2023年中考考前押题密卷：数学（上海卷）（全解全析）

这是一份2023年中考考前押题密卷：数学（上海卷）（全解全析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两．牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年上海市中考考前押题密卷
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
B
C
C
A
A
B
一、选择题
1．下列各数中是正有理数的是（   ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据实数的分类逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，是无理数，不合题意；
B. 是正的有理数，符合题意，
C. 0，是有理数，不是正有理数，不合题意，
D. 是无理数，不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
3．下列四个函数图像中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
故选C．
4．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：
①在、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，以大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点；
③作射线．
就是所求作的角的平分线．

该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（    ）
A．三边对应相等的两个三角形全等
B．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
C．两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
D．两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】由作图可得，，根据三角形全等的判定方法“”解答．
【详解】解∶连接，，由作图可得，，，

在和中

∴，
∴，
∴平分．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
5．甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环数的平均数分别记作和，方差分别记作和，那么下列描述能说明甲运动员成绩较好且更稳定的是（    ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可．
【详解】解：∵甲运动员成绩较好且更稳定，
∴甲的平均数大于乙，且方差比乙小时，能说明甲成绩较好且更稳定．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关键．
6．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，

根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：B
【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关键．

二、填空题
7．计算：=___．
【答案】﹣2
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案为：-2
8．函数中，自变量的取值范围是_______.
【答案】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
9．直线的截距是____．
【答案】-3或
【分析】利用截距的定义，可找出直线的截距．
【详解】令，则，
∴直线在轴上的截距为-3，
令，则，
∴直线在轴上的截距为，
故答案为：-3或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，牢记截距的定义是解题的关键．
10．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是_______（只需写出一个满足要求的数）．
【答案】4
【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．
【详解】解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，
∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，
∴a≥4或a≥5，
故答案是4（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
11．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为__________．

【答案】
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解： 矩形，在上，

把代入：


把代入：



由题意得：
解得：（舍去）

故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，


解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
13．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________．

【答案】26°．
【分析】设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可．
【详解】解：设∠BAC=x
∵平行四边形的对角线
∴DC//AB,AD=BC,AD//BC
∴∠DCA=∠BAC=x
∵AE=BE
∴∠EBA =∠BAC=x
∴∠BEC=2x
∵
∴BE=BC
∴∠BCE=∠BEC =2x
∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x
∵AD//BC，
∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．
故答案为26°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键．
14．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 _____两．
【答案】
【分析】根据已知条件，设每头牛x两，每只羊y两，建立二元一次方程组求解可得．
【详解】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．恰当利用已知条件找出等式关系，列出二元一次方程组是解本题的关键．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为_______．
【答案】
【分析】根据切线的性质得到∠A′DC＝90°，根据旋转变换的性质得到CA′＝CA＝3，根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，
连接A′D，则∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值为 ，
故答案为： ．

【点睛】本题考查图形旋转，直线与圆位置关系，锐角三角函数，平行线性质，掌握图形旋转，直线与圆位置关系，锐角三角函数，平行线性质是解题关键．
16．在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）

【答案】
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
17．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．

【答案】
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，

设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．

【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，然后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解．
【详解】解：
=
=．
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，二次根式的运算，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.
22．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．

(1)求证：；
(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
【答案】(1)见解析
(2)AC的值为1或2
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．
(1)
解：证明：，
，
即，
设，
由，
，
，
又，
，
，
即，
．
(2)
解：作于点，

设，
，
，
又，
，，
又，
，
由勾股定理得，，
又，
，
，
，，
的值为1或2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似．
23．小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
【答案】（1）超市B型画笔单价为5元；（2），其中x是正整数；（3）小刚能购买65支B型画笔．
【分析】（1）设超市B型画笔单价a元，根据“花100元买了相同支数的B型画笔”，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时， 当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；
（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．
【详解】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，
由题意列方程得，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以其中x是正整数
（3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
答：小刚能购买65支B型画笔．
【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式，是解题的关键．
24．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.

          图1                     图2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
(3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
【答案】(1)
(2)2
(3)当点的坐标分别为，，，时，，理由见解析．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；
（3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
又，
∴．
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，则该直线的解析式为．
故当时，，即，
∴，
即．
（3）解：设点，由题意，得，
∴，∴，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，，
∴当点的坐标分别为，，，时，．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键．
25．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)①45°；②成立，理由见解析

【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；
（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；
②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果．
（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=AM= (4−a)，BE= (4−b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．