中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习12（含答案）

中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习12

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．

(1)求证：△DBE是等腰三角形；

(2)求证：△COE∽△CAB．

2.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，AE与弦CD的延长线垂直，垂足为E．

(1)求证：AE与半圆O相切；

(2)若DE=2，AE=，求图中阴影部分的面积

3.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB.

（1）求证：DE=OE；

（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；

（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形.

4.如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若DE=4，⊙O的半径为5.求BF的长.

5.如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD＝FE.

(1)求证：FD是⊙O的切线；

(2)若AF＝8，tan∠BDF＝，求EF的长.

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.

(1)BD＝DC吗？说明理由；

(2)求∠BOP的度数；

(3)求证：CP是⊙O的切线.

7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE，CE.

(1)求证：△ABE≌△CDE；

(2)填空：

①当∠ABC的度数为        时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，EF=4，DE的长为        ．

8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E，F，G.

(1)求证：内切圆的半径r=1；

(2)求tan∠OAG的值.

0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习12（含答案）参考答案

一         、解答题

1.证明：(1)连接OD，如图所示：

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADO＋∠BDE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠CAB＝∠ADO，

∴∠BDE＝∠CBA，

∴EB＝ED，

∴△DBE是等腰三角形；

(2)∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，

∴CB是⊙O的切线，

∵DE是⊙O的切线，

∴DE＝EC，

∵EB＝ED，

∴EC＝EB，

∵OA＝OC，

∴OE∥AB，

∴△COE∽△CAB．

2. (1)证明：连接AC，

∵，

∴，

即，

∴∠CAB=∠ACD，

∴AB∥CE，

∵AE⊥CD，

∴∠AEC=90°，

∴∠EAB=90°，

∴AE⊥AB，

∵OA为半径，

∴AE与半圆O相切；

(2)解：连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD，

∵Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=2，DE=2，

∴AD==4，

∵F是AD的中点，

∴EF=AC=2，

∴ED=EF=DF=2，

∴△DEF是等边三角形，

∴∠EDA=60°，

由(1)知：AB∥CF

∴∠DAO=∠EDA=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，OA=AD=4，…

∴S阴影=S四边形AODE﹣S扇形OAD=×(2+4)×2﹣=6﹣.

3.解：（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，

∵DE=EC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠COD，

∴DE=OE；

（2）∵OD=OE，

∴OD=DE=OE，

∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，

∴∠2=∠1=30°，

∵AB∥CD，

∴∠4=∠1，

∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，

∴∠BOC=∠DOC=60°，

在△CDO与△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（3）∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，

∴OA=OB=DE=EC，

∵AB∥CD，

∴∠4=∠1，

∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，

∴△ABO≌△CDE（AAS），

∴AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAE=∠DOE=30°，

∴∠1=∠DAE，

∴CD=AD，

∴▱ABCD是菱形.

4.证明：(1)连接OD，BC，OD与BC相交于点G，

∵D是弧BC的中点，

∴OD垂直平分BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)由(1)知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，

∴四边形DECG为矩形，

∴CG=DE=4，

∴BC=8，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=10，

∴AC==6，

OG=AC=3，GD=2，在矩形GDEC中 CE=GD=2，

∴AE=8.

∵D为弧BC的中点，

∴∠EAD=∠FAB，

∵BF切⊙O于B，

∴∠FBA=90°.

又∵DE⊥AC于E，

∴∠E=90°，

∴∠FBA=∠E，

∴△AED∽△ABF，

∴，

∴

∴BF=5.

5.证明：(1)连接OD，∵CO⊥AB，

∴∠E＋∠C＝90°，

∵∠DFO为△EFD的外角，且FD＝FE，∠ODC为△EOD的外角，且OD＝OC，

∴∠DFO＝∠E＋∠EDF＝2∠E，∠DOF＋∠E＝∠ODC＝∠C，

得∠DOF＋∠E＋∠DFO＝∠C＋2∠E，

即∠DOF＋∠DFO＝∠C＋∠E＝90°，

∴FD是⊙O的切线.

(2)连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠A＋∠ODB＝90°，

∵∠BDF＋∠ODB＝90°，

∴∠A＝∠BDF，

而∠DFB＝∠AFD，

∴△FBD∽△FDA，

∴DF：AF＝BD：AD，

在Rt△ABD中，tan∠A＝tan∠BDF＝，

∴DF：8＝，

∴DF＝2，

∴EF＝2.

6.解：(1)BD＝DC.理由如下：连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC；

(2)∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝DE.

∴BD＝DE＝DC，

∴∠DEC＝∠DCE，

△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，

∴∠DCE＝∠ABC＝(180°﹣30°)＝75°，

∴∠DEC＝75°，

∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC＝∠EDC＝30°，

∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，

∵OB＝OP，

∴∠OBP＝∠OPB＝45°，

∴∠BOP＝90°；

(3)设OP交AC于点G，如图，则∠AOG＝∠BOP＝90°，

在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，∴＝，

又∵＝＝，∴＝，∴＝，

又∵∠AGO＝∠CGP，

∴△AOG∽△CPG，

∴∠GPC＝∠AOG＝90°，

∴OP⊥PC，

∴CP是⊙O的切线；

7.解：

(1)证明：∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，

∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB．

在△ABE和△CDE中，

∴△ABE≌△CDE(AAS)．

(2)解：①60°；②9.

8.解：(1)证明：如图，连结OE，OF，OG.

∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，

∴四边形CEOF是正方形，

∴CE=CF=r.

又∵AG=AE=3－r，BG=BF=4－r，AG＋BG=5，

∴(3－r)＋(4－r)=5.解得r=1；

(2)如图，连结OA，在Rt△AOG中，

∵r=1，AG=3－r=2，

∴tan∠OAG==.