A. B．
5 5

C．5 D．6

【答案】C

【解析】 Q

x + 3y = 5xy

1 3
， ∴ + = 5

1 1 3 1 3 x 12 y 13
+ × + = + + ³
， ∴ (3x 4 y) ( ) ( )

36
1 ´ 2 ´ + 13 = 5 ．
5 5
y x 5
y x 5 y x 5

12．(2012 陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b ( a < b )，其全程的平均时速为v ，则

ab
ab
A． a < v < B． v =

【答案】A

C. < v
= a ，∴ a < v < ．选 A．

a + b 2a
13．(2011 陕西)设0 < a < b ，则下列不等式中正确的是
a + b a + b
ab
ab
A． a 0 得
a + b b - a
ab
 0 ，
2 2

a + b
所以
2
a + b
ab
 0 ，则下列不等式中，恒成立的是

A. a2 + b2 > 2ab

【答案】D

B. a + b ³ 2
C． + > 2
ab
1 1
a b
D． b + a ³ 2
a b

【解析】对于 A 取 a = b = 1 ，此时 a2 + b2 = 2ab = 2 ，因此 A 不正确；对于 B 取
ab
a = b = -1 ，此时 a + b = -2 < 2 = 2 ，因此 B 不正确；对于 C 取 a = b = -1 ，
1 1 2
此时 + = -2 < = 2 ，因此 C 不正确；对于 D，∵ ab > 0 ，
a b ab

b × a
a b
∴ b > 0 ， b > 0 ，∴ b + a ≥ 2
= 2 ，D 正确．

a a a b

15．(2020 江苏 12)已知5x2 y2 + y4 = 1( x, y Î R) ，则 x2 + y2 的最小值是．
4

【答案】
5

2 2 2

(5x2 + y2 ) + 4 y2 2

25 2 2 2

2 2 4

【解析】 4 = (5x
+ y ) × 4 y
£[ ] = ( x + y ) ，故 x + y ³ ，

2 4 5

当且仅当5x2 + y2 = 4 y2 = 2 ，即 x2 =
3 ， y2 = 1 时，取等号．∴{x2 + y2 } = ．

4
10 2
min 5

16．(2020 天津 14)已知 a > 0,
b > 0 ，且 ab = 1 ，则 1 + 1 + 8 的最小值为．

【答案】4
2a 2b a + b

【思路导引】根据已知条件，将所求的式子化为 a + b +
2
8

a + b

，利用基本不等式即可求解．

【解析】Q a > 0,b > 0,\a + b > 0 ， ab = 1 ，\ 1
+ 1 + 8

= ab + ab + 8

2a 2b a + b 2a 2b a + b

= a + b +
3
2
8 ³ 2
a + b ´ 8
2 a + b
a + b

= 4 ，当且仅当 a + b =4 时取等号，结合 ab = 1 ，解得

a = 2 -
3,b = 2 + ，或 a = 2 +
3, b = 2 - 时，等号成立，故答案为： 4 ．

3
17．(2019 天津理 13)设 x > 0,

y > 0,
x + 2 y = 5 ，则 (x +1)(2 y +1) 的最小值为．

xy
3
【答案】 4

xy
【解析】
x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y = 5 ，

xy
xy
xy
则( x +1)(2 y +1) = 2xy + x + 2 y +1 = 2xy + 6 = 2
3
xy
xy
+ 6 ；

由基本不等式，2

xy
ìx = 3
+ 6 2

xy
xy
2 xy ×
6
xy
ìx = 2
ï
= 4 (当且仅当2
= 6 时，即 xy = 3 ，且 x + 2 y = 5

时，即í y = 1 或í y = 3 时，等号成立)．
î ïî 2

( x +1)(2 y +1)
xy
故

的最小值为 4 ．

3
18．(2018 天津)已知 a , b Î R ，且 a - 3b + 6 = 0 ，则 2a + 1
8b

1

的最小值为．

【答案】
4

【解析】由 a - 3b + 6 = 0 ，得 a = 3b - 6 ，所以 2a + 1
8b
= 23b-6 +
1
23b-6 ´ 1
23b
≥ 2
23b
= 2 ´ 2-3 = 1 ，当且
4

仅当 23b-6 =
1
23b

，即b = 1时等号成立．

19．(2017 北京)已知 x ³ 0 ， y ³ 0 ，且 x + y = 1，则 x2 + y2 的取值范围是．
1
【答案】[ ,1]
2
【解析】由题意， u = x2 + y2 = x2 + (1- x)2 = 2x2 - 2x +1 = 2(x - 1 )2 + 1 ，且 x Î[0,1] ，又 x = 0 时，
2 2
u = x2 + y2 = 1 ，x = 1 时，u = x2 + y2 = 1 ，当 x = 1 时，u = x2 + y2 = 1 ，所以 x2 + y2 取值范围为[ 1 ,1] ．

2 min
2 2
a4 + 4b4 +1

20．(2017 天津)若 a, b Î R ， ab > 0 ，则
ab
【答案】4
a4 + 4b4 +1 4a2b2 +1 1
的最小值为．
2
2 2 1 2

【解析】
≥ = 4ab +
≥ 4 ，当且仅当a
= 2b
，且 ab = ，即 a = 时取等

ab ab ab 2 2
号．
21．(2017 江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x
万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是．
【答案】30

900
【解析】总费用为 4x + 600 ´ 6 = 4(x + 900) ³ 4 ´ 2
x x
= 240 ，当且仅当 x = 900 ，即 x = 30 时等号成立．
x

22．(2017 浙江)已知 a Î R ，函数 f (x) =| x + 4 - a | +a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a 的取值范围
x
是．

9
【答案】(-¥, ]
2
4

【解析】∵ x Î[1, 4]，∴ x + Î[4, 5]
x
x ´ 4
x
①当 a ≥5 时， f (x) = a - x - 4 + a = 2a - x - 4 ≤ 2a - 2
x x

9
所以 f (x) 的最大值 2a - 4 = 5 ，即 a = (舍去)
2
4 4

= 2a - 4 ，

②当 a ≤ 4 时， f (x) = x + - a + a = x + ≤ 5 ，此时命题成立．
x x

③当 4 < a < 5 时， f (x)max = max{| 4 - a | +a,| 5 - a | +a} ，则

ì| 4 - a | +a ≥| 5 - a | +a
î
í | 4 - a | +a = 5
| 4 - a | +a 0 ，当非零实数 a，b 满足4a2 - 2ab + b2 - c = 0 ，且使| 2a + b | 最大时，1 + 2 + 4
a b c
的最小值为．
【答案】－1
【解析】设| 2a + b | 最大，则必须 a, b 同号，
因为4a2 + b2 + 4ab = c + 6ab ≤ c + 3( 2a + b )2 ，
2
故有(2a + b)2 ≤ 4c ， c ≥ ( 2a + b )2 ，当且仅当2a = b 时取等号，此时c = b2 ，
2

+ + +
1 2 4 4
所以 =
4 = 4(1 + 1 )2 -1≥ -1 ．

a b c b b2 b 2

25．(2014 辽宁)对于c > 0 ，当非零实数 a ，b 满足 4a2 - 2ab + 4b2 - c = 0 ，且使| 2a + b |

的最小值为．
【答案】－2
8 c
5
8 c
5
8 c
5
【解析】设 2a + b = t ，则 2a = t - b ，因为4a2 - 2ab + 4b2 - c = 0 ，所以将2a = t - b 代入整理可得6b2 - 3tb + t 2 - c = 0 ①，
由D≥ 0 解得- ≤ t ≤ ，当 2a + b 取得最大值时， t = ，
3 4 5
- +
最大时，
a b c

c
10
3 c
2 10
代入①式得b = ，再由 2a = t - b 得 a = ，

3 4 5
所以 - + =
a b c
2 10
c
5
c
5
- + 5 = 5 -
2 10
c
4 10
c
c c
= ( -
2)2 - 2 ≥-2 ．

当且仅当c = 时等号成立．
2
26．(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的

值有关，其公式为 F =
76000v ．
v2 + 18v + 20l

(Ⅰ)如果不限定车型， l = 6.05 ，则最大车流量为辆/小时；
(Ⅱ)如果限定车型， l = 5 ，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加辆/小时．
【答案】1900 100
76000 76000

【解析】(Ⅰ) F =

v + 20 ´ 6.05 +18
v
≤ = 1900 ，当且仅当v = 11时等号成立．
2 121 +18

(Ⅱ) F =
76000 ≤
v + 20 ´ 5 + 18
v
76000

2 100 +18
= 2000 ，当且仅当v = 10 时等号成立．

2000 -1900 = 100 ．
27．(2013 天津)设 a + b = 2， b>0，则当 a = 时， 1
2 | a |

+ | a | 取得最小值．
b

【答案】－2
【解析】∵ 1 + | a | =

a + b

+ | a | = a + b + | a |

2 | a | b
4 | a | b
4 | a | 4 | a | b

b × | a |
4 | a | b
≥ a + 2 = a +1≥ - 1 +1 = 3

4 | a |

当且仅当

b

4 | a |
4 | a | 4 4
= | a | , a < 0 ，即 a = -2, b = 4 时取等号
b

故 1
2 | a |
+ | a | 取得最小值时， a = -2
b

28．(2013 四川)已知函数 f (x) = 4x + a (x > 0, a > 0) 在 x = 3 时取得最小值，则 a = ．
x

【答案】36
4xg a
x
【解析】因为 x > 0, a > 0 ，f (x) = 4x + a ³ 2
x

= 4a ，当且仅当 4x = a ，即 x = = 3 ，解得 a = 36 ．
a
4
x

29．(2011 浙江)若实数 x, y 满足 x2 + y2 + xy = 1 ，则 x + y 的最大值是．

2 3
【答案】
3
【解析】 ∵ x2 + y2 + xy = 1 ， ∴ (x + y)2 - xy = 1 ，即 (x + y)2 - ( x + y )2 ≤1 ， ∴ (x + y)2 ≤ 4 ，
2 3

2 3
x + y ≤ ．
3

30．(2011 湖南)设 x, y Î R ，则(x2 +

1 )( 1

+ 4 y2 ) 的最小值为．

【答案】9

【解析】由柯西不等式可知(x2 +
y2

1 )( 1
x2

+ 4 y2 ) ³ (1 + 2)2 = 9 ．

y2 x2