专题22 勾股定理及几何证明-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

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专题22 勾股定理及几何证明
一．选择题（共10小题）
1．（2021•黄州区校级自主招生）有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若，则；③命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和．其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020•衡阳县自主招生）下列四个命题中只有一个是正确的，则正确的命题的选项为（　　）
A．若＝，则0＜a＜1
B．﹣1＞2﹣3
C．若α为锐角且cosα＞，则0°＜α＜60°
D．（1+）2019（1﹣）2020＝1﹣
3．（2020•渝北区自主招生）下列命题正确的是（　　）
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是七边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．相等的圆心角所对的弧也相等
4．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（　　）

A．S1+S3＝S2+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1＝S3
5．（2019•武侯区校级自主招生）若关于x的方程x2+ax+b﹣3＝0有实根，则a2+（b﹣4）2
的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
6．（2019•西湖区校级自主招生）在⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条直径，点E在上，CF⊥AE于点F．若点F三等分弦AE，⊙O的直径为12，则CF的长是（　　）

A． B． C． D．
7．（2020•浙江自主招生）代数式的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．11
8．（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2018•青羊区校级自主招生）大小完全相同的两等腰直角三角形如图放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC＝DE＝EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，则点D到直线BC的距离为（　　）

A． B． C．3 D．
10．（2018•温江区校级自主招生）设P1，P2，…Pn为直角坐标系平面xOy内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，则有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题）
11．（2020•和平区校级自主招生）若直角三角形两边长x，y满足+|y﹣1|＝0，则其第三条边长为 　 　．
12．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，若CF＝10，则DE＝　 　．

13．（2020•武昌区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为　 　．

14．（2019•霞山区校级自主招生）如图，等边△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（0，1），点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，则a的值为　 　．

15．（2019•海港区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形，∠ADE＝90°，则BE＝　 　．

16．（2019•海港区校级自主招生）在△ABC中，若a4+b4+c4﹣2（a2+b2）c2+2a2b2＝0，则∠C＝　 　．
17．（2018•武昌区校级自主招生）以下四个命题中，正确的命题有　 　．（填所有正确命题的序号）
①若abc＞0，则++﹣＝2；
②若方程（2018x）2﹣2017×2019x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2017x﹣2018＝0的较小根
为b，则a﹣b＝2019；
③如图，正比例函数y＝x和y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限分别交于点A、C，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△AOB的面积等于△COD的面积；
④已知函数y＝，在实数范围内，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是0＜a＜3．

三．解答题（共5小题）
18．（2019•柯桥区自主招生）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC＝5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．
19．（2021•黄州区校级自主招生）南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B东偏南30〫方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿东偏北45〫方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿东偏北15〫的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．
（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？
（2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号）

20．（2018•青羊区校级自主招生）地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震的破坏性，石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验．如图为地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的横截面示意图，其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN．从O会同时发出两种震波：直达波（路径为OB）和反射波（路径为OCB），它们的传播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至观测站距离AB＝48km．
（1）求直达波传播的距离OB；
（2）已知反射波（路径OCB）满足∠OCM＝∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H．

21．（2019•和平区校级自主招生）如图，在四边形ABCD中，BC＝，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∠BDC＝∠A＝30°，求AD的长．

22．（2017•福田区校级自主招生）如图，一把“T型”尺（图1），其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB＝4，AD＝5），使边OP始终经过点A，且保持OA＝AB，“T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点．（图2）
（1）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；
（2）当△CEF是等腰直角三角形时，求线段BE的长；
（3）设BE＝x，CF＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．
专题22 勾股定理及几何证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：①若x2＝4，则x＝±2，本小题说法是假命题；
②x＝时，2x﹣1＝0，无意义，本小题说法是假命题；
③“a＞b，则若am2＞bm2”的逆命题是“若am2＞bm2，则a＞b”，本小题说法是真命题；
④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程为（x﹣1）（x﹣2）＝0，即x2﹣3x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴方程cx2﹣bx+a＝0为2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝﹣1和x2＝﹣，本小题说法是真命题．
故选：B．
2．【解答】解：A、，可得：0＜a≤1，原命题是假命题；
B、，，，，∴，原命题是假命题；
C、cosα＝，则∠α＝60°，∵余弦值在0°~90°之间y随x增大而减小，∴0°＜α＜60°，是真命题；
D、（1+）2019（1﹣）2020＝﹣1，原命题是假命题；
故选：C．
3．【解答】解：A、有两边和其夹角分别相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
B、一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，原命题是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，原命题是假命题；
故选：C．
4．【解答】解：
四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，
∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，
故选：A．

5．【解答】解：由x2+ax+b﹣3＝0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2﹣3＝0，
∵a2+（b﹣4）2的最小值可看作点（a，b）到（0，4）距离的最小值，
则两点的距离d＝
＝
＝≥1，
∴点（a，b）到（0，4）距离的最小值为1，即a2+（b﹣4）2的最小值为1，
故选：B．
6．【解答】解：如图，连接AC，EC．设AE交OC于点K，设EF＝a．

∵AF＝2EF，EF＝a，
∴AF＝2a，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠CEA＝∠AOC＝45°，
∵CF⊥EF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠FCE＝∠FEC＝45°，
∴CF＝EF＝a，
∴AC＝＝a，
∵OA＝OC＝6，
∴AC＝6，
∴a＝6，
∴a＝
∴CF＝
故选：D．
7．【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），
原式可化为+，
即＝AP，＝BP，
AB＝＝13．
代数式的最小值为13．
故选：B．

8．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴＞
∴＜；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴×ab＜×ab，
∴a＞b．
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
理由：∵＜，
∴﹣＜0，
即＜0，
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
9．【解答】解：∵∠ABC＝∠E＝90°，S△DEF＝98，
∴AB＝BC＝DE＝EF＝14，
∵BD⊥DF，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝4，
设点D到直线BC的距离为h，
∴S△BCD＝BC•h＝BD•CD，
即14h＝6×4，
解得h＝．
则点D到直线BC的距离为．
故选：B．
10．【解答】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①是真命题．
②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC
，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5＝7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②是假命题．
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③是假命题．
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD＝OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
11．【解答】解：∵+|y﹣1|＝0，
∴x2﹣x＝0，y﹣1＝0，
∴x＝1或0（舍去），y＝1，
∵x＝y＝1，所以只有x，y是两条直角边，一种情况，
∴第三条边长＝，
故答案为：．
12．【解答】解：取CF的中点G，连接MG，
设DE＝x，EF＝y，
可得DC＝CF﹣EF﹣DE＝10﹣x﹣y，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝10﹣x﹣y，BE＝BD﹣DE＝10﹣2x﹣y…①，
∵FG＝CG＝5，
∴EG＝FG﹣EF＝5﹣y…②，
∵MG是Rt△MFC斜边上的中线，
∴∠FGM＝2∠BCM＝∠ACB，∠FGM＝∠B，又ME⊥BG，
∴BE＝EG，
∴由①、②得10﹣2x﹣y＝5﹣y，
∴．
故答案为：．
13．【解答】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，
∵∠MON＝90°，
∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，
又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，
∴Rt△PNE中，PE＝，
又∵OP≤PE+OE＝4+4，
∴OP的最大值为4+4，
即点P到原点O距离的最大值是4+4，
故答案为：4+4．
14．【解答】解：如图，当点P在直线AB的下方时，
过点P作PD⊥OD于D，
∵P点的横坐标是3，
∴DP＝3，
∵等边△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
∴AB＝＝2，
∴AC＝2，
∴S△ABC＝×2×＝，
∵2S△ABP＝S△ABC，
∴S△ABP＝S△ABC＝，
∵S△ABP＝S△ABE+S△EBP，
∴×BE×+×BE×3＝，
∴BE＝，
∴OE＝OB﹣BE＝，
∵OE∥PF，
∴，
∴＝，
∴PF＝，
如图，当点P在直线AB的上方时，
∵S△ABP＝S△ABE+S△EBP，
∴×BE×+×BE×3＝，
∴BE＝，
∴OE＝OB+BE＝，
∵OE∥PF，
∴，
∴＝，
∴PF＝2+，
∴a＝或2+，
故答案为：或2+．


15．【解答】解：过点E作EF作∥AC，交BC于点F，
∴∠BFC＝∠C＝90°，
∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
CB＝＝，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝DA，
∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠EDF
在△ADC和△DEF中，
，
∴△ADC≌△DEF（AAS），
∴DF＝AC＝1，
设CD＝x，所以EF＝x，BF＝﹣1﹣x
∵EF∥AC
∴＝即＝，解得：x＝2﹣．
∴BE＝2x＝4﹣2，
故答案为4﹣2．

16．【解答】解：a4+b4+c4﹣2（a2+b2）c2+2a2b2＝0
∴（a2+b2）2﹣2（a2+b2）c2+c4＝0
∴[（a2+b2）﹣c2]2 ＝0
∴a2+b2 ＝c2
∴△ABC为直角三角形且∠C＝90°．
故答案为90°．
17．【解答】解：①∵abc＞0，
∴a、b、c同时大于0或一个大于0，另外两个小于0，
∴＝3或﹣1，
∵＝1，
∴﹣＝±2，故①错误；
②方程（2018x）2﹣2017×2019x﹣1＝0可化为（20182x+1）（x﹣1）＝0，
∴较大根为a＝1，
∵方程x2+2017x﹣2018＝0可化为（x+2018）（x﹣1）＝0，
∴方程x2+2017x﹣2018＝0的较小根为b＝﹣2018，
∴a﹣b＝2019，故②正确；
③由题意得A、C两点都在反比例函数的图象上，
∴过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则两点横纵坐标的积都等于k，
∴△AOB的面积等于△COD的面积＝，故③正确；
④∵在实数范围内，y随x的增大而减小，
∴a﹣3＜0，2a＞0，（a﹣3）×1+5≥，
解得：a＜3，a＞0且a≤2，
∴实数a的取值范围是0＜a≤2，故④错误．
故答案为：②③．
三．解答题（共5小题）
18．【解答】解：（1）根据题意得
[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
解得，x1＝k+1，x2＝k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）2+（k+2）2＝52，
解得k1＝2，k2＝﹣5（不合题意舍去），
∴k＝2；
（2）由（1）得x1＝k+1，x2＝k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1＝BC或x2＝BC，易求k＝4或3，
k＝4时，AB＝5，AC＝6，周长L＝5+5+6＝16，
k＝3时，AB＝4，AC＝5，周长L＝4+5+5＝14．
19．【解答】解：（1）由题意得：AB＝30千米，∠ABC＝30°+15°＝45°，∠BAC＝（90°﹣30°）+45°＝105°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AD＝BD＝×30＝30（千米），
在Rt△ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝60，CD＝AD＝30（千米），
∴BC＝（30+30）千米，
∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15＝4（小时），
则长沙舰从B到C所用时间为4﹣2＝2（小时），
答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时．
（2）长沙舰的速度为（30+30）÷2＝（15+15）千米/小时，
答：长沙舰的航行速度为（15+15）千米/小时．

20．【解答】解：（1）∵OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
又∵OA＝h＝14km，AB＝48km，
∴OB＝＝＝50（km）；

（2）延长AO交MN于P，延长BC交AO的延长线于Q，
∵直达波和反射波传播速度相同，地震波速度＝5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，
∴﹣＝2，
∵OB＝50km，
∴OC+BC＝60km，
∵∠OCM＝∠BCN，∠BCN＝∠PCQ，
∴∠OCM＝∠PCQ，
又∵CP⊥OQ，
∴OC＝QC，
∴OP＝PQ，
∴QB＝QC+CB＝OC+CB＝60km，
在Rt△AQB中，AQ2+AB2＝QB2，
∵AB＝48km，QB＝60km，
解得：AQ＝36（km），
∴OQ＝AQ﹣OA＝22（km），
∴OP＝11km，
∴H＝AP＝AO+OP＝14+11＝25（km）．

21．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥BD于点F，

∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC＝45°，
∵BC＝，
∴CF＝BF＝，
∴DF＝3，
∴BD＝3+，
∵∠DEB＝90°，
∴DE＝BD＝，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝3+．
22．【解答】解：（1）线段BE与OE的长度相等
如图，连接AE，在△ABE与△AOE中，
∵OA＝AB，AE＝AE，∠ABE＝∠AOE＝90°，
∴△ABE≌△AOE，
∴BE＝OE；


（2）延长AO交BC于点T，
∵∠OEC＝∠OEC，∠EOT＝∠C＝90°，
∴△OET∽△CEF，
同理，∵∠ATB＝∠ATB，∠EOT＝∠ABT＝90°，
∴△OET∽△BAT，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴△OET与△ABT均为等腰直角三角形，
于是在△ABT中，AB＝4，则AT＝＝＝，
∴BE＝OE＝OT＝；

（3）在BC上取点H，使BH＝BA＝4，过点H作AB的平行线，
交EF、AD于点K、L，（如图）
∴四边形ABHL为正方形
由（1）可知KL＝KO，
令HK＝a，则在△HEK中，EH＝4﹣x，EK＝x+4﹣a
∴（4﹣x）2+a2＝（x+4﹣a）2，
化简得：，
又HL∥AB，
∴，即，
∴函数关系式为，
BE的最小值应大于0，最大值即当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF＝3．
设BE＝OE＝x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得
（3+x）2＝（5﹣x）2+16，
解得x＝2．
所以定义域，即x的取值范围为0＜x≤2．

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