2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题21 简单线性规划解法（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题21 简单线性规划解法（教师版含解析），共34页。试卷主要包含了记不等式组，不等式组，设集合，设变量 x，y 满足约束条件，设变量 x, y满足约束条件等内容，欢迎下载使用。

专题 21 简单线性规划解法
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
理 13
文 14
文 5
线性目标函数的最值问题
2011
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
线性目标函数的最值问题
2012
理 15 线性目标函数的最值问题
文 3 线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
含参数的线性规划解法数形结合思想
卷 2
2013 卷 1 文 14 线性目标函数的最值问题
卷 2
卷 2
卷 2
理 9 含参数的规划问题
文 9 线性目标函数的最值问题
理 9 线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2014
二元一次不等式(组)平面区
卷 1
理 9
二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断
域问题
卷 1 文 11 含参数的规划问题
含参数的线性规划解法数形结合思想
卷 2 文 14 线性目标函数的最值问题
卷 2 理 14 线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2015
2016
卷 1 理 15 非线性目标函数的最值问题 非目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 1 文 15 线性目标函数的最值问题
卷 3 理 13 线性目标函数的最值问题
卷 2 文 14 线性目标函数的最值问题
理 16
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
利用线性规划处理实际中的最优化问题解法，数学建模
素养及数形结合思想
卷 1
线性规划的实际问题
文16
卷 3
卷 1
文 5 线性目标函数的最值问题
文 7 线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 3 理 13 线性目标函数的最值问题
理 5
2017
2018
卷 2
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
文 7
卷 1 理 14 线性目标函数的最值问题
卷 3 文 15 线性目标函数的最值问题
理 14
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 2
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
文 14


理 13
文 14
卷 1
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
卷 2 文 13 线性目标函数的最值问题
2019
2020
二元一次不等式(组)平面区 二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断及复
卷 3 文 11
域问题
合命题的真假判断
理 13 线性目标函数的最值问题
文 13 线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 1
卷 2 文 15 线性目标函数的最值问题
卷 3 文 13 线性目标函数的最值问题
大数据分析*预测高考
出现频率
考 点
2021 年预测
考点 69 二元一次不等式(组)平面区域问题
考点 70 线性目标函数的最值问题
考点 71 非线性目标函数的最值问题
考点 72 线性规划的实际问题
2/28
22/28
1/28
1/28
2/28
随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规
划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱
化，故 2021 年线性规划问题若考查，其侧重
于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基
础题，题型为选择或填空题．
考点 73 含参数规划问题
十年试题分类*探求规律
考点 69 二元一次不等式(组)平面区域问题
ìx+ y ³ 6
p:$(x, y)ÎD ，2x+ y ³ 9；
1．(2019•新课标Ⅲ，文 11)记不等式组í
2x- y ³ 0表示的平面区域为 D ．命题
î
命题q: (x, y) D ，
"
Î
2x+ y £12 ．下面给出了四个命题
① p Ú q ②Øp Ú q
③ p ÙØq
④Øp ÙØq
这四个命题中，所有真命题的编号是(
)
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】A
ìx+ y ³ 6
p:$(x, y)ÎD ，2x+ y ³ 9 是
【解析】作出不等式组í
2x- y ³ 0表示的平面区域为 D ．在图形可知，命题
î
真命题，则Øp 假命题；命题q: (x, y) D ，
"
Î
2x y 12
+ £ ．是假命题，则Øq
p Ú q 真；②Øp Ú q
真命题，所以①
p ÙØq
真；④Øp ÙØq 假，故选 A ．
假；③


ìx+ y ³1
îx-2y £ 4
2．(2014 新课标Ⅰ，理 9)不等式组í
的解集记为 D．有下面四个命题：
p ："(x, y)ÎD, x+2y ³ -2， p ：$(x, y)ÎD, x+2y ³ 2，
1
2
P ："(x, y)ÎD, x+2y £ 3， p ：$(x, y)ÎD, x+2y £ -1．
3
4
其中真命题是(
)
A． p2 ， P
B ． p1 ， p4
C． p1 ， p2
D． p1 ， P
3
3
【答案】C
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x+2y = 0 ，平移l ，由图可知，当直线：x+2y = z
0
0
( - )
过 A 2, 1 时， z
= -2+2 = 0 ，∴ z 0，∴命题 p 、 p 真命题，选 C．
³
min
1
2
3．(2018 北京)设集合
A ={(x, y) | x- y≥1,ax+ y > 4, x-ay≤2},则
a
(2,1)Î A
a
(2,1)Ï A
B．对任意实数 ，
A．对任意实数 ，
3

4
î2 -a≤2
3
3
【解析】若(2,1)Î A
，则
，解得a > ，所以当且仅当a≤ 时，(2,1)Ï A
．故选 D．
í
2
2
ìx+ y -2 ³ 0
ï
4．(2014 安徽)不等式组 x+2y -4 £ 0 表示的平面区域的面积为________．
í
ï
x+3y -2 ³ 0
î
【答案】4
【解析】如图阴影部分，可知SDABC
1
= ´2´(2 +2) = 4
2
考点 70 线性目标函数的最值问题


ìx -3y +1£ 0
îx + y -3 ³ 0
x, y
，则 z = x + 2y 的取值范围是(
1．(2020 浙江 3)若实数
满足约束条件í
)
A．(
,4
-¥ ]
B．[4,+¥
)
C．[5,+¥
)
D．(-¥,+¥)
【答案】B【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 x + 2y = 0 ，平移该直线，易知当直线经过
( )
= + 2´1= 4 ，再数形结合可得 z x 2y 的取值范围是[4,+¥)．
= +
点 A 2,1 时， z 取得最小值， z
2
min
ì2x+3y -3 £ 0
ï
2x-3y +3 ³ 0
y +3 ³ 0
z = 2x + y
D．9
2．(2017•新课标Ⅱ文 5)设 x , y 满足约束条件
í
，则
的最小值是(
)
ï
î
A．-15
B．-9
C．1
【答案】A
【解析】作出可行域如图所示， z = 2x + y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，
ìy = -3
由í
î2x -3y +3 = 0
解得 A(-6,-3) ，则 z = 2x + y 的最小值是-15 ，故选 A ．
ìx+3y £ 3
ï
3．(2017•新课标Ⅰ，文 7)设 x ， y 满足约束条件 x- y ³1
，则 z = x + y 的最大值为(
)
í
ï
y ³ 0
î


A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
ìy = 0
【解析】作出可行域如图所示，则 z = x + y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，由 í
解得
îx +3y = 3
A(3, 0) ，所以 z = x + y 的最大值为 3，故选 D ．
ì3x + 2y -6„0
ï
4．(2017•新课标Ⅲ，文 5)设 x ， y 满足约束条件íx…0
则 z = x - y 的取值范围是(
D．[0 ，3]
)
ï
y…0
î
A．[-3，0]
B．[-3，2]
C．[0 ，2]
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z = x - y ，经过可行域的 A ， B 时，目标函数取得最
ìx = 0 ìy = 0
值，由í 解得 A(0,3) ，由í
解得 B(2,0) ，目标函数的最大值为：2，最小值为：-3，
î3x + 2y -6 = 0 î3x + 2y
-6 = 0
目标函数的取值范围：[-3，2]，故选 B ．
ìx- y +1³ 0,
ï
5．(2013 新课标Ⅱ，文 3)设 x, y满足约束条件íx+ y -1³ 0,，则 z = 2x-3y 的最小值是(
)
ï
x £ 3,
î
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -3
【答案】B


【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线 z = 2x-3y 经过点 B(3, 4) 时，
zmin = 2´3-3´4 = -6 ，故选 B．
ìx+ y -7 £ 0
ï
6．(2014 新课标Ⅱ，理 9)设 x，y 满足约束条件íx-3y +1£ 0 ，则 z = 2x- y的最大值为(
)
ï
3x- y -5 ³ 0
î
A． 10
B． 8
C． 3
D． 2
【答案】B
【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数l0 ： y = 2x，∵ y = 2x- z，∴当 y = 2x- z在
ìx-3y +1= 0
y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当 y = 2x- z经过C点时，z 有最大值．由í
得：
îx+ y -7 = 0
C(5, 2)此时： z 有最大值2´5-2 =8，故选 B．
ìx+ y -1³ 0
ï
7．(2014 新课标Ⅱ，文 9)设 x， y 满足的约束条件íx- y -1£ 0 ，则 z = x+2y 的最大值为
ï
x-3y +3 ³ 0
î
A．8
B．7
C．2 D．1
【答案】B
1
z
z
【解析】画出可行域如图阴影部分所示， 将目标函数 z = x+2y 变形为 y = - x+ ，当 取到最大值时，
2
2
1
2
z
z
直线 y
= -
x+ 的纵截距最大，作出直线
l : x +2y = 0
0
l
l z = x+2y
，平移 ，当直线 ： A 点时， 取到
0
2


ìx- y -1= 0
îx-3y +3 = 0
最大值．由í
解得 A(3, 2) ，所以zmax =3+2´2 = 7 ，故选 B．
8．(2012•新课标，文 5)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1，1)，B(1，3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在△
ABC 内部，则 z
= -x + y 的取值范围是
(A)(1－ 3，2)
(C)( 3－1，2)
【答案】A
(B)(0，2)
(D)(0，1+ 3)
【解析】有题设知 C(1+ 3 ，2)，作出直线l ：-x+ y = 0，平移直线l ，有图像知，直线l : z = -x+ y 过
0
0
B 点时， zmax =2，过 C 时， zmin =1- 3 ，∴ z
= -x + y 取值范围为(1－ 3，2)，故选 A．
ì x+ y≤5,
ï
ï2x- y≤4,
-x+ y≤1,
9．(2018 天津)设变量 x，y 满足约束条件í
则目标函数
z =3x+5y的最大值为
ï
ï
î y≥0,
A． 6
B．19
C．21
D．45
【答案】C
3
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 y = - x ．平移该直线，当经过点C时，
5
ì-x+ y =1
îx+ y = 5
ìx = 2
îy = 3
z 取得最大值，由í
，得í
，即C(2, 3) ，所以amax = 3´2+5´3 = 21 ，故选 C．


ì2x+ y≥0,
ï
ïx+2y -2≥0,
x≤0,
10．(2017 天津)设变量 x, y满足约束条件í
则目标函数 z = x+ y的最大值为
ï
ï
îy≤3,
2
3
3
2
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
3
2 4
【解析】目标函数为四边形 ABCD及其内部，其中 A(0,1), B(0, 3),C(- ,3) ， D(- , ) ，所以直线
3 3
2
z = x+ y过点 B 时取最 大值 3，选 D．
ìx- y +3≤0
ï
11．(2017 山东)已知 x， y 满足í3x+ y +5 ≤0 ，则 z = x+2y 的最大值是
ï
x+3≥0
î
A．0
B．2
C．5
D．6
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过(-3,4)时取得最大值，即
zmax = -3+2´4 = 5．选 C．


ìx≤3
ï
12．(2017 北京)若 x， y 满足íx+ y≥2 则 x+2y 的最大值为
ï
y≤ x
î
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】D
z = x+2y
过点C(3,3)时，取得最大值
【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数
zmax = 3+2´3 = 9
，故选 D．
ì x≥0
ï
13．(2017 浙江)若 x， y 满足约束条件íx+ y -3≥0，则 z = x+2y 的取值范围是
ï
x-2y≤0
î
A．[0，6]
【答案】D
B． [0，4]
C．[6,+¥)
D．[4,+¥)
【解析】如图阴影为可行域，可知在 A(2,1)时，zmin = 4 ，无最大值．所以 z = x+2y 的取值范围是[4,+¥) ．选
D．


ìx - y + 2 ³ 0,
ï
14．(2016 天津)设变量 x，y 满足约束条件í2x +3y -6 ³ 0, ，则目标函数 z = 2x +5y的最小值为
ï
3x + 2y -9 £ 0.
î
A．-4
B．6
C．10
D．17
【答案】B
ìx - y + 2 ³ 0,
ï
【解析】如图，已知约束条件í2x +3y -6 ³ 0, 所表示的平面区域为图中所示的三角形区域 ABC(包含边界)，
ï
3x + 2y -9 £ 0.
î
2
5
z
其中 A(0，2)，B(3，0)，C(l，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线 y
取得最小值2´3+5´0 = 6．
= -
x +
过点 B(3，0)时，z
5
ìx+2y≥0,
ï
15．(2015 福建)若变量 x, y 满足约束条件íx- y≤0,
则 z = 2x- y的最小值等于
ï
x-2y +2≥0,
î
5
2
3
A．-
B．-2
C．-
D．2
2
【答案】A
y = 2x- z
z
y = 2x- z
，当 最小时，直线 的纵截距最大，
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为
1
y = 2x
B(-1, )
z
时 ， 取 到 最 小 值 ， 最 小 值 为
故 将 直 线
经 过 可 行 域 ， 尽 可 能 向 上 移 到 过 点
2


1
5
2
z = 2´(-1) - = -
，故选 A．
2
ìx+ y £ 8,
ï
ï2y - x £ 4,
x ³ 0,
16．(2013 四川)若变量 x, y满足约束条件í
且 z = 5y - x 的最大值为a，最小值为b，则a-b的
ï
ï
îy ³ 0,
值是
A．48
B．30
C．24
D．16
【答案】C
【解析】作出可行域，如图，则在 A 点取得最大值16，在 B 点取得最小值-8，
则a-b = 24，选 C．
ì x+2y … 2
ï
í 2x+ y „
4
= 3x - y
x, y
z
17．(2012 山东)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是
ï
4x- y …-1
î
é 3 ù
- ,6
é- 3 ,-1ù
é
ë
3ù
2û
C．[-1,6]
- 6,
D．
A．
B．
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë 2 û
ë 2
û
【答案】A
1
3x - y = 0
(2,0)
( ,3)
【解析】作出可行域，直线
，将直线平移至点
处有最大值，点
处有最小值，即
2
3
- „ z„ 6
，应选 A．
2


4x - y = -1
x + 2y = 2
2x + y = 4
O
ì
0 £ x £ 2
ï
18．(2011 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D由不等式íy £ 2
给定，若 M(x, y) 为 D上的动
ï
x £ 2y
î
点，点 A的坐标为( 2 ,1) ，则 z =OM ·OA的最大值为
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
【答案】B
【解析】画出区域 D 如图所示，而 z=OM ·OA= 2x+ y ，所以 y = - 2x+ z ，令l0 ： y = - 2x，平移
直线l 过点( 2,2)时， z 取得最大值，故 z = 2´ 2 +2 = 4 ．
0
max
ì2x + y - 2 £ 0,
ï
19．(2020 全国 I 文 13)若 x, y 满足约束条件íx - y -1³ 0, 则 z = x + 7y 的最大值为__________．
ï
y +1³ 0,
î
【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 x + 7y = 0 并平移，
z = x + 7y
数形结合可知当平移后的直线经过点 A(1，0) 时，
取得最大值，最大值为 1．


3
解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得 A(1，0) ， B(0，-1) ，C( ，-1) ，当直线
2
3
z = x + 7y 过点 A(1，0) 时，z =1；当直线 z = x + 7y 过点 B(0，-1) 时，z = -7 ；当直线 z = x + 7y 过点C( ，-1)
2
11
2
时， z
= -
．所以
z
的最大值为 1．
ìx+ y ³ 0
ï
20．(2020 全国 3 文 13)若 x,y 满足约束条件í2x- y ³ 0 ，则 z = 3x + 2y 的最大值为_____．
ï
x £1
î
【答案】7
【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x + 2y = 0 ，平移该直线，
由图可知当平移后的直线经过点 A(1，2) 时， z = 3x + 2y 取得最大值， zmax = 3´1+ 2´2 = 7 ．


解法二：易知 z = 3x + 2y 的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标
ìx + y = 0，
î2x - y = 0，
ìx = 0，
解得í
代入 z = 3x + 2y 中可得 z = 0 ；联 立得
= 0，
代入 z = 3x + 2y ，即可求得最大值．联立得í
îy
ìx + y = 0，
îx =1，
ìx =1，
ìx =1，
ìx =1，
代入 z = 3x + 2y 中可得
y = 2，
î
í
解得í
代入 z 3x 2y
=
+
中可得 z =1；联立得
í
解得í
îy
= -1，
î
2x - y = 0，
z = 7 ．通过比较可知， z 的最大值为 7．
ìx + y…-1，
ï
21．(2020 全国 II 文 15)若 x，y 满足约束条件íx y
2x - y„1，
- …-1，则 z = x + 2y
的最大值是____．
ï
î
【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 x 2y 0 并平移，由图知，当平移
+
=
时， z 取得最大值，
z
max
A(2，3)
= 2 + 2´3 = 8．
后的直线经过点
ìx + y = -1， ìx = -1，
解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由í 得í
îx - y = -1， îy
= 0，
ìx + y = -1， ìx = 0，
此时 z = -1；由í 得 í
î2x - y =1， îy
ìx - y = -1， ìx = 2，
此时 z = -2；由í 得í
此时 z 8 ．综上所述，z = x + 2y
= -1，
=
î2x - y =1， îy = 3，


的最大值为 8．
ìx + y…0，
ï
22．(2020 全国 III 理 13)若 x，y 满足约束条件í2x - y…0，则 z = 3x + 2y
的最大值为________．
ï
x„1，
î
3
2
z
【答案】7【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线 y
= -
x +
2
过点 A(1，2) 时， z 取得最大值，且
= 3´1+ 2´2 = 7
．
z
max
ì2x + y - 2 £ 0,
ï
23．(2020 全国 I 理 13)若 x, y 满足约束条件íx - y -1³ 0, 则 z = x + 7y 的最大值为____________．
ï
y +1³ 0,
î
ìx - y -1= 0， ìx =1，
【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由í 得í
故 A(1，0) ．作出
= 0，
î2x + y -2 = 0 îy
直线 x + 7y = 0 ，数形结合可知，当直线 z = x + 7y 过点 A 时， z = x + 7y 取得最大值，为 1．
æ 3
è 2
ö
ø
解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得 A(1，0) ，B(0，-1) ，Cç ，-1 ，当直线 z = x + 7y 过点 A
÷
3
11
时，z =1；当直线 z = x + 7y 过点 B 时，z = -7 ；当直线 z = x + 7y 过点 C 时，z = -7 = - ．所以 z = x + 7y
2
2
的最大值为 1．


ìx + y ³ 2
ï
24．(2020 上海 7)已知 íy ³ 0
，则 z = y - 2x 的最大值为
．
ï
x + 2y -3 £ 0
î
【答案】-1【解析】首先画出可行域，和初始目标函数 y = 2x ，当直线 y = 2x平移至点 A 1,1 时，取得
( )
最大值， zmax =1-2´1= -1 ，故答案为：-1．
ì2x+3y -6 ³ 0
ï
íx+ y -3 £ 0 ，则 z = 3x - y 的最大值是
y -2 £ 0
25．(2019•新课标Ⅱ，文 13)若变量 x ， y 满足约束条件
【答案】9
．
ï
î
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数 z = 3x - y 为 y = 3x - z ，由图可知，当直线 y = 3x - z
ì2x+3y -6 = 0
í
x+ y -3 = 0
过 A 时，直线在 y 轴上的截距最 小，由î
解得 A(3, 0) ，所以 z 有最大值为 9．


ìx-2y -2 £ 0
ï
íx- y +1³ 0 ，则 z = 3x + 2y 的最大值为
y £ 0
26．(2018•新课标Ⅰ，理 13(文 14))若 x ， y 满足约束条件
【答案】6
．
ï
î
3
1
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由 z = 3x + 2y 得 y = - x + z ，
2
2
3
1
3
1
平移直线 y = - x + z ，由图象知当直线 y = - x + z 经过点 A(2,0) 时，直线的截距最大，此时 z 最大，
2
2
2
2
最大值为 z = 3´2 = 6 ．
ìx+2y -5 ³ 0
ï
íx-2y +3 ³ 0 ，则 z = x + y 的最大值为
x-5 £ 0
27．(2018•新课标Ⅱ，理 14(文 14))若 x ， y 满足约束条件
【答案】9
．
ï
î
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数 z = x + y 为 y = -x + z ，由图可知，当直线 y = -x + z


ìx = 5
过 A 时， z 取得最大值，由í
，解得 A(5, 4) ，目标函数有最大值，为 z = 9．
îx - 2y +3 = 0
ì2x+ y +3 ³ 0
ï
1
28．(2018•新课标Ⅲ，文 15)若变量 x ， y 满足约束条件 x-2y +4 ³ 0
，则 z = x + y 的最大值是
．
í
3
ï
x-2 £ 0
î
【答案】3
1
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，z = x + y 变形为 y = -3x +3z，作出目标函数对应的直线，由图
3
ìx = 2
知，当直线 y = -3x +3z 过 时，直线的纵截距最小，z 最大，由í
A
解得 A(2,3) ，所以 z 最大值
îx - 2y + 4 = 0
1
为2 +3´ = 3 ．
3
ìx+2y £1
ï
29．(2017•新课标Ⅰ，理 14)设 x ， y 满足约束条件 2x+ y ³ -1
，则 z = 3x - 2y 的最小值为
．
í
ï
x- y £ 0
î
【答案】-5


ìx+2y £1
ï
2x+ y ³ -1
x- y £ 0
í
ï
î
【解析】由 x ， y 满足约束条件
ìx + 2y =1
作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为 A ，联立
，解得 A(-1,1) ，\z = 3x - 2y 的最小值为-3´1- 2´1= -5．
í
î2x + y = -1
ìx- y ³ 0
ï
íx+ y - 2 £ 0 ，则 z = 3x - 4y 的最小值为
y ³ 0
30．(2017•新课标Ⅲ，理 13)若 x ， y 满足约束条件
【答案】-1
．
ï
î
3
z
3
z
【解析】由 z = 3x - 4y ，得 y = x - ，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线 y = x - ，由平
4
4
4
4
3
z
3
z
移可知当直线 y = x - ，经过点 B(1,1) 时，直线 y = x - 的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标
4
4
4
4
代入 z = 3x - 4y = 3- 4 = -1 ，即目标函数 z = 3x - 4y 的最小值为-1．
ìx - y +1…0
ï
31．(2016•新课标Ⅱ，文 14)若 x ， y 满足约束条件 íx y
+ -3…0 ，则 z = x - 2y 的最小值为
．
ï
x -3„0
î
【答案】-5


ìx = 3
îx - y +1= 0
1
1
【解答】作出可行域如图，由í
，解得 B(3, 4) ，由图可知，当直线 y = x - z 过 B(3, 4) 时，直
2
2
线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为：3 - 2 ´ 4 = -5 ．
ìx - y +1…0
ï
32．(2016•新课标Ⅲ，理 13)若 x ， y 满足约束条件 íx 2y 0
-
„
，则 z = x + y 的最大值为
．
ï
x + 2y - 2„0
î
3
2
【答案】
ìx - 2y = 0
【解 析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由í
1
得 D(1, ) ，
îx + 2y - 2 = 0
2
1
3
所以 z = x + y 的最大值为1+ = ．
2
2
ì2x - y +1…0
ï
33．(2016•新课标Ⅲ，文 13)设 x ， y 满足约束条件 íx - 2y -1„0 ，则 z = 2x +3y -5 的最小值为
．
ï
x„1
î


【答案】-10
ì2x - y +1 = 0
【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立 í
ìx = -1
，解得 í
îy = -1 ，即 A(-1,-1) ，化目标函数
îx - 2y -1= 0
2
z
5
2
z
5
z = 2x +3y -5 为 y = - x + + ，由图可知，当直线 y = - x + + 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z
3
3
3
3
3
3
有最小值为2´(-1) +3´(-1) -5 = -10 ．
ì x+ y -2 £ 0
ï
34．(2015 新课标Ⅰ，文 15)若 x，y 满足约束条件íx-2y +1£ 0 ，则 z=3x+y 的最大值为
．
ï
2x- y +2 ³ 0
î
【答案】4
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x+ y = 0 ，平移直线l ，当直线l：z=3x+y 过点
0
0
ìx+ y -2=0
îx-2y +1=0
A 时，z 取最大值，由í
解得 A(1，1)，∴z=3x+y 的最大值为 4．
ìx - y +1…0
ï
35．(2016•新课标Ⅲ，理 14)若 x ， y 满足约束条件 íx - 2y„0
，则 z = x + y 的最大值为
．
ï
x + 2y - 2„0
î
3
2
【 答案】
ìx - 2y = 0
【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由í
1
得 D(1, ) ，所以 z = x + y
îx + 2y - 2 = 0
2
1
3
的最大值为1+ = ．
2
2


ì x+ y -5 £ 0
ï
í2x- y -1³ 0
x-2y +1£ 0
36．(2015 新课标Ⅱ，文 14)若 x，y 满足约束条件
【答案】8
，则 z=2x+y 的最大值为
．
ï
î
ì1£ x £ 3
î-1£ x- y £ 0
37．(2013 新课标Ⅰ，文 14)设 x，y 满足约束条件í
，则 z = 2x- y的最大值为______．
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：2x- y = 0，平移直线l，由题知当直线l过A
ìx = 3
点时 z = 2x- y取最大值，由í
解得A(3，3)，∴ zmax =2´3-3=3．
îx- y = 0
ìx- y ³ -1
ï
ïx+ y £ 3
x ³ 0
38．(2012 课标，理 13)设 x， y 满足约束条件í
，则 z = x-2y的取值范围为
．
ï
ï
îy ³ 0
【答案】[－3，3]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x-2y =0，平移直线l ，有图像知，l: z = x-2y，
0
0
过 A(1，2)点时 zmin =－3，过 B(3，0)时， zmax =3，故 z = x-2y的取值范围为[－3，3]．


ì3 £ 2x+ y £ 9
î6 £ x- y £ 9
39 ．(2011•新课标，理 13) 若变量 x ， y 满足约束条件 í
，则 z = x+2y 的最 小值
为
．
【答案】-6
ì2x+ y = 3
îx- y = 9
【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过 A 点时， z = x+2y 取最小值，解 í
得
A(4，－5)， zmin = 4 +2´(-5)=－6．
y
x+1≤ y≤2x ，则2y - x
的最小值是__________．
40．(2018 北京)若 x， 满足
【答案】3
ìy≤2x
【解析】作出不等式组 í
，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令 z = 2y - x ，作出直线
îx+1≤ y
2y - x = 0，平移该直线，当直线过点 A(1, 2)时，2y - x 取得最小值，最小值为2´2-1=3．
ì x- y≥0
ï
41．(2018 浙江)若 x， y 满足约束条件í2x+ y≤6，则 z = x+3y 的最小值是__，最大值是__．
ï
x+ y≥ 2
î


【答案】−2；8
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中 B(4,-2) ， A(2, 2) ．设 z = x +3y ，
将直线l : z = x +3y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，
F 4, 2
\z最小值 = ( - )= - ，可得当l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最最大值， z
2
= F(2, 2)=8 ．
最大值
考点 71 非线性目标函数的最值问题
ì + £
ïx y 2,
ï
ï
ï
2
1．(2016 年山东)若变量 x，y 满足í2x-3y£9,则 x
+
y2 的最大值是
ï
ï
x
0,
ïî
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 P(x, y) 为平面区域内任意一点，则
ì x + y = 2
î2x -3y = 9
x
2
+ y2 表示|OP |2 ．显然，当点 P 与点 A合时，|OP |2 ，即 x
2
+ y2 取得最大值，由 í
，解得
ì x = 3
îy = -1
，故 A(3,-1) ．所以 x
2
+ y2 的最大值为3
2
+(-1) =10．故选 C．
2
í
ìx-2 £ 0
ï
2．(2016浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域íx y 0
+ ³
，
ï
x-3y+4 ³ 0
î
中的点在直线 x + y -2 = 0 上的投影构成的线段记为 AB，则| AB | =
A．2 2
【答案】C
B．4
C．3 2
D．6


【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C, D 分别作直线 x + y -2 = 0 的垂线，
垂 足 分 别 为 A,B ， 则 四 边 形 ABDC 为 矩 形 ； 又 C(2,-2) ， D(-1, 1) ， 所 以
| AB |=|CD |= (2 +1)
2
+(-2 -1) = 3 2 ，故选 C．
2
ìx+ y -7 £ 0,
( - )
2
y b
+( - )
2
=1，设平面区域W = íx- y+ 7 ³ 0, ，若圆心CÎW
，且圆 C
ï
3．(2014 福建)已知圆C : x a
ï
y ³ 0
î
与 x轴相切，则a
2
+b2 的最大值为
C．37 D．49
A．5
B．29
【答案】C
【解析】平面区 域W为如图所示的阴影部分的△ABD，
因圆心C(a,b) ∈W，且圆C与 x轴相切，所以点C在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y =1( -2
≤ x≤6)，由图形得，当点C在点 N(6,1) 处时，a +b2 取得最大值6 +1 = 37 ，故选 C．
ìx-1³ 0
2
2
2
ï
y
4．(2015 新课标Ⅰ，理 15)若 x，y 满足约束条件íx- y £ 0
，则 的最大值为
．
x
ï
x+ y - 4 £ 0
î
【答案】3
y
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图
x
y
可知，点 A(1，3)与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3．
x


ìx - 2y + 4 ³ 0
ï
í2x + y -2 ³ 0 ，则
3x - y -3 £ 0
x
2
+ y2 的取值范围是
5. (2016 江苏)已知实数 x，y 满足
．
ï
î
4
【答案】[ ,13]
5
【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0, 2) ，(1, 0) ，(2, 3) 为顶点的三角形及其内部，如图所示，因
2
4
为原点到直线2x + y -2 = 0 的距离为
，所以(x
2
+ y
2
) = ，又当(x, y) 取点(2, 3) 时， x + y2 取
2
min
5
5
4
x + y2 的取值范围是[ ,13] ．
2
得最大值 13，故
5
考点 72 线性规划的实际问题
1．(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得
最大利润为
甲
3
乙
2
原料限额
A(吨)
B(吨)
12
8
1
2
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
【答案】D
ì3x+2y £12
ï
ïx+2y £ 8
x ³ 0
x y
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 、 吨，则利润
z = 3x+4y
，由题意可列í
，
ï
ï
îy ³ 0


其表示如图阴影部分区域，当直线3x+4y - z = 0
过点
A(2, 3)
z
时， 取得最大值，所以
zmax = 3´2+4´3 =18 ，故选 D．
2．(2016•新课标Ⅰ，理 16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需
要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用 3 个工
时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料150kg ，乙
材料90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为
元．
【答案】216000
ìxÎN, yÎ N
ï
ï1.5x + 0.5y 150
„
【解析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元，由题意，得í
，z = 2100x +900y ，
x + 0.3y„90
ï
ï
î5x +3y 600
„
ìx + 0.3y = 90
作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得 í
ìx = 60
，解得： í
îy =100
， A(60,100) ，由图知，
î5x +3y = 600
z = 2100x +900y 经过 A 时，目标函数取得最大值：2100´60 +900´100 = 216000 元．
考点 73 含参数的线性归化问题


ìx+ y ³ a
îx- y £ -1
x, y
z = x+ay
1．(2014 新课标 I，文 11)设
， y 满足约束条件í
，且
的最小值为 7，则a=(
)
A．-5
B．3
C．-5 或 3
D．5 或-3
【答案】B
【解析】当a＞0 时，作出可行域如图 1 中阴影部分所示，作出直线l ：x+ay = 0，平移直线l ，由图知，
0
0
l： z = x+ay过点 A 时， z = x+ay取最小值；
当a＜0 时，作出可行域如图 2 中阴影部分所示，作出直线l ：x+ay = 0，平移直线l ，由图知，z = x+ay
0
0
ìx+ y = a
îx- y = -1
-
+
a-1 a(a+1)
a 1 a 1
+
a a
=7，解得 =-5(舍)或 =3，故选 B．
无最小值；由í
解得 A(
，
)，故
2
2
2
2
ìx ³1
ï
2．(2013 新课标Ⅱ，理 9)已知a＞0，x, y满足约束条件íx+ y £ 3 ，若 z = 2x+ y 的最小值为 1，则a =
ï
y ³ a(x-3)
î
1
4
1
2
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 z = 2x+ y ，由题知当直线 z = 2x+ y 过 A 点时，z 取
ì2x+ y =1
îx =1
1
最小值 1，由í
解得 A(1，－1)，因 A(1，－1)在 y = a(x-3)上，∴a= ，故选 B．
2
ìx- y≥0
ï
3．(2 015 山东)已知 x, y满足约束条件íx+ y≤2，若 z = ax+ y的最大值为 4，则a =
ï
y≥0
î


A．3
B．2
C．－2
D．－3
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则 A(2,0) ， B(1,1) ，
若 z = ax + y 过 A 时取得最大值为 4，则2a = 4 ，解得a = 2 ，此时，目标函数为 z = 2x + y ，即 y = -2x + z ，
平移直线 y = -2x + z ，当直线经过 A(2,0) 时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，
若 z = ax + y 过 B 时取得最大值为 4，则a +1= 4 ，解得a = 3 ，此时，目标函数为 z = 3x + y ，
即 y = -3x + z ，平移直线 y = -3x + z ，当直线经过 A(2,0) 时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，故
a = 2 ，故选 B ．
ìx+ y -2 £ 0
ï
x, y
íx-2y -2 £ 0
2x- y +2 ³ 0
z = y -ax
a
4．(2014 安徽)
满足约束条件
，若
取得最大值的最优解不唯一，则实数 的
．．．
ï
î
值为(
)
1
1
2
或-1
2或
D．
2或-1
A．
B．
C．2 或 1
2
【答案】D
【解析】解法一 由题中条件画出可行域，
可知三交点 A(0, 2) ，B(2,0)，C(-2,-2) ，则 z = 2， z = -2a， z = 2a -2，要使目标函数取得最大
A
B
C
值的最优解不唯一，只要 z = z > z 或 z = z > z 或 z = z > z ，解得a = -1或a = 2．
A
B
C
A
C
B
B
C
A


解法二 目标函数 z = y -ax 可化为 y = ax+ z ，令l ： y = ax，平移l ，则当l ∥AB 或l ∥AC 时符
0
0
0
0
合题意，故a = -1或a = 2．
ì x+ y -2 ³ 0
ï
5．(2014 北京)若 x, y满足íkx- y +2 ³ 0 且 z = y - x的最小值为－4，则k 的值为
ï
y ³ 0
î
1
1
2
A．2
B．-2
C．
D．-
2
【答案】D
ì x+ y -2 ³ 0
ï
【解析】作出线性约束条件íkx- y +2 ³ 0 ，的可行域．当k >0时，如图(1)所示，此时可行域为 y 轴上 方、
ï
y ³ 0
î
直线 x+ y -2 = 0 的右上方、直线kx- y +2 = 0 的右下方的区域，显然此时 z = y - x无最小值．当k < -1
时． z = y - x取得最小值 2；
当k = -1时， z = y - x取得最小值-2，均不符合题意，
2
当-1< k 1，故直线 y = mx 与直线 x + y =1交于(
1
m
,
) 点，目标函数 z = x + my 对应的直线与直
m +1 m +1
1
m
1 m
+
2
线 y = mx 垂直，且在(
,
) 点，取得最大值，其关系如下图所示，即
< 2 ，解得1- 2 < m 1 ，解得mÎ(1,1+ 2) ，故选 A ．


ìx+2y -4 £ 0,
ï
x y
íx- y -1£ 0,
x ³1,
1£ ax+ y £ 4 a
时， 恒成立，则实数 的取值范围是________．
8．(2014 浙江)当实数 ， 满足
ï
î
3
【答案】[1, ]
2
ìx =1
【解析】由约束条件作可行域如图，由 í
ìx - y -1= 0
3
解得 C(1, ) ．由 í
解得 B(2,1) ，在
îx + 2y - 4 = 0
2
îx + 2y
- 4 = 0
ìa -1…0
ï
3
ï
ïa + -1…0
3
x - y -1= 0 中取 y = 0 得 A(1, 0) ，要使1„ax + y„4 恒成立，则í
，解得：1„a„ ，\实数a 的取
2
2
ï
a - 4„0
ï
ï2a +1- 4„0
î
3
值范围是[1, ] ．
2
ì y £ x
ï
íx y 4
+ £
z = 2x+ y
，且 的最小值为－6，
x, y
9．(2014 湖南)若变量
满足约束条件
ï
y ³ k
î
则k =
．
【答案】－2
【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由 z = 2x + y ，得 y = -2x + z ，平移直线 y = -2x + z ，
由图象可知当直线 y = -2x + z 经过点 A 时，直线 y = -2x + z 的截距最小，此时 z 最小，目标函数为2x + y = -6 ，
ì2x + y = -6
由í
ìx = -2
，解得í
，即 A(-2,-2) ，Q点 A 也在直线 y = k 上，\k = -2．
îy = x
îy = -2


ì x ³ 2
ï
10．(2013 浙江)设 z = kx+ y ，其中实数 x, y满足íx-2y +4 ³ 2 ，若 z 的最大值为 12，则实数
ï
2x- y -4 < 0
î
k =________ ．
【答案】2
【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中C(2, 0) ， A(2, 3) ， B(4, 4) ．
y = -kx
4k+4=12，
当k >0时，直线l0 ：
所以k = 2；当k