浙江省杭州市六县九校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份浙江省杭州市六县九校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市六县九校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，，则(   )A.  B.C.  D.2、已知直线与直线平行，则实数(   )A.-2 B.3 C.5 D.-2或33、第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有(   )A.840种 B.140种 C.420种 D.210种4、的二项展开式中第4项的系数为(   )A.-80 B.-40 C.40 D.805、函数的图像可能是(   )A. B.C. D.6、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(   )A.3盏 B.7盏 C.9盏 D.11盏7、已知双曲线的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为(   )A. B. C. D.8、在正方体中，E是侧面内动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、已知函数，下列关于的说法正确的是(   )A.定义域是  B.值域是RC.图象恒过定点  D.当时，在定义域上是增函数10、古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设，则下列正确的结论是(   )A.B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为C.点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D.正八边形ABCDEFGH的面积为11、已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有(   )A.直线AB的方程为B.四点O、A、P、B共圆C.若P在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2D.若，则的最大值为12、对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有(   )A.函数的图象关于y轴对称B.C.函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D.对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且三、填空题13、已知复数z满足，那么___________.14、抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．15、已知函数在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数a的最大值为_______.16、数列的前项n和为，满足，且，则______．四、解答题17、良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.18、已知（1）求函数的对称中心和单调增区间；（2）将函数的图象上的各点______得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．19、已知等差数列的公差为正数，，其前n项和为，数列为等比数列，，且，．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和．20、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,M,N为线段PC,AD,上一点不在端点.(1)当M为中点时，，求证：面PBA(2)当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.21、已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，是否存在直线l使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22、已知函数，，.（1）求的最大值；（2）若对，总存在使得成立，求a的取值范围；（3）证明不等式.
参考答案1、答案：B解析：因为，所以，则，因为，所以，则，所以，故选：B2、答案：A解析：当时，显然不符合题意，所以，由得，由得，所以，解得故选：A3、答案：C解析：由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天所以不同的安排方法有种故选：C4、答案：B解析：的二项展开式中第4项为，所以所求系数为-40.故选：B5、答案：A解析：令，则函数为奇函数，故CD错误当时，，则当时，，则则，即由可知，函数的第一个正零点为，，故B错误；故选：A6、答案：A解析：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得，即塔的顶层共有灯3盏.故选：A．7、答案： C解析：设渐近线是，记，则，所以，设，在中，，所以，即，由于，因此上述方程的两解,就是，又，不妨记，又，，则，所以，所以，则，解得或又，所以．故选：C8、答案：B解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB所成角为，，，，，．直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选B．9、答案：ABC解析：对于A选项，，解得，所以定义域是，故正确；对于B选项，由对数函数的性质得值域是R，故正确；对于C选项，函数恒过定点，故正确；对于D选项，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，故根据复合函数单调性得当时，在定义域上是减函数，故错误；故选：ABC10、答案：ABC解析：由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为，，因为，，所以，所以A正确；因为，所以以射线OF为终边的角的集合可以表示为，所以B正确；对于C，因为，半径为1，所以弦AB所对的劣弧弧长为，所以C正确；对于D，因为，所以正八边形ABCDEFGH的面积为，所以D错误，故选：ABC11、答案：ABD解析：设，时，切线方程为，时，切线方程为，时，，因此，切线方程为，又，，或的切线方程也满足此方程．同理设，切线方程是，而P在两切线上，所以，，因此直线AB的方程是，A正确；由，因此可得，所以四点O、A、P、B共圆，B正确；由四边形OAPB的性质知其面积等于，要使得切线长最小，则最小，即为O到直线的距离，，因此面积最小值为，C错误；由，用得，所以，所以，由基本不等式知，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．D正确、故选：ABD．12、答案： ABD解析：对于A：因为函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；对于B：由A知为偶函数，当时，，若即只需证，令，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以恒成立，故选项B正确；对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为.故选项C错误；对于D：，即，即，当时，，，区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；故选：ABD.13、答案：i 解析：因,故答案为: i.14、答案：解析：抛物线的准线为，把圆化成标准方程为，得圆心，半径，圆心到准线的距离为，所以，即，所以焦点坐标为．15、答案：2解析：因为当时，有不等式成立，所以，令所以函数在上单调递增，由题得所以函数是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对，不等式恒成立，所以，,因为,所以当时，显然成立.当时，，所以，所以函数在单调递减，在单调递增.所以，所以,所以正整数a的最大值为2.故答案为216、答案：解析：由题意，数列满足，可得，所以，故答案为：17、答案： （1），；（2）.解析：（1）设中位数为m，则，；（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在的有6名，记为，，，，，，时间在的有名，记为，，从8名同学中随机取2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，记事件A为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，则A包含的基本事件个数有个，所以.18、答案： （1）对称中心是，；单调增区间为，    （2）解析：（1）因为令，，则，，故函数的对称中心是，；令，，则，，所以单调增区间为，（2）选①，则可得，当时，，则，所以，若方程有解，则.选②，则可得，当时，，则，所以，若方程有解，则.19、答案：（1）；    （2）解析：（1）由题，设等差数列的公差为，等比数列公比为q，所以，因为，，所以，解得：，所以，.（2）由（1）得：，所以，则，两式作差得：，所以.20、答案：（1）证明见解析（2）存在，解析：(1)方法一：证明：因为平面ABCD，AB，平面ABCD.所以,.又，所以AP，AB，AD两两垂直.分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则，,,,,.显然平面PAB的法向量为，则又MN不在平面PAB内，所以平面PAB.方法二：取BP的中点E，连接ME，EA由M为PC的中点，可知,在平面四边形ABCD中，即，所以，即由已知得所以，四边形AEMN是平行四边形，所以因为平面PAB，平面PAB所以平面PAB(2)假设存在点M使得MN与平面PBC所成角的正弦值为则，,所以N为AD中点，则，即设平面PBC的法向量为,,，不妨设，则设线面角为，则解得或1（舍去）时，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为．21、答案：（1）    （2）存在，或或或解析：（1）因为圆与x轴相切，所以所以，又，所以，所以椭圆；（2）由（1）可知椭圆的右焦点为，①当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；②当直线l的斜率不为0时，设直线，,联立，恒成立，所以，则所以令，解得或，即得或所以符合条件的直线方程分别为或或或.22、答案：（1）0；（2）；（3）证明见解析.解析：（1）由，，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即.（2）对，总存在使得成立，等价于，由（1）可知，问题转化为即在有解，即在有解，∴.（3）由（1）知：，令，则，即，也即，，.得证.