2023年广东省深圳市中考数学押题密卷（一）（含答案）

这是一份2023年广东省深圳市中考数学押题密卷（一）（含答案），共20页。试卷主要包含了如图所示的六角螺栓，其俯视图是，下列计算正确的是，下列说法中，正确的说法有，下列说法中，正确的是，《孙子算经》中有一道题，原文是等内容，欢迎下载使用。

2023年深圳市中考数学押题密卷（一） 2023.05

一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为（　　）
A．－2023 B．2023 C．12023 D．-12023
2．2023年5月8日，深圳市统计局发布了《深圳市2022年国民经济和社会发展统计公报》数据显示，深圳全市2022年年末常住人口1766.18万人，相较于2021年的1768.16万人，深圳去年常住人口减少1.98万，其中1766.18万用科学记数法保留两位有效数字表示为（　　）
A．1.8×103 B．1.8×104 C．1.7×107 D．17×106
3．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝2x4 B．x8÷x2＝x4 C．（x3）2＝x5 D．x3•x2＝x5
5．若关于x的不等式组x-23≤mx-12＞3-2x无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
6．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，
∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（　　）
A．15° B．25°
C．45° D．60°
7．下列说法中，正确的说法有（　　）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②一元二次方程x2＝－3x的根是x＝－3；
③相等的圆心角（或圆周角）所对的弧相等；
④一元一次不等式2x+5＜11的正整数解有2个；
⑤圆的切线垂直于半径．
⑥在数据1、3、3、0、2中，众数是3，中位数是3．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程kx2－4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围k＜4且k≠0
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴
D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝3-5



9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（　　）
A．a-b=4.52a+1=b B．b-a=4.52a-1=b C．a-b=4.512a+1=b D．a-b=4.512a-1=b
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：（x+2）（x－8）+6x＝　 　．
12．深圳市某校开展“课后延时服务”后，组建了四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈，学校规定每人只能选择参加一个社团，小明和小丽准备随机选择一个社团报名，则小明和小丽两人刚好选择同一个社团的概率为 　．
13．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，
那么，AP的长度为 　cm．

第13题 第14题 第15题
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　 　．
15．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点P是直线AD上一动点，点E在直线PB上，若∠BEC＝∠BCP，则CE的最小值是 　．


三．解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：18tan230°cos45°-(-12)-3-8＋（－1）2023 ＋（3.14－π）0．

17．先化简再求值：3x-9x-2÷（5x-2-x－2），在0＜x＜4的整数中选择合适的数代入求值。

18．2023年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年，为深入贯彻落实党的二十大精神，大力弘扬宣传雷锋精神，某学校举行了以“传承雷锋精神，争当追锋少年”为主题的知识竞赛活动，竞赛满分为10分，学生成绩平均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，分别定为A，B，C，D四个等级．学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制统计图，请回答下列问题：
（1）学校随机抽取的学生人数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“C”部分所对应的圆心角的度数为　 　度；
（4）如果该校共有学生4800人，且规定等级为A、B的为优秀，请估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有多少人？
​
19．为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的5棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视。
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，－1）；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为　 　；
②标出另外两棵古树D（－1，－2），E（1，－2）的位置；
③连接AC、DE，请直接写出AC和DE的关系：　 　。

20．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭成功场点火发射，天舟六号货运飞船装载了神舟十六号和神舟十七号6名航天员在轨驻留消耗品、推进剂、应用实（试）验装置等物资，这也激发航天纪念品的购买热潮。某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：
产品
神舟飞船模型
航天纪念币
进价（元/件）
28
14
售价（元/件）
38
20
（1）若该店5月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后
共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？
（2）由于销售火爆，该店准备在6月份又购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得6月份该店利润w为最大。

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长。

22．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H。
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝
　S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=14S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
图① 图② 图③


2023年深圳市中考数学押题密卷（一）参考答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为（　　）
A．－2023 B．2023 C．12023 D．-12023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：12023的相反数为-12023．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．2023年5月8日，深圳市统计局发布了《深圳市2022年国民经济和社会发展统计公报》数据显示，深圳全市2022年年末常住人口1766.18万人，相较于2021年的1768.16万人，深圳去年常住人口减少1.98万，其中1766.18万用科学记数法保留两位有效数字表示为（　　）
A．1.7×103 B．1.7×104 C．1.8×107 D．18×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1766.18万用科学记数法保留两位有效数字表示为1.8×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
4．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝2x4 B．x8÷x2＝x4 C．（x3）2＝x5 D．x3•x2＝x5
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、x2和x2是同类项，能合并x2+x2＝2x2，故本选项错误；
B、x8÷x2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（x3）2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；
D、x3•x2＝x5，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．若关于x的不等式组x-23≤mx-12＞3-2x无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：由x-23≤m，得：x≤3m+2，
解不等式x－12＞3－2x，得：x＞5，
∵不等式组无解，
∴3m+2≤5，
解得m≤1，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°
【分析】利用平行线的性质及三角形的内角和求解．
【解答】解：
∵∠B＝90°，∠A＝30，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CED+∠EDB，
∴∠EDB＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDH＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠F＝∠FDH＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，结合三角形的内角和定理是解题的关键．
7．下列说法中，正确的说法有（　　）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②一元二次方程x2＝－3x的根是x＝－3；
③相等的圆心角（或圆周角）所对的弧相等；
④一元一次不等式2x+5＜11的正整数解有2个；
⑤圆的切线垂直于半径．
⑥在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据菱形的判定定理，一元二次方程的解圆周角定理，一元一次不等式的整数解、切线的性质及众数，中位数的知识结合各项进行判断可得出答案．
【解答】解：①对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本项缺少垂直这一条件，故本项错误；
②一元二次方程x2＝－3x的根是x＝－3或0，本项缺少了一个根，故本项错误；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角（或圆周角）所对的弧相等，本项缺少了前提条件，故本项错误；
④一元一次不等式2x+5＜11的解为：x＜3，正整数解，1、2，共2个，故本项正确；
⑤圆的切线垂直于经过切点的半径，并不是垂直每一条半径，故本项错误；
⑥在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是2，故本项错误；
综上可得④正确，共1个．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质、菱形的判定众数、一元二次方程的解及一元一次不等式的整数解，涉及的知识点较多，注意基本知识的掌握，难度一般．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程kx2－4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围k＜4且k≠0
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴
D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝3-5
【分析】由矩形的判定、菱形的判定、一元二次方程根的判别式、正方形的性质以及黄金分割的定义分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵关于x的方程kx2－4x+1＝0有两个不相等实根，
∴k≠0(-4)2-4k＞0，
解得：k＜4且k≠0，故选项B符合题意；
C、正方形有4条对称轴，分别是2条对角线所在的直线和2条两边的垂直平分线，故选项C不符合题意；
D、∵点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=5-12AB=5-12×2=5-1，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质、一元二次方程根的判别式以及黄金分割等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（　　）
A．a-b=4.52a+1=b B．b-a=4.52a-1=b
C．a-b=4.512a+1=b D．a-b=4.512a-1=b
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴a－b＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴12a+1＝b．
∴所列方程组为a-b=4.512a+1=b．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8－x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误．
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8－x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8－x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，

则ME＝（8－3）－3＝2，
由勾股定理得，
EF=MF2+ME2=42+22=25，故④错误．
综上所述，结论正确的有①③，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．

二．填空题（共5小题）
11．因式分解：（x+2）（x－8）+6x＝　（x+4）（x－4）　．
【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2+2x－8x－16+6x
＝x2－16
＝（x+4）（x－4），
故答案为：（x+4）（x－4）．
【点评】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键．

12．深圳市某校开展“课后延时服务”后，组建了四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈，学校规定每人只能选择参加一个社团，小明和小丽准备随机选择一个社团报名，则小明和小丽两人刚好选择同一个社团的概率为 　14　．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：将四个艺术社团：书法、合唱、剪纸、舞蹈分别记作A、B、C、D，
画树状图如下：

由树状图知，一共有16种等可能结果，其中小明和小丽两人刚好选择同一个社团的有4种结果，
∴小明和小丽两人刚好选择同一个社团的概率为416=14，
故答案为：14．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

13．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　（55-5）　cm．

【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP=5-12AB=5-12×10＝（55-5）cm，
故答案为：（55-5）．
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　（6，43）　．

【分析】由D的坐标为（3，4），可求出菱形的边长，进而求出B、C、A的坐标，确定反比例函数的关系式，直线BC的关系式，联立求出交点坐标即可．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD=32+42=5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y=kx得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y=8x，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k=43，b=-203，
∴直线BC的关系式为y=43x-203，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
y=8xy=43x-203解得：x1=6y1=43，x2=-1y2=-8（舍去），
∴F（6，43），
解法二：过点F作FH⊥x轴于点H，设BH＝3a．

∵FB∥OD，
∴∠FBH＝∠DOM，
∴tan∠FBH＝tan∠DOM=43=FHBH，
∴FH＝4a，
∴F（5+3a，4a），
∵A（4，2），
∴（5+3a）×4a＝8，
解得a=13或－2（舍去），
∴F（6，43）．
故答案为：（6，43）．

【点评】考查反比例函数的图象和性质，一次函数以及菱形的性质等知识，求出反比例函数和一次函数的关系式是解决问题的关键．

15．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点P是直线AD上一动点，点E在直线PB上，若∠BEC＝∠BCP，则CE的最小值是 　433　．

【分析】连接AE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OE，OB，OC，OA．利用相似三角形的性质判断出∠AEB＝120°，得出点E的运动轨迹，可得结论．
【解答】解：连接AE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OE，OB，OC，OA．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥CB，
∴∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，
∵∠BEC＝∠BCP，∠CBE＝∠PBC，
∴△EBC∽△CBP，
∴BCBP=EBBC，
∴BC2＝BE•BP，
∴AB2＝BE•BP，
∴ABBE=BPAB，
∵∠ABE＝∠ABP，
∴△ABE∽△PBA，
∴∠AEB＝∠BAP＝120°，
∴点E在⊙O上运动，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
OA＝OB=433，
∴OC=OB2+BC2=(433)2+42=833，
∵EC≥OC－OE=433，
∴EC的最小值为433．
故答案为：433．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质以及面积法的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例得出当CP最短时，CE最短．

三．解答题（共7小题）
16．计算：18tan230°cos45°-(-12)-3-8＋（－1）2023 ＋（3.14－π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝18×(33)²×22＋8－22－1+1
＝32＋8－22－1+1
＝2＋8．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

17．先化简再求值：3x-9x-2÷（5x-2-x－2），在0＜x＜4的整数中选择合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出符合条件的整数x的值，继而代入计算可得．
【解答】解：原式=3(x-3)x-2÷（5x-2-x2-4x-2）
=3(x-3)x-2÷9-x2x-2
=3(x-3)x-2•x-2-(x+3)(x-3)
=-3x+3，
∵x≠2且x≠±3，
∴在0＜x＜4的范围内符合题意的整数只有x＝1，
则原式=-31+3=-34．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．

18．2023年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年．为深入贯彻落实党的二十大精神，大力弘扬宣传雷锋精神，某学校举行了以“传承雷锋精神，争当追锋少年”为主题的知识竞赛活动，竞赛满分为10分，学生成绩平均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，分别定为A，B，C，D四个等级．学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制统计图，请回答下列问题：
（1）学校随机抽取的学生人数为 　40　；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“C”部分所对应的圆心角的度数为 　108　度；
（4）如果该校共有学生4800人，且规定等级为A、B的为优秀，请估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有多少人？
​
【分析】（1）由A等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数减去已知等级人数求出C等级人数即可补全图形；
（3）用360°乘“C”等级所占比例即可；
（4）总人数乘以样本中A、B等级人数所占比例即可．
【解答】解：（1）一共调查学生人数为4÷10%＝40（人），
故答案为：40；
（2）C等级人数为40－4－16－8＝12（人），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中，“C”部分所对应的圆心角的度数为：360°×（1－10%－20%－40%）＝108°，
故答案为：108；
（4）4800×（10%+40%）＝2400（人），
答：估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的大约有2400人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出被调查的总人数，利用数形结合的思想解答．

19．为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的5棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，－1）；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为 　（－1，2）　；
②标出另外两棵古树D（－1，－2），E（1，－2）的位置；
③连接AC、DE，请直接写出AC和DE的关系：　AC∥DE，AC＝DE　．
【分析】（1）根据A（1，2），B（0，－1）建立坐标系即可；
（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；
②直接根据点的坐标描出各点；
③根据图形得出即可．
【解答】解：（1）如图：

（2）①古树C的位置的坐标为（－1，2）；
故答案为：（－1，2）；
②标出D（－1，－2），E（1，－2）的位置如图；
③AC和DE的关系是AC∥DE，AC＝DE．
故答案为：AC∥DE，AC＝DE．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，根据A、B的坐标建立坐标系是解题的关键．

20．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭成功场点火发射，天舟六号货运飞船装载了神舟十六号和神舟十七号6名航天员在轨驻留消耗品、推进剂、应用实（试）验装置等物资，这也激发航天纪念品的购买热潮。某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：
产品
神舟飞船模型
航天纪念币
进价（元/件）
28
14
售价（元/件）
38
20
（1）若该店5月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？
（2）由于销售火爆，该店准备在6月份又购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得6月份该店利润w为最大．
【分析】（1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币（500－m）元，根据题意可知，w＝（38－28－3）m+（20－14－2）（500－m）＝3m+200，根据“航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍”可得m≤125且m为正整数，因为3＞0，所以w随m的增大而增大，可知当m＝125时，w最大，最大值为575．由此可得出结论．
【解答】解：（1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，
根据题意可知，28a+14b=560038a+20b=7800，
解得a=100b=200．
∴购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件．
（2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币（500－m）元，
根据题意可知，w＝（38－28－3）m+（20－14－2）（500－m）
＝3m+2000，
∵500－m≥3m且m为正整数，
∴m≤125且m为正整数，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝125时，w最大，最大值为2375．
此时500－m＝375．
∴当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得6月份该店利润w为最大．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH＝OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，再计算出AE＝33，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△AOE－S扇形EOF进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′＝∠EAF′得到PE+PF最小值为33，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE=3OE＝33，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE－S扇形EOF=12×3×33-60⋅π⋅32360=93-3π2；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝33，
即PE+PF最小值为33，
在Rt△OPF′中，OP=33OF′=3，
在Rt△ABO中，OB=33OA=33×6＝23，
∴BP＝23-3=3，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为3．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．

22．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝　14　S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=14S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb=14AG•a，于是得到结论；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到OKOQ=53，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，
在△AOG与△BOE中，
AG=BE∠OAG=∠OBEOA=OB，
∴△AOG≌△BOE（SAS），
∴S四边形AEOG＝S△AOB=14S正方形ABCD；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M
∵S△AOB=14S矩形ABCD，S四边形AEOG=14S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE=12BE•OM=12m⋅12b=14mb，S△AOG=12AG•ON=12AG•12a=14AG•a，
∴14mb=14AG•a，
∴AG=mba；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ， ∴OKOQ=53，
∵S△AOB=14S平行四边形ABCD，S四边形AEOG=14S平行四边形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE=12BE•OK=12×1×OK，S△AOG=12AG•OQ，
∴12×1×OK=12AG•OQ，∴OKOQ=AG=53，
∴当AG＝CH=53，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键。