2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题28 抛物线（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题28 抛物线（教师版含解析），共22页。试卷主要包含了设 F 为抛物线 C，若抛物线，【2016 四川文科】抛物线，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。

专题 28 抛 物 线
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
抛物线
理 20
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
2011
文 9
理 20
文 20
文 8
抛物线
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系
圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质
抛物线的定义及几何性质
圆，抛物线
圆，抛物线
抛物线
2012
卷1
圆，抛物线
圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离
公式
2013
2014
理 11
卷2
文 10
理 10
文 10
理 10
文 10
理 20
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
圆，抛物线
抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系
抛物线的定义、标准方程
卷1
卷2
抛物线的定义、标准方程
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位
置关系
2015 卷1
理 10
卷1
2016
文 20
文 5
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
抛物线
直线与抛物线的位置关系
卷2
抛物线的几何性质，反比例函数的性质
卷3
文理 20
理 10
文 20
理 16
文 12
理 8
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
卷1
2017
卷2
卷1
文 20
2018
卷2 理 19 文 20 抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，
卷3
卷1
卷2
理 16
理 19
抛物线
抛物线
直线与圆，直 直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
线与抛物线 程及其几何性质，抛物线的定点问题
2019
文 21
理 8 文 9
椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质


圆、抛物线
圆、抛物线
抛物线
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷3
文 21
理 21
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷3
卷1
理 4
理 19
文 19
理文 7
抛物线的定义及标准方程
椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
2020 卷2
卷3
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质
大数据分析*预测高考
出现频率
考点
2021 年预测
考点95抛物线的定义及标准方程 37 次考 14 次 命题角度：(1)抛物线的定义及应用；(2)抛物线的标准
考点 96 抛物线的几何性质
37 次考 19 次 方程与几何性质；(3)直线与抛物线的位置关系．
核心素养：数学运算、运算推理、直观想象
考点97直线与抛物线的位置关系 37 次考 22 次
十年试题分类*探求规律
考点 95 抛物线的定义及标准方程
k
1．(2016 全国 II 文)设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k=(
)
x
1
3
2
(A)
(B)1
(C)
(D)2
2
【答案】D
2
y = 4x的焦点，所以 F(1,0)，
【解析】因为 F 抛物线
k
k
又因为曲线 y = (k >0)与C 交于点 P ， PF x 轴，所以
^
= 2，所以k = 2，选 D．
x
1
x
2
2
y
2
2
-
=
1(a 0,b 0) 的离心率为 2．若抛物线
>
>
C2 : x
= 2py(p >0)
的焦
2
2．(2012 山东文理)已知双曲线C1 ：
a
b
点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为(
)
1
2
8 3
3
16 3
3
A． x
=
y
B． x
2
=
y
C． x
2
=8y
D． x =16y
2
2
2
2
y
2
c
x
-
=
1(a >0,b >0) 的离心率为 2，所以
= 2Þ b = 3a.
【答案】D【解析】∵双曲线C1 ：
a
b
2
a
又渐近线方程为bx±ay = 0,
所以双曲线C1 的渐近线方程为
3x± y = 0.


p
| |
p
2
而抛物C2 : x
故选 D．
2
= 2py(p >0) 的焦点坐标为(0, ),所以有
= 2Þ p =8 ．
2
( 3)
2
+12
考点 96 抛物线的几何性质
3．【2020 全国Ⅰ理 4】已知 A为抛物线C: y
2
= 2px(p >0)上一点，点 A到C的焦点的距离为12，到 y
轴的距离为9，则 p =
(
)
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．
p
p
AF = x + =12，即12 = 9 +
，解得
p = 6，故选
【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知
C．
A
2
2
PQ ^ l
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为 F ，准线为l．P 是抛物线上异于O的一点，过 P 作
于
Q，则线段 FQ的垂直平分线(
A．经过点O
)
B．经过点 P
C．平行于直线OP
【答案】B
D．垂直于直线OP
【解析】如图所示，因为线段
FQ的垂直平分线上的点到 F,Q
的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义
PQ = PF
可知，
，所以线段
FQ的垂直平分线经过点 P ．
x
2
2
y
2
2
5．【2020 天津 7】设双曲线C的方程为
-
=
1(a 0,b 0) ，过抛物线
>
>
2
y = 4x的焦点和点(0,b)的直
a
b
l
线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
C
l
l
C
(
)


x
2
y
2
y
2
x
2
-
=1
x
2
-
=1
- y
2
=1
x
2
- y =1
2
A．
B．
C．
D．
4
4
4
4
【答案】D
y
( )
1,0
x+ =1
-b
，即直线的斜率为 ，
l
，所以直线 的方程为
【解析】由题可知，抛物线的焦点为
b
b
b
a
b
y = ± x，所以-b = -
-b´ = -1
a > 0,b > 0，解得a =1,b =1
又双曲线的渐近线的方程为
，
，因为
．
a
a
故选 D．
x
2
y
2
+
=1的一个焦点，则 p=
6．【2019 全国Ⅱ文】若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
3p
p
A．2
B．3
D．8
C．4
【答案】D
p
x2
y2
p
2
2
y
= 2px(p > 0) 的焦点( ,0)是椭圆
+
=1的一个焦点，所以3p- p = ( )
，
2
【解析】因为抛物线
2
3p
p
解得
p =8，故选 D．
7．(2016 全国 I 理)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A， B 两点，交C的准线于 D， E 两点．已知
| AB|=4 2 ，| DE |=2 5 ，则C的焦点到准线的距离为
A．2
B．4
C．6
D．8
2
y = 2px(p > 0) ，由| AB |= 4 2 ，
B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为
4
p
| DE |= 2 5 ，可取 A( ,2 2) ， D(- , 5) ，设O为 坐标原点，
p
2
16
p
2
由|OA|=|OD |，得
+8 =
+5，得 p = 4，所以选 B．
p
2
4
y
2
= 4x的焦点坐标是(
)
8．【2016 四川文科】抛物线
(A)(0，2)
(B) (0，1)
(C) (2，0) (D) (1，0)
【答案】D
【解析】由题意，
y = 4x的焦点坐标为(1,0)，故选 D．
2


9．(2016 四川理)设O为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线
上的点，且 PM =2 MF ，则直线OM 的斜率的最大值为
y = 2px(p > 0)上任意一点，M 是线段 PF
2
3
2
3
2
A．
B．
C．
D．1
3
2
uuur
uuuur
uuur
æ
è
p
ö
ø
1
(
) (
)
>
P 2pt
2
, 2pt , M x , y (不妨设t 0)，则 FP = 2pt
2
- , 2pt ，∵ FM = FP，∴
C【解析】设
ç
÷
2
3
ì
p 2p
x- =
p
ì
2p
p
t
2
- ,
x =
y =
t + ,
2
ï
ï
ï
ï
2t
+1
1
1
2
2
2
3
6
3
2pt
3
，∴í
∴kOM
=
=
£
=
，∴(kOM )max
=
，
í
2pt
2t
2
1
1
2
2
2
ï
ï
t +
y =
,
,
2
ï
ï
2t
î
3
î
3
故选 C．
10．(2015 陕西文)已知抛物线
A．(－1，0) B．(1，0)
y = 2px( p > 0)的准线经过点(-1, 1) ，则该抛物线的焦点坐标为
2
C．(0，－1)
D．(0，1)
p = 2 ，∴焦点坐标为(1, 0)
，故选 B．
p
【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为 x
= - = -
1，∴
2
O
F
C : y
2
= 4 2x
P C
| PF |= 4 2
的焦点， 为 上一点，若 ，
11．(2013 新课标 1 文理) 为坐标原点， 为抛物线
则DPOF
的面积为
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
(
)
【答案】C【 解析】∵OF = 2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标 3 2,±2 6 ，
1
1
∴DPOF
的面积为 OF y
= ´
2´2 6 = 2 3 ．
P
2
2
y
2
= 2px(p > 0)的准线经过双曲线 x
2
- y
2
=1的一个焦点，则 p =
．
12．(2015 陕西理)若抛物线
p
p
【答案】2 2【解析】y
2
= 2px 的准线方程为 x = - ，又 p > 0，所以 x = - 必经过双曲线 x
2
- y =1
2
2
2
p
的左焦点(- 2,0)，所以- = - 2 ， p = 2 2 ．
2
ABCD和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a < b)
O AD
，原点 为 的中
13．(2014 湖南文理)如图，正方形
b
y
2
= 2px(p > 0)经过C,F
两点，则 =
．
点，抛物线
a


【答案】1+ 2【解析】由正方形的定义可知 BC= CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以
p
p
p
| AD|= p = a ，D( ,0) F( +b,b) ，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得b
2
= 2p( +b) = a +2ab，变
2
2
2
2
b
2b
形得
解得
( )
2
-
-1= 0，
a
b
a
b
b
a
=1+ 2
=1- 2
=1+ 2
．
或
(舍去)，所以
a
a
2
= 2px 的焦点坐标为(1, 0) ，则 p
=
14．(2013 北京文理)若抛物线
【答案】2， x = -1【解析】
y
，准线方程为
．
p
p
=
1, p 2；准线
=
x = - = -1
．
2
2
l
15．(2012 陕西文理)右图是抛物线 形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，
水面宽 米．
【答案】2 6 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为(0，0)，设抛物线的方程为
x
2
= -2py，
1
与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A(–2，–2)，B(2，–2)，则有- 2 = a´(- 2)
2
，
l
，∴a = -
2
1
y = - x
2
x = 6 x = - 6 ，∴此时水面宽为2 6
，水位下降 1 米，则 y=–3，此时有 或
∴抛物线的解析式为
米．
2
考点 97 直线与抛物线的位置关系
16．(2020 全国Ⅲ文 7 理 5)设O为坐标原点，直线 x = 2与抛物线C : y
OD ^OE ，则C的焦点坐标为
2
= 2px(p > 0)交于 D, E两点，若
(
)
æ 1 ö
è 4 ø
æ 1 ö
B．ç , 0÷
(
D．(2 , 0)
A．ç , 0÷
C． 1, 0)
è 2 ø
【答案】B


x = 2与抛物线
2
= 2px(p > 0)交于C,D 两点，且OD ^OE
y ，根据抛物线的对
【解析】解法一：∵直线
p
称性可以确定ÐDOx = ÐCOx =
，∴C(2, 2)
，代入抛物线方程4 = 4p
p =1，∴其焦点坐标为
，求得
4
1
( ,0)
，故选 B．
2
解 法 二 ： 将 x = 2 代 入
y
2
= 2px(p >
0)
得 y = ±2 p ． 由 OD ⊥ OE 得 k ×k = -1 ， 即
OD OE
2 p - 2 p
1
×
= -1，得 p =1，∴抛物线C : y = 2x的焦点坐标为 F( ,0)，故选 B．
2
2
2
2
2
17．(2018 全国Ⅰ理 8)设抛物线C : y2
=
4x 的焦点为F ，过点(-2 , 0)
且斜率为 的直线与C 交于M , N 两
3
点，则FM FN
×
=
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
ì
2
x 2 ,
= ( + )
2
2
3
ïy
(- )
)
2,0
y =
(x+ 2
，与抛物线方程联立í
3
【解析】根据题意，过点
且斜率为 的直线方程为
3
，
ï
îy2 = 4x
y
2
-6y +8 = 0，解得M 1, 2 , N 4, 4 ，又F 1, 0),\FM 0, 2 , FN 3, 4 ，从而可以求得
(
)
(
)
(
=(
)
=(
)
消元整理得：
FM ×FN =8，故选 D．
18．(2017 新课标Ⅰ理)已知 F 为抛物线C：y = 4x的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l 与
2
1 2 1
C交于 A、 B 两点，直线l2 与C交于 D、 E 两点，则| AB| +| DE |的最小值为(
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A【解析】由已知l 垂直于 x轴是不符合题意，所以l 的斜率存在设为k ，l 的斜率为k ，由题意
)
1
1
1
2
2
有k ×k = -1，设 A(x , y )， B(x , y )， D(x , y )， E(x , y )
1
2
1
1
2
2
3
3
4
4
此时直线l 方程为 y = k (x-1) ，
1
1
ì =
4x
2
取方程íy
，得
k
x
-2k1
x-4x+k1
= 0，
2
1
2
2
2
îy = k1(x-1)
-2k1
2
-4 2k1 + 4
2
∴
x + x = -
=
1
2
k1
2
2
k1


2k2 +4
2
同理得
x + x =
3
4
2
2
k
由抛物线定义可知| AB| +| DE |= x + x + x + x +2p
1
2
3
4
2k1
2
+4 + 2k2
2
+4
4
4
16
=
+4 =
+
+8≥2
+8 =16
k1
2
k
2
2
k1
2
k
2
k1
2
k
2
2
2
当且仅当k = -k =1(或-1)时，取得等号．
1
2
19．(2017 全国Ⅱ文)过抛物线C : y
2
= 4x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C于点M (M 在 x的轴上方)，
l C N l MN ^l
为 的准线，点 在 上且
NF
的距离为
，则
M
到直线
A． 5
B．2 2
D．3 3
C．2 3
【答案】C
1
【解析】由题知MF : y
=
3(x 1) ，与抛物线
-
y
2
= 4x
联立得3x 10x 3 0，解得
2
-
+ =
x = ,x = 3
，
1
2
3
所以 M(3, 2 3)，因为MN ^l
，所以
N(-1,2 3)
，因为
F(1, 0)
NF : y = - 3(x-1)
，所以 ．
| 3´(3-1)+2 3 |
= 2 3
．故选 C．
所以 M 到直线
NF
的距离为
( 3)
2
+12
y
2
= 4x的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C ，其
20．(2015 浙江理)如图，设抛物线
中点 A,B在抛物线上，点C在 y 轴上，则DBCF 与DACF 的面积之比是
BF 2 -1
BF 2 +1
BF -1
AF -1
BF +1
AF +1
A．
B．
C．
D．
2
-1
AF +1
2
AF
SDBCF BC xB BF -1
SDACF AC xA AF -1
=
=
=
【答案】A【解析】如图，
，故选 A．


21．(2015 四川文理)设直线l与抛物线
y
2
= 4x相交于 A,B两点，与圆(x-5)
2
+ y
2
= r (r > 0) 相切于点 M ，
2
且M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l恰有 4 条，则r 的取值范围是
( )
A． 1，3
( )
B． 1，4
( )
C． 2，3
( )
D． 2，4
【答案】D 【解析】当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰好有 2 条，即 x =5±r，所以0< r 2，又 y0 < 4x0 ，
2
所以
y x -5
0
0
即r
2
-4 0，设 A(x , y ),B(x , y )
，则
x + x =
1 2
，
1
1
2
2
A,B
x = -1的垂线，设垂足分别为C,D
如图所示．
过
分别作 准线
16
| AB|=| AF | +| BF |=| AC | +| BD|= x +1+ x +1 = x + x +2=
．
1
2
1
2
3
28．【2020山东13】斜率为 3 的直线过抛物线C: y
2
=4x的焦点，且与C 交于 A ，B 两点，则 AB = __________．
16
【答案】
3
【解析】由题抛物线
2
=
，可知其焦点为
，准线为l:x = -1，如图所示．作 AA¢^l，BB¢^l，
F (1, 0)
C:y 4x
直线 AB 准线交于点 H ，由kAB = 3，∴倾斜角q =60o ，∴ÐA¢HA 30
=
o ，
由抛物线定义知：| AA¢|=| AF |，| BB¢|=| BF |，
又∵| AH |= 2 | AA¢|，∴ F 为 AH中点，∵| MF |= 2，∴| HF |=| AF |= 4 ，
1
2
4
3
4 16
，∴| AB | | AF | | BF | 4
∵| BB | | BF |=
¢ =
| HB | ，∴3| BF | 4，∴| BF |
=
=
=
+
= + =
．
3
3
29．【2019 北京文】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为__________．


【答案】(x-1)
2
+ y = 4
2
【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F(1，0)，准线 l 的方程为 x=−1，
以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为(x-1)
2
+ y = 4．
2
(- )
2
=
30．【2018 全国 3 理 16】已知点M 1,1 和抛物线C：y 4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A ，
B 两点．若∠AMB = 90° ，则 k = ________．
【答案】2
ì =
2
1
ïy
4x1 ,
y1 - y
4
(
) (
)
\ -
=
4x 4x ，\k =
-
=
【解析】设 A x , y , B x , y ，则í
y
2
1
y
2
2
2
．
1
1
2
2
1
2
-
y + y
1 2
ïy
î
2
2
= 4x2 ,
x x
1
2
¢
= -
¢ ¢
取 AB 中点 M (x , y ) ，分别过点 A ,B作准线 x
1的垂线，垂足分别为 A , B ．
0
0
1
1
1
QÐ AMB =90°，\ MM¢ = AB
= (
AF + BF
)= (
AA¢ + BB¢ )．
2
2
2
¢
\
¢
QM 为中点 AB ， MM 平行于 x轴．
(- ) \ = \ + = \ =
QM 1,1 , y 1, y y 2, k 2，故答案为 2．
0
1
2
2
y = 4ax 截得的线段长为 4，则抛物
31．【2018 北京文】已知直线 l 过点(1，0)且垂直于轴，若 l 被抛物线
线的焦点坐标为_________．
( )
1,0
【答案】
( )
P 1,2
( )
P 1,2
y2 = 4ax 中，解得a =1，\y2 = 4x
代入 ，由抛
【解析】由题意可得，点
在抛物线上，将
p
( )
1,0
．
2p = 4, p = 2, =1
\
， 焦 点坐标为
物线方程可得：
2
32．(2017 新课标Ⅱ理)已知 F 是抛物线C：
N ．若 M 为 FN 的中点，则| FN |=
y
2
=8x的焦点， M 是C上一点， FM 的延长线交 y 轴于点
．
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 F' ，作 MB ^l 与


点 B ，NA^l 与点 A，由抛物线的解析式可得准线方程为 x = -2，则 AN = 2,FF' = 4，在直角梯形 ANFF'
AN + FF '
中，中位线 BM
=
=
MF = MB =3，结合题意，有 MN = MF =3，
3，由抛物线的定义有：
2
故 FN = FM + NM =3+3=6．
3
33．【2019 全国Ⅰ理】已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的
2
交点为 P．
(1)若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；
AP =3PB
(2)若
，求|AB|．
3
7
4 13
3
【答案】(1) y = x- ；(2)
．
2
8
3
) (
【解析】设直线l: y
=
x t,A x , y ,B x , y
+ ( )．
1
1
2
2
2
æ 3 ö
è 4 ø
3
5
(1)由题设得 F ç ,0÷，故| AF |+| BF |= x + x + ，由题设可得 x + x = ．
1
2
1
2
2
2
ì
3
ïy = x+t
12(t -1)
，可得9x
2
+12(t -1)x+4t
2
= 0 ，则 x + x = -
．
由í
2
= 3x
1
2
9
ï
îy
2
12(t -1) 5
7
3
7
从而-
= ，得t = - ．所以l的方程为 y = x- ．
9
2
8
2
8
(2)由 AP =3PB可得 y = -3y ．
1
2
ì
3
ïy = x+t
由í
2
= 3x
，可得
y
2
-2y +2t = 0 ．所以 y + y = 2．从而-3y + y = 2 ，故 y = -1, y = 3．
1
2
2
2
2
1
ï
îy
2
1
4 13
3
代入C的方程得 x =3,x = ，故| AB|=
．
1
2
3


34．【2018 全国 I 文 20】(本小题满分 12 分)
设抛物线C : y = 2x ，点 A(2,0), B(-2,0)，过点 A的直线l与C交于 M , N 两点．
2
(1)当l与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；
(2)证明：ÐABM =ÐABN ．
【解析】【基本解法 1】(1)当l ^ x轴时，直线l:x = 2
带入抛物线方程得：
2-0 1
2+2 2
-2-0
2+ 2
1
y = ±2解得点 M
(2 , 2)或 ( - )，\
2 , 2
=
=
=
或kBM
= - ，
M
kBM
2
1
1
2
1
1
所以直线 BM 得方程为：
y
x 2
= ( - ) =
x-1
或
y = - (x-2)= - x+1
．
2
2
2
M ,N
x
\ÐABM =ÐABN
关于 轴对称， ．
(2)当斜 率不存在时，
y k x 2 ,
ì = ( - )
当斜率存在时，可设直线方程为l : y = k(x-2)，í
\k
2
2
-(4k
2
+ 2)x+ 4k
2
= 0
．
x
î y = 2x ,
2
4k
2
+ 2
M(x , y ),N(x , y )
x + x =
,x x = 4
，
1 2
设点
则：
1
1
2
2
1
2
k
2
y1
y2
2x x -8
1 2
(x + 2)(x + 2)
1 2
k + k =
+
= k
= 0 \k = -k ，\ÐABM =ÐABN
， ．
MB NB
MB
NB
x + 2 x + 2
1
2
35．(2018 全国 II 文 20 理 19)(本小题满分 12 分)
( > )
=
设抛物线C: y
(1)求l的方程；
(2)求过点 A， B 且与C 的准线相切的圆的方程．
2
=4x的焦点为 F ，过 F 且斜率为k k 0 的直线l与C 交于 A， B 两点． AB 8．
【解析】(1)由题意得
， 的方程为
F(1, 0) l y = k(x-1)(k > 0)．
ì = ( - )
ïy k x 1 ,
A(x , y ),B(x , y )
í
得k
2
x
2
-(2k
2
+4)x +k = 0
2
设
，由
2
．
1
1
2
ïy = 4x ,
2
î
2k
2
+4
4k
2
+4
D =16k
2
+16 > 0，故 x + x =
\ AB = AF + BF = (x +1)+ (x +1)=
1 2
．
．
1
2
2
2
k
k
4k
2
+4
=8，解得k = -1(舍去)，k =1
l
．因此 的方程为
y = x-1
．
由题设知
k
2
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3, 2) ，\AB的垂直平分线方程为
y -2 = -(x-3)，即 y = -x+5．


ìy = -x +5,
ì =
x
3,
2
ìx0 =11,
ï
0
0
0
(x , y )
í
í
解得
或í
设所求圆的圆心坐标为
，则
(y - x +1)
2
0
0
=
y = -6.
0
ï(x +1)
2
=
0
0
2
+16.
y
î
0
î
î
0
( - )
因此所求圆的方程为 x 3
2
y 2
+( - )
2
=
( - )
16或 x 11
2
+( + )
y 6 =144 ．
2
x
2
36．(2017 新课标Ⅰ文)设 A， B 为曲线C： y =
(1)求直线 AB 的斜率；
上两点， A与 B 的横坐标之和为 4．
4
(2)设 M 为曲线C上一点，C在M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ^ BM ，求直线 AB 的方程．
x1
2
x2
2
【解析】(1)设 A(x , y )， B(x , y )，则 x ¹ x ， y =
， y2 =
，x +x =4，
1 2
1
1
2
2
1
2
1
4
4
y1 - y
x1 - x2
2
x1 + x
2
于是直线 AB 的斜率k =
=
= 1．
4
x
2
x
(2)由 y =
，得 y' = ．
4
2
x3
2
设M(x , y ) ，由题设知 =1，解得 x3 = 2 ，于是 M(2,1)．
3
3
设直线 AB 的方程为 y = x + m ，故线段 AB 的中点为 N(2,2+m)，| MN |=|m+1|．
x
2
将 y = x + m 代入 y =
得 x
2
- 4x - 4m = 0 ．
4
当D =16(m+1) > 0 ，即m > -1时， x = 2± 2 m +1，从而|AB|= 2 | x - x |= 4 2(m +1) ．
1,2
1
2
由题设知| AB|= 2| MN | ，即 4 2(m +1) = 2(m +1) ，解得m = 7，所以直线 AB 的方程为 y = x + 7．
37．(2017 新课标Ⅲ理)已知抛物线C：y = 2x，过点(2,0)的直线l交C与 A，B 两点，圆M 是以线段 AB
2
为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆 M 上；
(2)设圆 M 过点 P(4,-2)，求直线l与圆 M 的方程．
(
)
(
)
2
=
+
【解析】(1)设 A x ,y ， B x ,y ，l： x ym 2
1
1
2
ìx = my +2
由í
2
2
4 0
可得 y - my - = ，则 y y = -4
1 2
y = 2x
2
î
(
)
2
y
2
y
2
y1y2
又 x1= 1 ， x2= 2 ，故 x1x2
=
=4
2
2
4


y y -4
因此OA的斜率与OB 的斜率之积为
故坐标原点O在圆 M 上．
1
×
2
=
=-1，所以OA^OB．
x x
4
1
2
(
+ +4=2m2 +4
)
(2)由(1)可得 y +y =2m ， x x m y y
+ =
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
2
故圆心M 的坐标为 m2
+2，
m ，圆 M 的半径r = m
2
+2 + m
2
由于圆M 过点 P(4,-2)，因此 APgBP =0，
( - )( - ) (
)(
2
)
故 x 4 x 4 + y + 2 y + 2 = 0
1
2
1
即 x1x2
x x
-4( + )+
y1 y2
y y
+2( + )+20 = 0
1 2
1
2
由(1)可得 y y =-4 ， x x =4．
1
2
1 2
1 0
所以2m -m- = ，解得
或 ．
m =1 m = -1
2
2
当m=1时，直线l的方程为 x- y -2 = 0，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 10 ，圆 M 的方程为
( - )
x 3
2
y 1 =10
+( - )
2
1
9 1
85
4
当m= - 时，直线l的方程为2x+ y-4 =0，圆心 M 的坐标为( ,
-
的半径为
，圆M
的
) ，圆 M
2
4 2
9
1
85
16
(x- )
2
+(y + )
2
=
．
方程为
4
2
1
= 2px过点 P(1,1)．过点(0, )作直线l与抛物线C 交于不同的两点
38．(2017 北京理)已知抛物线C：y
2
2
M ， N ，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线OP，ON 交于点 A， B ，其中O为原点．
(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)求证： A为线段 BM 的中点．
1
【解析】(Ⅰ)由抛物线 C： y
2
= 2px 过点 P(1,1)，得 p = ．所以抛物线C的方程为 y
2
= x．
2
1
1
抛物线C的焦点坐标为( ,0)，准线方程为 x = - ．
4
4
(Ⅱ)当直线 MN 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN 的斜
率存在且不为 0．
1
1
2
设(0, )为点Q，过Q的直线 MN 方程为 y = kx + (k ¹ 0)，设 M(x , y ) ， N(x , y ) ，显然， x ， x 均不
1
1
2
2
1
2
2


为 0．
ì
1
ïy = kx +
1
1
由í
2 ，得4k
x
+(4k -4)x+1=0．考虑D = (k -1)
2
-4´ ´k =1-2k ，由题意D > 0，所以k < ．
2
2
2
4
2
ï
îy
2
= x
1- k
则 x + x =
，①
1
2
2
k
1
x x =
． ②
1
2
2
4k
由题意可得 A， B 横坐标相等且同为 x1 ，
因为点 P 的坐标为(1,1)，所以直线 OP 的方程为 y = x ，点 A 的坐标为(x ,x )．
1
1
y2
x2
y2x
x2
1
直线 ON 的方程为 y = x ，点 B 的坐标为(x1,
) ．
x1y
x2
2
若要证明 A为 BM 的中点，只需证2y = y + y ，即证
+ y1 = 2x
1
，
A
B
M
即证 x y + x y = 2x x ，
1
2
2
1
1 2
ì
1
2
1
2
y = kx +
ï
ï
1
1
将í
代入上式，
ï
y = kx +
ï
2
2
î
1
1
即证(kx2
+
)x +(kx +
1 1
2)x2
=
2x x ，
1
2
2
1
2
即证(2k 2)x x
-
+
(x + x ) 0③
=
2
1
2
1
1
1- k
k -1 1- k
将①②代入③得(2k 2)
-
+
=
0，化简有
+
= 0恒成立，
4k
2
2k
2
2k
2
2k
2
所以2y = y + y 恒成立．
A
B
M
故 A 为线段 BM 的中点．
39．(2015 浙江文)如图，已知抛物线C1 ：
1
y = x2 ，圆C2 ：x
2
+(y -1) =1，过点 P(t,0) (t>0)作不过原
2
4
点O的直线 PA ， PB分别与抛物线C 和圆C 相切， A,B为切点．
1
2


(Ⅰ)求点 A,B的坐标；
(Ⅱ)求DPAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共
点为切点．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA的方程为 y k x t
= ( - )．
y k x t
ì = ( - )
ï
消去 y ．整理得：
2
x -4kx+4kt = 0．
所以í
1
y = x
2
ï
î
4
因为直线 PA与抛物线相切，所以Δ =16k
A(2t,t )．设圆C2 的圆心为 D(0,1)，
点 B 的坐标为(x , y )，由题意知，点 B,O 关于直线 PD 对称，
2
-16kt = 0 ，解得k =t ．
所以 x = 2t ，即点
2
0
0
ì y
故有í 2
x0
2t
= - +1，解得 x0 = 2t
2
2
ï
0
2t
+
2t
2t
,y0 =
．即点 B(
,
) ．
2
1+t2
1 t
2
1+t 1+t
2
ï
x t - y = 0
î
0
0
AP = t 1+t2 ，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
直线 AP 的方程为tx- y-t = 0，
2
t
2
所以点 B 到直线 PA的距离为d =
．
1+t
2
1
t
3
所以DPAB的面积为 S = AP ×d =
．
2
2
40．(2015 福建文)已知点 F 为抛物线E :
y
2
= 2px( p > 0)的焦点，点 2,m
A( )在抛物线E 上，且 ΑF =3．


(Ⅰ)求抛物线E 的方程；
(- )
E
(Ⅱ)已知点G 1,0 ，延长 ΑF 交抛物线 于点 Β ，证明：以点 F 为圆心且与直线GΑ相切的圆，必与直
线GΒ 相切．
p
【解析】解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义得| AF |= 2 +
．
2
p
2+ = 3
p = 2
，
因为| AF |= 3，即
，解得
2
所以抛物线E 的方程为
y
2
= 4x ．
(Ⅱ)因为点 A(2,m)在抛物线
E:
2
y = 4x 上，
所以m= ±2 2
，由抛物线的对称性，不妨设
A 2,2 2
．
(
)
(
) ( )
由A 2,2 2 ，
F 1,0
可得直线
AF
的方程为
y = 2 2(x-1)．
ì
(
，得2x
2
-5x+2 = 0，
由í
ïy
î
2
= 4x
1
æ 1
è 2
,- 2 ö
÷．
x = 2或 x =
，从而 ç
B
解得
2
ø
又G(-1,0
)，


2 2 -0 2 2
- 2 -0
2 2
3
k =
GA
=
k =
GB
= -
所以
，
，
-(-1)
3
1
2
-(-1)
2
所以k +k = 0 ，从而ÐAGF =ÐBGF ，这表明点 F 到直线GA,GB的距离相等，故以 F 为圆心且与
GA
GB
直线GA相切的圆必与直线GB 相切．
解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)设以点 F 为圆心且与直线GA相切的圆的半径为 ．
r
因为点 A(2,m)在抛物线 E ：
2
y = 4x 上，
所以m= ±2 2
，由抛物线的对称性，不妨设
(
A 2,2 2
)
．
(
) ( )
由A 2,2 2 ，
F 1,0
可得直线
AF
的方程为
y = 2 2(x-1)．
ì
(
，得2x
2
-5x+2 = 0，
由í
ïy
î
2
= 4x
1
2
1
B( ,- 2)
解得
x = 2或 x =
，从而
．
2
又G(-1,0)，故直线GA
2 2x-3y +2 2 = 0
的方程为 ，
2 2 +2 2
4 2
17
从而r =
=
．
8+9
2 2 +2 2
8+9
4 2
17
又直线GB的方程为2 2x+3y +2 2 = 0
，所以点
F
到直线GB的距离d =
=
= r
．
这表明以点 F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
y
2
x
2
41．(2014 陕西文理)如图，曲线C由上半椭圆C : + =1(a >b > 0,y ³ 0)和部分抛物线
1
2
2
a b


3
C2 : y = -x
2
+1(y £ 0)连接而成，C ,C 的公共点为 A,B ，其中C 的离心率为
．
1
2
1
2
(Ⅰ)求a,b的值；
(Ⅱ)过点 B的直线l 与C ,C 分别交于 P,Q(均异于点 A,B )，若 AP ^ AQ，求直线l 的方程．
1
2
【解析】(Ⅰ)在C ，C 方程中，令 y = 0，可得 b=1，且得 A(-1,0),B(1, 0) 是上半椭圆C 的左右顶点，
1
2
1
c
3
设C 的半焦距为c，由 =
及a
2
-c
2
= b =1，解得a = 2，所以a = 2，b =1
2
1
a
2
y
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，上半椭圆C1 的方程为
+ x =1(y ³ 0)，
2
4
易知，直线l与 x轴不重合也不垂直，设其方程为 y = k(x-1)(k ¹ 0)
代入C1 的方程中，整理得：(k
2
+4)x
2
-2k
2
x+ k
2
-4 = 0
(*)
2k
2
设点 P 的坐标(x , y ) ，由韦达定理得 x + x =
P
P
P
B
2
+ 4
k
k
k
2
2
-4
+ 4
-8k
又 B(1,0)，得 xP =
，从而求得 yP =
k
2
+ 4
k
k
2
2
-4 -8k
所以点 P 的坐标为(
,
+4) ．
+4 k
2
ìy = k(x-1)(k ¹ 0)
uuur
-2k)，\AP =
2k
k + 4
2
得点Q的坐标为(-k -1,-k
2
(k,4)，AQ = -k(1,k +2)，
同理由í
î y = -x +1(y £ 0)
2
-2k
2
QAP ^ AQ ，\AP× AQ = 0，即
+4[k -4(k +2)]= 0，
k
2


8
8
8
Qk ¹ 0，\k -4(k +2) = 0，解得k = - ，经检验，k = - 符合题意，故直线l的方程为 y = - (x-1)．
3
3
3
42．(2012 新课标文理)设抛物线C：x
2
2 (
= py p > 的焦点为 F ，准线为l，A为C上一点，已知以 F 为
0)
圆心， FA 为半径的圆 F 交l于 B 、 D点．
(Ⅰ)若ÐBFD = 90o ，DABD 的面积为4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方程；
(Ⅱ)若 A、 B 、 F 三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m、
n距离的比值．
【解析】(Ⅰ)由对称性知：DBFD 是等腰直角D ，斜边 BD = 2p，
1
点 A到准线l的距离d = FA = FB = 2p ， SDABD = 4 2 Û ´ BD ´d = 4 2 Û p = 2 ，
2
圆 F 的方程为
x
2
+(y -1) =8．
2
x
2
0
2p
p
(Ⅱ)由对称性设
A(x0,
)(x > 0) ，则 F(0, )，
0
2
x
2
0
2p
x
2
0
2p
p
点 A,B关于点 F 对称得：
B(-x0, p-
)Þ p-
= - Û x
2
0
=3p2 ，
= 0 ，
2
3p p
-
3p
得： A( 3p, )，直线m: y =
p
3p
2
2
x+ Û x- 3y +
2
Û y =
p
3p
2
2
x
2
x
3
3
3p p
x
2
=
2py
Þ ¢= =
y
Þ x =
p
Þ 切点
P(
, )，
2p
p
3
3
3
6
3
(x- 3p) Û x- 3y -
3
直线n: y - =
p = 0，
6
3
3
6
3p 3p
坐标原点到m,n距离的比值为
:
=
3．
2
6