数学（南通卷）2023年中考第一次模拟考试卷（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．A

【分析】根据实数大小的比较方法即可．

【详解】解：∵-4<<0<，

∴最小的数是-4．

故选：A．

【点睛】本题考查实数比较大小，解题关键是明确正数大于零，零大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小．

2．A

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】．

故选：A．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

3．B

【详解】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；

B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；

C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；

D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.

故选B．

考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．

4．A

【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘单项式，积的乘方公式对各选项进行判断即可.

【详解】解：A、a 3•a 2=a 5，正确；

B、a+a =2a，故此选项错误；

C、2a×3a =6a 2，故此选项错误；

D、(a2)4=a8，故此选项错误；

故选：A．

【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘单项式，积的乘方公式.掌握这些基本运算法则是解决此题的关键.

5．B

【分析】根据中位线的定义解答：将一组数据按大小顺序排列，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）是中位数.

【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：65，66，66， 68，69，70，

位于正中间的数是66， 68，即中位数为

故选：B.

【点睛】本题考查求一组数据的中位数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

6．A

【详解】分析：∵圆锥的侧面展开图是半圆，

∴2π•r=π•l，即r：l=1：2．∴l=2r．故选A．

7．C

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再根据主视图与俯视图得出答案．

【详解】解：根据几何体的主视图和俯视图，可以得出那个主视图看最少5个，那个俯视图看，最左边正方形前后可以有三列，分别有三个

故最多有个．

故选C．

【点睛】本题考查了三视图的应用，根据从俯视图看，最左边正方形前后可以有三列，分别有三个从而得出答案是解决问题的关键．

8．B

【详解】试题分析：把x=0代入方程可得m2-4=0，解得m=±2，又因m-2≠0，即m≠2，所以m=-2，故答案选B．

考点：一元二次方程的解．

9．C

【分析】根据所给条件可求出点 B的坐标，则 OA=1， AB=2，根据勾股定理可得 ，设，则，根据勾股定理可得，可得，以此即可确定点的坐标．

【详解】解：∵直线，过点作轴的垂线交直线于点，

，

,，

由勾股定理可得，

设，则，

轴，，

，

由勾股定理得，

，

解得：，

，，

轴，交直线于，

，

解得，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理或利用两直线垂直的关系求出点C的坐标是解题关键．

10．C

【分析】①解方程组得，由得到关于的不等式，解之可得答案；②将代入方程组，求出的值，即可做出判断；③将代入求出、的值，从而依据得出答案；④由得出关于的不等式，解之可得．

【详解】解：关于、的方程组，

解得：．

①，

，

解得，故①正确；

②将代入，得：，

即当时，，此结论正确；

③当时，，满足，此结论正确；

④若，则，解得，此结论错误；

故选：C．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～19题每小题4分，共30分）

11．

【分析】根据二次根式有意义条件被开方数为非负数，即可得出关于x的不等式，解出x的解集即可．

【详解】由题意可知，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次根式有意义条件．掌握二次根式有意义条件为被开方数为非负数是解题关键．

12．-2y-3x

【分析】原式利用平方差公式的结构特征判断即可．

【详解】（3x-2y）（-3x-2y）=4y2-9x2．

故答案为-3x-2y．

【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

13．8

【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出，进而得出假设BD=x，AE=4x，D0=3x，AB=y，根据△ABD的面积为1，求出xy=2即可得出答案．

【详解】过A作AE⊥x轴,

∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，

且△ABD与△COD的位似是1:3，

∴ ，

∴OE=AB，

∴，

设BD=x，AB=y

∴DO=3x，AE=4x，C0=3y，

∵△ABD的面积为1，

∴xy=1，

∴xy=2，

∴AB⋅AE=4xy=8，

故答案为8.

【点睛】此题考查位似变换，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于作辅助线.

14．30

【分析】根据题意即可求得即可求得，从而得出，再解直角三角形ABD即可．

【详解】如图：过O点作，，垂足分别为M，N，

由题意知，

∵，

∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

故答案为：30．

【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，理解题意灵活运用所学知识得出是解题的关键．

15．

【分析】根据“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，以及在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，”分别得出等式方程组成方程组，即可得出答案．

【详解】解：设吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意得：

故答案为：

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据吸烟与不吸烟中患肺癌的比例得出正确的等量关系是解题的关键．

16．

【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．

【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，

由题意可知，

则，C在上，

设

即 解得（不符合题意，舍去）

所以

故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．

17．

【分析】先确定当A、B、D三点共线时，AD有最小值，然后证明∠B=∠D=30°，∠ACD=90°，得到，再由，即可求解．

【详解】解：如图1所示，连接BD，则可知，

由旋转的性质可知，CD=BC，∠BCD=∠BAC=120°，

∴BD，AB的长度都是一个定值，

∴当A、B、D三点共线时，AD有最小值；

如图2所示，

∵CB=CD，∠BCD=120°，

∴∠B=∠D=30°，

又∵∠BAC=120°，

∴∠ACB=30°，

∴AB=AC，∠ACD=90°，

∴

∵AB+AC=a，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够找到DA有最小值时，A、B、D三点共线．

18．11

【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．

【详解】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，

，

，解得，

是线段的垂直平分线，

点关于直线的对称点为点B，，

，

的长为的最小值，

的周长最短．

故答案为：11．

【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

三、解答题（共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．(1)原方程无实根

(2)

【分析】（1）根据解分式方程的方法，移项，通分，求值，检验根是否符号题意，即可求解；

（2）根据乘方运算，非零数的零次幂，负指数幂的运算法则即可求解．

【详解】（1）解：

∴，

把代入原分式方程，原分式方程无意义，

∴原分式方程无实根．

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查分式方程，含有乘方的有理数的运算，掌握分式方程的性质，混合运算法则，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．

20．(1)90°；(2)见解析.

【分析】（1）根据图象观察或测量得到∠AEF的度数即可；

（2）延长AE交BC的延长线于点G，根据平行线的性质得到∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，根据AAS证出△ADE≌△GCE，推出AE=GE，证出FA=FG，根据等腰三角形的性质即可推出答案．

【详解】解：（1）∠AEF的度数是90°．

（2）都成立．以图2为例证明．

证明：如图，延长AE交BC的延长线于点G，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，

∵E为DC的中点，

∴DE=EC，

∴△ADE≌△GCE（AAS），

∴AE=GE，

∵∠FAE=∠DAE，

∴∠FAE=∠G，

∴FA=FG，

∴EF⊥AE．

∴∠AEF=90°．

【点睛】本题考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解题关键．

21．（1）50,补图见解析;(2) 3600人;（3）说明见解析;（4）P= ．

【详解】试题分析: (1)根据数据总数=代入计算，求出九年级3班学生的人数,一般人数为总数减去其他即可求出;

(2) 先计算优秀的百分比，再与12000相乘即可；

(3) 取的样本不足以代表全市总中学的总体情况;

(4) 用树状图或列表法将所有可能结果表示出来，利用概率的定义求解即可．

试题解析:

（1）50,

 如图所示：

（2）（人）

答：估计该市在这次测试中成绩为优秀的人数为3600人．

（3）因为小王只抽查了九年（3）班的测试成绩，对于全市来讲不具有代表性，且抽查的样本只有50名学生，对于全市12000名中学生来讲不具有广泛性．

（4）列表如下：

（画树状图：略，可参照给分）

∴由上表知：P（一男一女）= ．

22．（1）点P的坐标为（3,4）；（2）点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）点P的坐标为（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.

【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；

（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；

（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．

【详解】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．

（2）①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．

若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．

若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．

②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．

若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．

若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．

综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．

①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得，  ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；

②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得，  ，整理得m= -，则P（-，3）；

如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．

综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．

23．（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】根据题意找出符合条件的数，再利用概率公式分别计算其概率即可．

【详解】（1）10个数中正数有1，，6，8，9，共5个，故转得正数的概率为=；

（2）10个数中正整数有1，6，8，9，共四个，故转得正整数的概率为=；

（3）10个数中绝对值小于6的数有0，1，−2，，−1，−共6个，故转得绝对值小于6的数的概率为=；

（4 ）10个数中绝对值大于等于8的数有−10，8，9共3个，故转得绝对值大于等于8的数的概率为.

24．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；

(2)①，②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．

【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；

（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；

②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．

【详解】（1）解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得：

，

解得，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

∴，

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；

（2）解：①，

答：y与x之间的函数解析式为：；

②∵，

∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：，

若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，

∴，

∴，

∵时，y随x的增大而增大，

∴当时，．

答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．

【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．

25．（1）见解析；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明见解析．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质、垂直的定义、角平分线的定义得到∠AED＝∠ADE，最后应用等边对等角和等量代换即可解答；

（2）先说明EF＝CF，再证明△AEF≌△BCF可得AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，进而说明∠AFB＝∠EFC＝90°即可说明△ABF是等腰直角三角形．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD＝BC，

又∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

又∵ED平分∠AEC，

∴∠ADE＝∠CED＝45°，

∴∠AED＝∠ADE，

∴AE＝AD，

∴AE＝BC；

（2）△ABF是等腰直角三角形，

证明：∵CF⊥DE，

∴∠CFE＝90°，

又∵∠CEF＝45°，

∴∠ECF＝45°，

∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，

∴EF＝CF，

在△AEF和△BCF中，

，

∴△AEF≌△BCF（SAS），

∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，

∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，

即∠AFB＝∠EFC＝90°，

∴△ABF是等腰直角三角形．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．

26．(1)，证明见解析；

(2)

(3)①4②

【分析】（1）利用圆周角定理和直角三角形性质及三角形内角和定理即可证得结论；

（2）根据题意先确定A、B的坐标，再运用勾股定理求得，即可得出点D的坐标；

（3）①如图2，连接，可证得，得出，再得出，再证明，利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；②设，，则，又，由，可求得，即，再得出，运用勾股定理建立方程求解即可得出，即可得出的值，再利用，求，利用，即可求得答案．

【详解】（1）解：，

，

，

，

，

；

（2）解：如图1，

若，直线的解析式为，

当时，，

点A的坐标是，

当时，即，

，

点B的坐标是，

，

，

在中，，

，

，

∴点D的坐标是；

（3）解：①如图2，连接，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

②，

，

设，其中，

由①知：，

，

设，则，又，

，

，

，

，

，

，

，

由（1）知：，

，

在中，，

，

解得：，

，

，

，

，

，即，

，

，

．

【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的图像和性质，三角形面积，解一元二次方程等，解题的关键是证明和．