八年级下册《第18章2b平行四边形》单元测试卷

这是一份八年级下册《第18章2b平行四边形》单元测试卷，共22页。
八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷
　
一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）
1．（2分）四边形的内角和等于　_________　度，外角和等于　_________　度．
　
2．（2分）正方形的面积为4，则它的边长为　_________　，一条对角线长为　_________　．
　
3．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是　_________　边形．
　
4．（2分）（1999•上海）如果四边形ABCD满足　_________　条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．
　
5．（2分）如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为　_________　cm．
　
6．（2分）（2002•南通）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是　_________　cm2．
　
7．（2分）平行四边形ABCD，加一个条件　_________　，它就是菱形．
　
8．（2分）等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为　_________　cm．
　
9．（2分）已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为
　_________　cm．
　
10．（2分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为　_________　．

　
11．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，则EF=　_________　，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S1：S2为　_________　．

　
12．（2分）（2006•海淀区）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形　_________　（请填图形下面的代号，答案格式如：“①，②，③，④，⑤”）．

　
13．（2分）（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　_________　米．

　
14．（2分）（2006•临汾）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是　_________　．
　
二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（　　）

　 A．100° B．80° C．60° D．40°
16．（3分）（2009•钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形，正三角形，等腰梯形，菱形等四种方案，你认为符合条件的是（　　）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形　
17．（3分）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条　
18．（3分）（2001•呼和浩特）如图，图中的△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（　　）对．

A．1 B．2 C．3 D．4　
三、解答题（共60分）
19．（5分）如图，平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于E．试求∠DAE的度数．

　
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．

　
21．（5分）在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？
　
22．（6分）已知：如图，▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF．
求证：AC与EF互相平分．

　
23．（6分）如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少．

　
24．（6分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是什么特殊的四边形？画出图形，写出已知，求证并证明．
　
25．（6分）如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；
（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；
（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？

　
26．（6分）如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=BC．根据上面的结论：
（1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

　
27．（7分）如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

　
28．（8分）（2011•广宁县一模）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．
（1）四边形ADEF是什么四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

　

新人教版八年级下册《第18章 平行四边形》2014年单元测试卷（A卷）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）
1．（2分）四边形的内角和等于　360　度，外角和等于　360　度．

考点：
多边形内角与外角．版权所有
专题：
计算题．
分析：
n边形的内角和是（n﹣2）•180度，因而代入公式就可以求出四边形的内角和；任何凸多边形的外角和都是360度．
解答：
解：四边形的内角和=（4﹣2）•180=360度，四边形的外角和等于360度．
点评：
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，是需要熟记的内容．　
2．（2分）正方形的面积为4，则它的边长为　2　，一条对角线长为　2　．

考点：
正方形的性质．版权所有
分析：
根据正方形的面积公式可得到正方形的边长，根据正方形的对角线的求法可得对角线的长．
解答：
解：设正方形的边长为x，则对角线长为 =x；
由正方形的面积为4，即x2=4；
解可得x=2，故对角线长为2 ；
故正方形的边长为2，对角线长为2 ．
故答案为2，2 ．
点评：
本题考查正方形的面积公式以及正方形的性质，此题是基础题，比较简单．　
3．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是　八　边形．

考点：
多边形内角与外角．版权所有
分析：
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
解答：
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）=3×360°
解得n=8．
点评：
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．　
4．（2分）（1999•上海）如果四边形ABCD满足　四边形ABCD是菱形或正方形　条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．

考点：
正方形的性质；菱形的性质．版权所有
专题：
开放型．
分析：
符合对角线互相垂直的四边形有：菱形、正方形，选择一个即可．
解答：
解：根据四边形的性质可得到对角线互相垂直的有菱形和正方形，从而答案为：四边形ABCD是菱形或正方形．
点评：
此题主要考查菱形和正方形的对角线的性质．　
5．（2分）如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为　2　cm．

考点：
正方形的性质．版权所有
专题：
计算题．
分析：
先求出长方形的面积，因为长方形的面积和正方形的面积相等，再根据正方形的面积公式即可求得其边长．
解答：
解：边长分别为4cm和5cm的矩形的面积是20cm2，所以正方形的面积是20cm2，
则这个正方形的边长为=2（cm）．
故答案为2．
点评：
本题主要考查了正方形的面积计算公式，即边长乘边长．　
6．（2分）（2002•南通）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是　20　cm2．

考点：
菱形的性质．版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
解答：
解：由已知得，菱形面积=×5×8=20cm2．
故答案为20．
点评：
本题主要考查了菱形的面积的计算公式．　
7．（2分）平行四边形ABCD，加一个条件　一组邻边相等或对角线互相垂直　，它就是菱形．

考点：
菱形的判定．版权所有
专题：
开放型．
分析：
菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，可添加：一组邻边相等或对角线互相垂直．
解答：
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
可补充条件：一组邻边相等或对角线互相垂直．
点评：
本题考查菱形的判定．　
8．（2分）等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为　24+4　cm．

考点：
等腰梯形的性质；勾股定理．版权所有
分析：
过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．
解答：
解：过A，D作下底BC的垂线，
则BE=CF=（14﹣10）=2cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB=CD==2，
所以等腰梯形的周长=10+14+2×2=24+4cm．
故答案为：24+4cm．

点评：
等腰梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形的问题来解决．　
9．（2分）已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为
　5　cm．

考点：
菱形的性质．版权所有
专题：
计算题．
分析：
设另一条对角线长为x，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．
解答：
解：设另一条对角线长为xcm，则×12x=30，解之得x=5．
故答案为5．
点评：
主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半．　
10．（2分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为　　．


考点：
平行四边形的性质．版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
平行四边形的面积=底×高，根据已知，代入数据计算即可．
解答：
解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC=S△CDA，
即BC•AE=CD•AF，
∵CD=AB=4，
∴AF=．
故答案为：．

点评：
“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．　
11．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，则EF=　6　，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S1：S2为　5：7　．

考点：
梯形中位线定理；梯形．版权所有
分析：
要求EF的长，只需根据梯形的中位线定理求解；
根据平行线等分线段定理，知两个梯形的高相等，只需根据梯形的面积公式，即可求得两个梯形的面积比．
解答：
解：∵AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，
∴EF=（4+8）=6，
则S1=（4+6）=h，
S2=（6+8）=．
则S1：S2=5：7．

点评：
此题主要考查梯形的中位线定理和梯形的面积公式　
12．（2分）（2006•海淀区）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形　②　（请填图形下面的代号，答案格式如：“①，②，③，④，⑤”）．


考点：
翻折变换（折叠问题）．版权所有
专题：
压轴题；操作型．
分析：
通过动手操作易得出答案．
解答：
解：对于①剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，对于②剪开后能拼出三种图形，对于③剪开后能拼出三角形和平行四边形两种，对于④剪开后能拼出平行四边形，对于⑤剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，故符合条件的图形为②．
点评：
本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．　
13．（2分）（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　120　米．


考点：
多边形内角与外角．版权所有
专题：
应用题．
分析：
由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
解答：
解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
故答案为：120．
点评：
本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．　
14．（2分）（2006•临汾）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是　）n﹣1　．

考点：
正方形的性质；三角形中位线定理．版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
根据正方形的性质及三角形中位线的定理可分别求得第二个，第三个正方形的面积从而不难发现规律，根据规律即可求得第n个正方形的面积．
解答：
解：根据三角形中位线定理得，第二个正方形的边长为=，面积为，第三个正方形的面积为=（）2，以此类推，第n个正方形的面积为．
点评：
根据中位线定理和正方形的性质计算出正方形的面积，找出规律，即可解答　
二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（　　）


考点：
平行四边形的性质．版权所有
专题：
常规题型．
分析：
根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解．
解答：
解：在▱ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠AED=∠DAB=40°．
故选D．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平分线的性质．　
16．（3分）（2009•钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形，正三角形，等腰梯形，菱形等四种方案，你认为符合条件的是（　　）
　
A．
等腰三角形
B．
正三角形
C．
等腰梯形
D．
菱形

考点：
中心对称图形；轴对称图形．版权所有
专题：
方案型．
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形的性质求解．
解答：
解：等腰三角形、正三角形、等腰梯形都只是轴对称图形；
菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
点评：
解题时要注意中心对称图形与轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心　
17．（3分）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
　
A．
6条
B．
7条
C．
8条
D．
9条

考点：
多边形内角与外角；多边形的对角线．版权所有
分析：
先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
解答：
解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
点评：
本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．　
18．（3分）（2001•呼和浩特）如图，图中的△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（　　）对．

　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定．版权所有
分析：
共有四对，分别为△ABO≌△C′DO，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△CDB≌△C′DB．
解答：
解：∵△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的
∴C′D=CD，∠C=∠C′，BD=BD
∴△CDB≌△C′DB
同理可证其它三对三角形全等．
故选D．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．　
三、解答题（共60分）
19．（5分）如图，平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于E．试求∠DAE的度数．


考点：
平行四边形的性质．版权所有
分析：
因为BD=CD，所以∠DBC=∠C=70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，∠DAE即可求出．
解答：
解：在△DBC中，
∵DB=CD，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE=90°﹣∠ADB=90°﹣70°=20°．
点评：
此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．　
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．


考点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．版权所有
专题：
证明题．
分析：
平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题中给了两条中位线，利用中位线的性质，可利用一组对边平行且相等来证明．
解答：
解：在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
点评：
平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．　
21．（5分）在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？

考点：
平行四边形的性质．版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，即较短的边是2cm或3cm，又较长的边是2+3=5cm，所以平行四边形的周长是2（2+5）=14或2（3+5）=16cm．
解答：
解：如图所示：
∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE．
又∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE．
（1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2（2+5）=14．
（2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2（3+5）=16．

点评：
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．　
22．（6分）已知：如图，▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF．
求证：AC与EF互相平分．


考点：
平行四边形的判定与性质．版权所有
专题：
证明题．
分析：
此题要证明AC与EF互相平分，只需证明以AC，EF为对角线的四边形是平行四边形就可．根据已知的平行四边形，只需证明AE=CF．根据已知平行四边形的对边相等，即AB=CD，再加上已知BE=DF，就可证明AE=CF．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就可．
解答：
解：连接AF，CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
又∵BE=DF
∴AB+BE=CD+DF
即AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC与EF互相平分．

点评：
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．　
23．（6分）如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少．


考点：
正方形的性质．版权所有
分析：
一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，有101块黑色瓷砖，由正方形的特殊性质知正方形知每边有（101+1）÷2=51块瓷砖，那么可求出瓷砖的总数．
解答：
解：根据题意得正方形每边有（101+1）÷2=51块瓷砖，
所以总数为：51×51=2601（块）．
点评：
解答本题要充分利用正方形的特殊性质．对角线上的瓷砖数等于每边的瓷砖数．　
24．（6分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是什么特殊的四边形？画出图形，写出已知，求证并证明．

考点：
等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定．版权所有
专题：
综合题．
分析：
由题意写出已知，画出图形，写出求证．由等腰梯形可得AC=BD，再由三角形中位线定理可得出小四边形四边的关系，即可知它是什么四边形．
解答：
解：是菱形
理由是：连接AC、BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF=AC，GH=AC，EH=BD，GF=BD
∵等腰梯形ABCD中AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD
∴EF=GH=EH=GF
∴四边形EFGH菱形．

点评：
本题考查了等腰梯形的性质和三角形中位线的性质．　
25．（6分）如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；
（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；
（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？

考点：
正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．版权所有
专题：
探究型．
分析：
（1）猜想：OE=OF，由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．
解答：
解：（1）猜想：OE=OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
点评：
此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件．
　
26．（6分）如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=BC．根据上面的结论：
（1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

考点：
等腰梯形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰梯形的判定．版权所有
专题：
开放型．
分析：
设四边形DBCE的中点分别为OPMN，根据已知条件及平行四边形的性质可得到是一个平行四边形；根据各四边的性质进行分析即可．
解答：
解：（1）设四边形DBCE的中点分别为OPMN，则PM=ON，且PM∥ON⇒顺次连接任意四边形各边中点得到平行四边形；

（2）平行四边形，矩形，菱形，
根据各个四边形的性质：
当四边形为菱形时，连接菱形各边中点所得出的为矩形；
当四边形为矩形时，连接各边中点所得出的为菱形；
当四边形为等腰梯形时，连接各边中点所得为菱形．

点评：
本题考查的是各个四边形的性质以及等腰梯形的性质的运用．
　
27．（7分）如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

考点：
矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定．版权所有
分析：
（1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
解答：
解：（1）四边形ADEF是平行四边形，
理由如下：
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）当△ABC为等边三角形时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
点评：
此题主要考查了用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．
　
28．（8分）（2011•广宁县一模）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．
（1）四边形ADEF是什么四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的判定．版权所有
专题：
证明题；开放型．
分析：
（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．
（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°．
（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
解答：
解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
点评：
此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．