中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习03（含答案）

中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习03

1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E.

(1)求证：AD∥OC；

(2)若AE=2，CE=2.求⊙O的半径和线段BE的长.

2.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

(1)试判断DE与⊙O的位置关系并证明；

(2)求证：BC2＝2CD•OE；

(3)若tan∠C＝，DE＝2，求AD的长．

3.如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E.已知BC=，AC=3.

(1)求AD的长；

(2)求图中阴影部分的面积.

4.已知：AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，如图，AB=12，BC=4.BH与⊙O相切于点B，过点C作BH的平行线交AB于点E.

（1）求CE的长；

（2）延长CE到F，使EF=，连接BF并延长BF交⊙O于点G，求BG的长；

（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交BH于点D，求证：BD=BG.

5.如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，E为BA延长线上的一点，连接CE、CA，∠ECA＝∠ACD．

(1)求证：CE为⊙O的切线；

(2)若EA＝2，tanE＝，求⊙O的半径．

6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE＝∠A．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若sinB＝，⊙O的半径为r，求△EHG的面积(用含r的代数式表示)．

7.如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O外一点，过点F作FD⊥AB于点D，交弦AC于点E，

且FC=FE.

(1)求证：FC是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，cos∠FCE=，求弦AC的长.

8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE.

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)求证：PC＝PF；

(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长.

0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习03（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：

2.解：(1)DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵E是BC的中点，

∴DE＝BE＝EC，

∴∠EBD＝∠EDB，

又∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠EDO＝∠EBO＝90°，即OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

(2)证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC＝2OE，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴Rt△ABC∽Rt△BDC，

∴＝，即BC2＝CD•AC，

∴BC2＝2CD•OE；

(3)解：在Rt△BDC中，∵DE＝BE＝EC，

∴BC＝2DE＝4，

∵tanC＝＝，

∴设BD＝x，CD＝2x，

∵BD2＋CD2＝BC2，

∴(x)2＋(2x)2＝42，解得x＝±(负值舍去)，

∴x＝，∴BD＝x＝，

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠C，

∴tan∠ABD＝tan∠C，

∴＝，

∴AD＝BD＝．

3.解：(1)在Rt△ABC中，∵BC=，AC=3，

∴AB==2 .

∵BC⊥OC，

∴BC是⊙O的切线.

又∵⊙O与斜边AB相切于点D，

∴BD=BC=，

∴AD=AB－BD=2 －=.

(2)在Rt△ABC中，

∵sinA===，

∴∠A=30°.

∵⊙O与斜边AB相切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠AOD=90°－∠A=60°.

∵=tanA=tan30°，∴=，

∴OD=1，∴S阴影==.

4.解：（1）∵BH与⊙O相切于点B，

∴AB⊥BH，

∵BH∥CE，

∴CE⊥AB，

∵AB是直径，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∵∠CBE=∠ABC，

∴△ABC∽△CBE，

∴=，

∵AC==4，

∴CE=4.

（2）连接AG.

∵∠FEB=∠AGB=90°，∠EBF=∠ABG，

∴△ABG∽△FBE，

∴=，

∵BE==4，

∴BF==3，

∴=，

∴BG=8.

（3）易知CF=4+=5，

∴GF=BG﹣BF=5，

∴CF=GF，

∴∠FCG=∠FGC，

∵CF∥BD，

∴∠GCF=∠BDG，

∴∠BDG=∠BGD，

∴BG=BD.

5.证明：(1)连接BC，OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴弧AC＝弧AD，

∴∠ACD＝∠ABC，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠OCB，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵∠ECA＝∠ACD．

∴∠EAC＝∠OCB，

∵∠OCB＋∠OCA＝90°，

∴∠ECA＋∠OCA＝90°，

∴∠OCE＝90°，

∵点C在⊙O上，

∴CE是⊙O的切线．

(2)在Rt△ECO中，tan∠E＝，

设OC＝R，∴CE＝R，OE＝R＋2，

∴(R)2＋R2＝(R＋2)2，

∴R＝3或R＝﹣(舍)．

6.证明：(1)连接OE，

∵在△ABC中，∠C＝90°，FG⊥BC，

∴∠BGF＝∠C＝90°，

∴FG∥AC，

∴∠OFG＝∠A，

∴∠OFE＝∠OFG，

∴∠OFE＝∠EFG，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF，

∴∠OEF＝∠EFG，

∴OE∥FG，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

(2)∵在Rt△OBE中，sinB＝，⊙O的半径为r，

∴OB＝r，BE＝r，

∴BF＝OB＋OF＝r，

∴FG＝BF•sinB＝1.6r，

∴BG＝r，

∴EG＝BG﹣BE＝r，

∴S△FGE＝EG•FG＝r2，EG：FG＝1：2，

∵BC是切线，

∴∠GEH＝∠EFG，

∵∠EGH＝∠FGE，

∴△EGH∽△FGE，

∴＝()＝，

∴S△EHG＝S△FGE＝r2．

7.解：(1)连接OC，

∵FC=FE，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AED，

∴∠AED=∠FCE，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∵FD⊥AB，

∴∠OAC+∠AED=90°，

∴∠OCA+∠FCE=90°，

∴∠OCF=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴FC是⊙O的切线；

(2)连接BC，

由(1)可知：∠AED=∠FCE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵∠CAB+∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°

∴∠B=∠AED=∠FCE，

∴cos∠FCE=cos∠B==，

∴BC=4，

∴由勾股定理可知：AC=2

8. (1)证明：∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝∠DAC.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，

即AC平分∠DAB；

(2)证明：∵AD⊥PD，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°.

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB.

又∵∠DAC＝∠CAO，

∴∠CAO＝∠PCB.

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF；

(3)解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴.

又∵tan∠ABC＝，∴，∴，

设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，

∵PC2＋OC2＝OP2，

∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6 (k＝0不合题意，舍去).

∴PC＝4k＝4×6＝24.