湖北省部分普通高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

湖北省部分普通高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、下列说法正确的是(    )

A.第二象限角比第一象限角大

B.角与角是终边相同角C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角

D.将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为

2、已知是第三象限角，且，那么(   )

A. B. C. D.

3、如图，已知中，D为AB的中点， ，若，则(   )

A. B. C. D.

4、在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则 (    )

A. 一定是直角三角形 B. 一定是等腰三角形

C. 一定是等腰直角三角形 D. 是等腰或直角三角形

5、如图，扇形的半径为，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最小值是(   )

A.0 B. C.2 D.-1

6、已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为(   )

A.5 B.7 C.9 D.11

7、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮，圆D(后轮的直径均为1，，，均是边长为1的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为(    )

A.3 B. C. D.

8、已知所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过的(   )

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

二、多项选择题

9、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的是(   )

A. B.

C. D.

10、筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具．筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史。如左下图．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点水面与筒车右侧的交点，从此处开始计时，下列结论正确的是(    )

A. t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为、

B. t分钟时，该盛水筒距水面距离为米

C.1分钟时该盛水筒距水面距离与分钟时该盛水筒距水面距离相等、

D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米

11、有下列说法其中正确的说法为(    )

A. 若，，则：

B. 若，，分别表示，的面积，则；

C.两个非零向量，，若，则与共线且反向；

D.若，则存在唯一实数使得

12、已知函数，，则下列结论中正确的是(    )

A.若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B.若，且的最小值为，则

C.若在上单调递增，则的取值范围为

D.若在有且仅有3个零点，则的取值范围是

三、填空题

13、已知扇形的半径为6圆心角为，则扇形的面积为______________．

14、已知，，分别是与，方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________．

15、已知在中，，，，若点P为四边形AEDF内一点不含边界，且，则实数x的取值范围为____________．

16、已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为__________．

四、解答题

17、设，是不共线的两个非零向量．

(1)若，，，求证：A,B,C三点共线；

(2)若，，，且A,C,D三点共线，求的值．

18、如图为函数的部分图象．

(1)求函数解析式；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．

19、如图，在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知，，，且AD为BC边上的中线，AE为的平分线．

(1)求线段AD的长；

(2)求的面积．

20、如图，在四边形ABCD中，，．

(1)若为等边三角形，且，E是CD的中点，求的值；

(2)若，，，求的值．

21、从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小)，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S

(1)求面积S关于的函数表达式，并求的范围；

(2)求面积S最小值，并求出此时的值．

22、在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则．

(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则_______.(请在空格处填上你认为正确的结论)

(2)若非零向量，，，且，利用(1)的结论求当k为何值时，分别取到最大、最小值？

参考答案

1、答案：C 

解析：：对于A，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误；

对于B，，与终边不同，故B错误；

对C于，斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角，故C正确；

对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，

钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为，故D不正确．

2、答案：A 

解析：，

，

，

，

角是第三象限角，

，

故选A．  

3、答案：C 

解析： D为AB的中点，，

，

又，

则,，，

故选C．

4、答案： B

解析：，

由正弦定理可得：，

，

，

，

B，，

则一定是等腰三角形．

故选：B． 

5、答案：D 

解析：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，

设，，

则，，，

，

，

，，

，，

，

，

，

当时，，即的最小值为-1．

故选D．

6、答案： C 

解析：为的零点，为图象的对称轴，

，即，，即，，即为正奇数，

在单调，则，即，解得，

当时，，，，，

此时在不单调，不满足题意；

当时，，，

，，此时在单调，

满足题意，故的最大值为9．

故选C．

7、答案：B 

解析：据题意：圆D(后轮的半径均为，，，均是边长为1的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：

则，，

圆D的方程为，可设，

所以，

故

故选：B

8、答案：B 

解析：

，即，

即

M在边BC的垂直平分线，

由三角形外心的定义知，M点的轨迹过的外心，

故选B．  

9、答案：AC 

解析：因八卦图为正八边形，故中心角为，，

，A项正确；

与的夹角为，又因为，

所以，B项错误；

，，

中，由余弦定理可得，

则，故C项正确、D项错误．

故A、C项正确．

故选AC．

10、答案：ACD 

解析：对于A，由题意及图象可得，筒车转动周期为，所以转速为，

又由题意可得盛水筒P的初始位置为点D的纵坐标为，半径为3，所以，

t分钟时，水筒P转了，所以以射线OA为始边，OP为终边的角为，故A正确；

对于B，t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为，

所以该盛水筒距OA的距离为米，

所以该盛水筒距水面的距离为米，故B错误；

对于C，由选项B可得，1分钟时该盛水筒距水面距离为米，

3分钟时该盛水筒距水面距离为米，

所以1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等，故C正确；

对于D，由，可得，

解得，，即，，

因为，所以，，

所以共有分钟，故D正确．

故选ACD．

11、答案： 答案：BC 

解析：A.若，，则，

如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，

所以A选项是错误的；

B. 如图，D，E分别是AC，BC的中点，

，

所以，

所以，即，

且，有公共点O，所以O、D、E三点共线，

且，，所以

故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，

根据三角形面积公式可知，所以B选项是正确的；

C选项两边平方可得-2， ，

所以，

即夹角为，则与共线且反向；C选项正确，

D. 若，如果是非零向量，，

则不存在实数使得，

所以D选项是错误的．、

故选：BC．

12、答案：ABD 

解析：函数，选项A:若，，

将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确

选项B:若，的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确

选项C:若在上单调递增，则，所以，C错误

选项D:设，当时，，

若在仅有3个零点，即在仅有3个零点，

则，所以，D正确，

故选：ABD．

13、答案： 

解析：根据扇形的弧长公式可得，

根据扇形的面积公式可得．

故答案为：．

14、答案： 

解析：在上的投影向量为，

，即①

在上的投影向量为，

，即②

，③

由①，②，③得，，，，

因为，所以．

故答案为：．

15、答案： 

解析：在线段BD上取一点G，使得．

设，则，，则．

过G作，分别交DF，AE于K，H，连接FH，则点K，H为临界点．

由可得，即，．

因为，所以，，

所以，

则，即．故

16、答案： 

解析：函数，上．

．

的图象在上恰有两个最高点，，

解得．

故答案为．

17、答案： 答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：由已知得，，

，

故，又与有公共点，

所以A，B，C三点共线．

(2)，．

因为A,C,D三点共线，所以，

即，与是不共线的两个非零向量，

所以所以

综上，k的值为．

18、答案：(1)

(2) ，

(3)当方程在上有两个不相等的实数根时，

由正弦函数的图象和性质可知，上有两个不同的实根

解析：(1)由题中的图象知，，，

即，所以，

令，，

得到，，

，，

函数解析式为；

(2)令，，

解得，，

的单调递增区间为，；

(3)当时，，，

所以当方程在上有两个不相等的实数根时，

由正弦函数的图象和性质可知，上有两个不同的实根． 

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)根据题意，，

由正弦定理知：．

又，，；

又由，解得，即，则．

在中，由余弦定理得，

解得．

(2)根据题意，因为AE平分，

所以，故，

变形可得，，则，

所以． 

20、答案：(1)11

(2)

解析：(1)因为为等边三角形，且，

所以．

又，所以．

因为E是CD中点，

所以．又，

所以

．

(2)因为，，所以．

因为，所以，

所以．

又，

所以，

所以，

所以． 

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，

所以小正方形的边长为，

大正方形的边长为，

所以五个正方形的面积和为

，

因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，

所以，，，

所以的取值范围为，．

(2)

，

，

其中，，

所以，此时，

因为，所以，所以，

所以，

则，化简得：，

由此解得：，

因为，所以． 

22、答案：(1)

(2) 当时，有最大值-0.5；

当或时，有最大值-1

解析：(1)非零向量，，若，则．

拓展到空间，类比上述定理，非零向量，，，

则．

（2），①

 又，②

，得到

，若或2，此方程无解，

，即且，

，

，，

又，，解得，

当时，最小，此时最大，

任意角的余弦最小为-1，当

即，此时或，

综上：当时，有最大值-0.5；

当或时，有最大值-1．