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考前适应练二 追及相遇问题-备战2023年高考三轮复习专题-复习与训练
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这是一份考前适应练二 追及相遇问题-备战2023年高考三轮复习专题-复习与训练，文件包含考前适应练二追及相遇问题-备战2023年高考三轮复习专题-复习与训练-解析版docx、考前适应练二追及相遇问题-备战2023年高考三轮复习专题-复习与训练-原卷板docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
题型一 追及相遇问题
考向1 速度小者追速度大者
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝eq \f(v,a)＝2 s
Δx＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δx＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，Δx＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
变式训练1 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移xB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δx,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
考向2 速度大者追速度小者
例2 一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：
x汽′＝x自′＋d′
x自′＝v自t＋eq \f(a′,2)t2
整理得：(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ′＝102－20a′－80≤0，解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度大小至少为1 m/s2.
考向3 体育赛事中的追及问题
例3 如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案 (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s
解析 (1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s0＋eq \f(1,2)at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(大于乙加速最长时间tm＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s，故舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝eq \f(1,2)at12＝6 m
(2)乙加速时间为：t乙＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋eq \f(1,2)vt乙＝vt乙
代入数据得：s≈16.7 m
(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝eq \f(L,v)＝2 s.
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
考向1 x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例4 甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
答案 B
解析 甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－eq \f(1,2)at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝eq \f(Δx,Δt)＝－0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
变式训练2 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝eq \f(1,2)×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝eq \f(1,2)×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝eq \f(1,2)×1×10 m＝5 m，x乙′＝eq \f(1,2)×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例5 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[eq \f(1,2)×30×3＋eq \f(1,2)×30×(6－3)] m＝90 m课时精练
1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大
答案 BC
解析 t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前b车在后，此后b车在前a车在后，因此，是b车追上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此，a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反．选项A、D错误，B、C正确．
2.(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确．
3．一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为( )
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
答案 A
解析 轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝eq \f(v轿－v货,a)；eq \f(v轿＋v货,2)t＋22 m＝v货t＋120 m，解得：v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误．
4．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A.eq \f(v0Δt,2) B．v0Δt
C.eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)) D.eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)－eq \f(1,a2))
答案 AD
解析 前车减速到零所需时间为：t1＝eq \f(v0,a1)，减速通过的位移为：x1＝eq \f(v02,2a1)，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝eq \f(v0,a2)，减速通过的位移为：x2＝eq \f(v02,2a2)，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝eq \f(v0Δt,2)或eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)－eq \f(1,a2))，故A、D正确，B、C错误．
5.(多选)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v－t图像如图所示．根据图像提供的信息可知( )
A．6 s末乙追上甲
B．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 m
C．8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 m
D．在0～4 s内与4～6 s内甲的平均速度相等
答案 BC
解析 根据题图图像可知，在0～4 s内甲的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(4＋8,2) m/s＝6 m/s，在4～6 s内甲的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(8＋0,2) m/s＝4 m/s，D错误；在0～6 s内，甲的位移x甲＝eq \x\t(v)1×4 s＋eq \x\t(v)2×2 s＝32 m，乙的位移x乙＝6×4 m＝24 m，因此6 s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相等时，距离最远，即5 s末距离最远，此时x甲′＝eq \f(4＋8,2)×4 m＋eq \f(4＋8,2)×1 m＝30 m，x乙′＝4×5 m＝20 m，最远距离Δx′＝x甲′－x乙′＝10 m，B正确；6 s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32 m，所用时间t＝eq \f(x甲,v乙)＝eq \f(32,4) s＝8 s，C正确．
6．在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案 C
解析 甲车的加速度大小a1＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv1,Δt1)))＝eq \f(16,48) m/s2＝eq \f(1,3) m/s2
乙车的加速度大小a2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv2,Δt2)))＝eq \f(20,40) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x1＝eq \f(16＋8,2)×24 m＝288 m
乙车的位移x2＝eq \f(20＋8,2)×24 m＝336 m
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误．
7．台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞．
答案 见解析
解析 法1：临界法 对轿车刹车过程有v12＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，有v1－a1t0＝v2，解得t0＝3 s
此段时间内轿车行驶的距离为x1＝v1t0－eq \f(1,2)a1t02解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，故两车会相撞．
法2：函数法 假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0
即v1t－eq \f(1,2)a1t2＝v2t＋x0，整理得eq \f(5,2)t2－15t＋22＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，Δ＝(－15)2－4×eq \f(5,2)×22＝5>0，
说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图像法 作出两车运动的v－t图像，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝eq \f(1,2)×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(10,2.5) s＝4 s
x货＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t1))＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：t2＝eq \f(v,a)＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(252,2×2.5) m＝125 m
x货′＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t2))＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝eq \f(Δx′,v－v1)＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车．
9．(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝eq \f(1,2)a1t22，解得t2＝20 s
此时赛车的速度，v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝eq \f(v0,a1)＝eq \f(10,2) s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－eq \f(1,2)a1t32＝(10×5＋200－eq \f(1,2)×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－eq \f(1,2)a2t42＝v0t4，解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝eq \f(v,a2)＝eq \f(40,4) s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq \f(v2,2a2)＝v0t5，解得t5＝20 s.
题型一 追及相遇问题
考向1 速度小者追速度大者
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝eq \f(v,a)＝2 s
Δx＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δx＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，Δx＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
变式训练1 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移xB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δx,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
考向2 速度大者追速度小者
例2 一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x自＝v自t
汽车的位移为：x汽＝v汽t－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′
代入数据整理得：eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度大小至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：
x汽′＝x自′＋d′
x自′＝v自t＋eq \f(a′,2)t2
整理得：(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ′＝102－20a′－80≤0，解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度大小至少为1 m/s2.
考向3 体育赛事中的追及问题
例3 如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案 (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s
解析 (1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s0＋eq \f(1,2)at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(大于乙加速最长时间tm＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s，故舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝eq \f(1,2)at12＝6 m
(2)乙加速时间为：t乙＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋eq \f(1,2)vt乙＝vt乙
代入数据得：s≈16.7 m
(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝eq \f(L,v)＝2 s.
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
考向1 x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例4 甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
答案 B
解析 甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－eq \f(1,2)at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝eq \f(Δx,Δt)＝－0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
变式训练2 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝eq \f(1,2)×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝eq \f(1,2)×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝eq \f(1,2)×1×10 m＝5 m，x乙′＝eq \f(1,2)×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例5 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[eq \f(1,2)×30×3＋eq \f(1,2)×30×(6－3)] m＝90 m
1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大
答案 BC
解析 t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前b车在后，此后b车在前a车在后，因此，是b车追上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此，a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反．选项A、D错误，B、C正确．
2.(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确．
3．一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为( )
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
答案 A
解析 轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝eq \f(v轿－v货,a)；eq \f(v轿＋v货,2)t＋22 m＝v货t＋120 m，解得：v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误．
4．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A.eq \f(v0Δt,2) B．v0Δt
C.eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)) D.eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)－eq \f(1,a2))
答案 AD
解析 前车减速到零所需时间为：t1＝eq \f(v0,a1)，减速通过的位移为：x1＝eq \f(v02,2a1)，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝eq \f(v0,a2)，减速通过的位移为：x2＝eq \f(v02,2a2)，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝eq \f(v0Δt,2)或eq \f(v02,2)(eq \f(1,a1)－eq \f(1,a2))，故A、D正确，B、C错误．
5.(多选)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v－t图像如图所示．根据图像提供的信息可知( )
A．6 s末乙追上甲
B．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 m
C．8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 m
D．在0～4 s内与4～6 s内甲的平均速度相等
答案 BC
解析 根据题图图像可知，在0～4 s内甲的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(4＋8,2) m/s＝6 m/s，在4～6 s内甲的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(8＋0,2) m/s＝4 m/s，D错误；在0～6 s内，甲的位移x甲＝eq \x\t(v)1×4 s＋eq \x\t(v)2×2 s＝32 m，乙的位移x乙＝6×4 m＝24 m，因此6 s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相等时，距离最远，即5 s末距离最远，此时x甲′＝eq \f(4＋8,2)×4 m＋eq \f(4＋8,2)×1 m＝30 m，x乙′＝4×5 m＝20 m，最远距离Δx′＝x甲′－x乙′＝10 m，B正确；6 s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32 m，所用时间t＝eq \f(x甲,v乙)＝eq \f(32,4) s＝8 s，C正确．
6．在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案 C
解析 甲车的加速度大小a1＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv1,Δt1)))＝eq \f(16,48) m/s2＝eq \f(1,3) m/s2
乙车的加速度大小a2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(Δv2,Δt2)))＝eq \f(20,40) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x1＝eq \f(16＋8,2)×24 m＝288 m
乙车的位移x2＝eq \f(20＋8,2)×24 m＝336 m
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误．
7．台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞．
答案 见解析
解析 法1：临界法 对轿车刹车过程有v12＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，有v1－a1t0＝v2，解得t0＝3 s
此段时间内轿车行驶的距离为x1＝v1t0－eq \f(1,2)a1t02解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，故两车会相撞．
法2：函数法 假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0
即v1t－eq \f(1,2)a1t2＝v2t＋x0，整理得eq \f(5,2)t2－15t＋22＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，Δ＝(－15)2－4×eq \f(5,2)×22＝5>0，
说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图像法 作出两车运动的v－t图像，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝eq \f(1,2)×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(10,2.5) s＝4 s
x货＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t1))＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：t2＝eq \f(v,a)＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(252,2×2.5) m＝125 m
x货′＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋t2))＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝eq \f(Δx′,v－v1)＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车．
9．(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝eq \f(1,2)a1t22，解得t2＝20 s
此时赛车的速度，v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝eq \f(v0,a1)＝eq \f(10,2) s＝5 s
两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－eq \f(1,2)a1t32＝(10×5＋200－eq \f(1,2)×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－eq \f(1,2)a2t42＝v0t4，解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝eq \f(v,a2)＝eq \f(40,4) s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足eq \f(v2,2a2)＝v0t5，解得t5＝20 s.
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