专题18 解直角三角形-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

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专题18  解直角三角形一．选择题（共12小题）1．（2021•江岸区校级自主招生）已知，则　　A． B． C． D．2．（2021•巴南区自主招生）如图，某同学在山坡坡脚处时，测得一座楼房的楼顶处的仰角为，沿山坡往上走到处时，测得这座楼房的楼顶处的仰角为．已知，且，点、、、在同一平面内，若此山坡的坡度为，则这座楼房的高的值是　　A． B． C． D．3．（2021•大渡口区自主招生）某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡，坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：，，　　A．19.5 B．19.7 C．21.3 D．22.1
4．（2020•渝北区自主招生）在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部地测得旗杆顶部的仰角为，然后沿着斜坡到斜坡顶部点处再测得旗杆顶部的仰角为（身高忽略不计），已知斜坡的坡度，坡面长2.6米，旗杆所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆的高度为　　（参考数据：，，A．9.5米 B．9.6米 C．9.7米 D．9.8米5．（2020•赫山区校级自主招生）已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么等腰三角形的腰长等于　　A．6或 B．6或 C． D．或6．（2016•温州自主招生）已知中，，，，且，延长到，使，连接，则的值为　　A． B． C． D．7．（2020•北碚区自主招生）如图，为加快网络建设，某通信公司在一个坡度的山坡上建了一座信号塔，信号塔底端到山脚的距离米，在距山脚水平距离18米的处，有一高度为10米的建筑物，在建筑物顶端处测得信号塔顶端的仰角为（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔的高度约是　　（参考数据：，，
A．22.5米 B．27.5米 C．32.5米 D．45.0米8．（2020•南岸区自主招生）如图，某校教学楼后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡的长为，坡度，教学楼底部到斜坡底部的水平距离，在教学楼顶部点测得斜坡顶部点的俯角为，则教学楼的高度约为　　（参考数据：，，A． B． C． D．9．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为的中点，，，，．根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，在上午时，太阳光线与地面的夹角为，若要遮阳效果最佳的长约为　　（参考数据：，，，A． B． C． D．10．（2019•渝北区自主招生）某游乐场在一平地新推出了一个“极速飞车”的项目，项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯
自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道的坡度（或坡比）为，米，米，（其中点、、、均在同一平面内），则垂直升降电梯的高度约为　　米．（精确到0.1米，参考数据：，，A．5.6 B．6.9 C．11.8 D．13.911．（2019•海港区校级自主招生）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　A． B． C．2 D．312．（2019•南岸区自主招生）如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面在同一平面上，在点处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为，又测得圆柱形建筑物的上底面直径为，高为，则塔顶端到地面的高度为　　（参考数据：，，，A． B． C． D．二．填空题（共9小题）13．（2021•宝山区校级自主招生）如图，在中，点在上，，，，则　　．
14．（2021•江汉区校级自主招生）如图所示，在中，是边上的点，且，，，则的值为　　．15．（2011•余姚市校级自主招生）已知中，满足，，则　 　．16．（2003•海淀区）如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点，若，四边形的周长是，则矩形的面积是　 　．17．（2017•余姚市校级自主招生）已知中，，，的对边分别为，，，若，，则　　．18．（2020•浙江自主招生）如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为　　米．19．（2017•浦东新区校级自主招生）已知中，满足，．则　　
20．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于　　．21．（2021•黄州区校级自主招生）已知为锐角，，则　　．三．解答题（共9小题）22．（2021•浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求．23．（2020•郎溪县校级自主招生）为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图①，其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱的长为，且支柱垂直于地面，顶棚横梁长为，为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，要求横梁一端点在支柱的延长线上，此时测量得镶接点与点的距离为．根据以上测量数据，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，．
24．（2020•谷城县校级自主招生）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．（1）求的长；（2）求的值．25．（2020•西安自主招生）如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排小树，已知相邻两树之间的距离米，某人在河岸的处测的，然后沿河岸走了130米到达处，测的，求河流的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，，26．（2020•浙江自主招生）喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：和为锐角）．将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立．
27．（2020•浙江自主招生）如图，已知在中，是中点，，，求．28．（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端点距地面，从点处测得点俯角为，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，，．
29．（2020•温江区校级自主招生）5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面处出发，沿坡角为的山坡直线上行一段距离到达处，再沿着坡角为的山坡直线上行600米到达处，通过测量数据计算出小山高．求该数学小组行进的水平距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，30．（2021•昆山市模拟）如图，一艘渔船位于码头的南偏东方向，距离码头120海里的处，渔船从处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东方向的处．（1）求渔船从到的航行过程中与码头之间的最小距离．（2）若渔船以20海里小时的速度从沿方向行驶，求渔船从到达码头的航行时间．

专题18  解直角三角形一．选择题（共12小题）1．【解答】解：，，故选：．2．【解答】解：山坡的坡度为，，作于，于，则四边形为矩形，，，设，则，，，，解得，在中，，则，在中，，，即，，，解得，．故选：．
3．【解答】解：在中，，，，延长交于点，则（米，（米，（米，，，，，即，（米，（米．答：古塔的高度为21.3米．故选：．4．【解答】解：作交的延长线于点，延长交的延长线于点，作于点，如图所示：则四边形与四边形都是矩形，米，，
在中，米，，（米，（米，，，，设．则米，米，在中，，，解得：，（米，故选：．5．【解答】解：设腰长为，底边长为（1）如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得，则又，．（2）如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高，设，则，，，，，，
故选：．6．【解答】解：过点作于，过点作于．设，，，，，．解得：，，．，，，，．故选：．7．【解答】解：如图，过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形，，，
的坡度，，，，，，在中，，，，（米．所以信号塔的高度约是27.5米．故选：．8．【解答】解：如图，过点作于点，于点，根据题意可知：，四边形是矩形，，，斜坡的长为，坡度，，，，在中，，，
．所以教学楼的高度约为16.9米．故选：．9．【解答】解：如图，过点作于点，根据题意可知：当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，，，，，，，，为的中点，，，，．所以要遮阳效果最佳的长约为1.5米．故选：．10．【解答】解：如图，延长交的延长线于点，由斜坡轨道的坡度（或坡比）为，得．设，．在中，由勾股定理，得
，即，解得，，，，由，，得，解得．由线段的和差，得，故选：．11．【解答】解：如图，作于．在中，，，，，在中，，，故选：．12．【解答】解：延长交于，则，设，
在中，，在中，，，即，，即．．故选：．二．填空题（共9小题）13．【解答】解：如图：过点作，交于点，设，则，在中，，则①，在中，，则②，由①②得，，解得：，则，在中，③，
将代入①式，得，则，解得，．14．【解答】解：设，则由题意可得：，，在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得，，即，解得：，故答案为：．15．【解答】解：如图，作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、．则，，．，，，即，又，，，．
故答案为6．16．【解答】解：在和中，，，，，，同理，即四边形为菱形．又四边形的周长是，．，设，则．由勾股定理得，，，，，矩形的面积．17．【解答】解：如图，作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边，，的切点依次为，，，连接，，，，，，则，，，，，
，即，，，．故答案为：12．18．【解答】解：如图，延长交的延长线于点，过点作的延长线于点．，米，（米，米，设，，，，，，即①，米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，②，①②联立，解得（米．故答案为：．
19．【解答】解：作的内切圆，为圆心，连接、、、、、，设内切圆半径为，则，，，，，化简，得，，，，，，，，，故答案为：14．20．【解答】解：方法一：平移到交于，如右图所示，则，，设每个小正方形的边长为，则，，，作于点，则，，
，，故答案为：3．方法二：连接、，在中，，则，同理，在中，，则，，，，，设图中每个小正方形的边长为，则，，，，，，，，故答案为：3．方法三：连接、，如右图所示，则，，设每个小正方形的边长为，
则，，，，是直角三角形，，，即，故答案为：3．21．【解答】解：．故答案为：．三．解答题（共9小题）22．【解答】解：小正方形面积为20，大正方形面积为100，小正方形的边长是，大正方形的边长是10，
即，，，，，，，，，，．23．【解答】解：如图②连接．根据题意可知：，．过点作．．；过点作，过点作，．
．所以点到地面的距离是．24．【解答】解：（1）在中，是边上的高，．在中，，，，．在中，，，，，，； （2）是边上的中线，，，．25．【解答】解：过点作交于点．，，四边形是平行四边形．，．，设，，
，，即，解得：，，答：河流的宽是95米．26．【解答】解：如图2（a），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，，为相邻两边，其夹角为，作的高，则，则．如图2（b），原来的两个小正方形变成了两个矩形与，则，，图2（a）与图2（b）中空白部分的面积相等，，化简得．
27．【解答】解：如图过点作交于，由，设，则，，点是中点，，，在中，，故可得．28．【解答】解：作于，于，于，如图所示：则，，，由题意得：，，，，，斜面的坡度为，，，
答：处于同一水平面上引桥底部的长约为．29．【解答】解：过作于，过作于，则四边形是矩形，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，答：该数学小组行进的水平距离为．30．【解答】解：（1）作于，则海里，答：渔船从到的航行过程中与码头之间的最小距离为海里；
（2）在中，，，答：渔船从到达码头的航行时间为小时．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/15 12:10:43；用户：纵横捭阖；邮箱：orFmNt43ACkJzKV2EeImKyX7H6ig@weixin.jyeoo.com；学号：32344145