广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷（含答案）

广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测试（二）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若a为实数，且，则(   )

A.2 B.1 C. D.

2、已知集合，，则集合的元素个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

3、已知两个非零向量，满足，，则(   )

A. B. C. D.

4、已知，，，则(   )

A. B.

C. D.

5、木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

6、已知椭圆C：()，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

7、已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为(   )

A.() B.()

C.() D.()

8、已知偶函数与其导函数的定义域均为R，且也是偶函数，若，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是(   )

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

10、已知函数定义域是，值域为，则满足条件的整数对可以是(   )

A. B. C. D.

11、已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l与双曲线的右支交于点B、C，与双曲线的渐近线交于点A、D(A、B在第一象限，C、D在第四象限)，O为坐标原点，则下列结论正确的是(   )

A.若轴，则的周长为

B.若直线交双曲线的左支于点E，则

C.面积的最小值为

D.的取值范围为

12、已知正四面体的棱长为2，点M，N分别为和的重心，P为线段上一点，则下列结论正确的是(   )

A.若取得最小值，则

B.若，则平面

C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D.直线到平面的距离为

三、填空题

13、某班有48名学生，一次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.

14、已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.

15、在数列中，，，若，则正整数____________.

16、在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________

四、解答题

17、设是数列的前n项和，已知，.

(1)求，；

(2)令，求.

18、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x (单位：千万元)对每件产品成本y (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.

(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；

(2)已知该产品的年销售额m (单位：千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？

(注：年利润=年销售额一年投入成本)

参考公式：对于一组数据、、……、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.

19、记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.

(1)求A；

(2)若点D在边上，且，，求.

20、如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.

(1)求证：平面平面；

(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

21、已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

(1)求C的方程；

(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

22、已知函数，.

(1)当时，，求实数a的取值范围；

(2)已知，证明：.

参考答案

1、答案：C

解析：由题意得，，

故选：C.

2、答案：B

解析：因为，，则，

故集合的元素个数为2.

故选：B.

3、答案：D

解析：因为，所以，

所以，所以，

，

故选:D.

4、答案：D

解析：由，，，

则，，

又，，

则，即，

所以.

故选：D.

5、答案：A

解析：如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球O的球心，

且,所以,进而可得

取的中点为N，过的中点P作，连接,

所以,,故,

在直角三角形PMN中，故，

由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，

故选：A

6、答案：A

解析：设过点且方向向量为的光线，经直线的点为B，右焦点为C.

因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又，故，，则，故，离心率.

故选：A

7、答案：D

解析：因为恒成立，

所以，即，

所以或，,

所以或，,

当,时，

，,

则，与题意矛盾，

当,时，

,,

符合题意，

所以，

所以，

令，得，

所以的单调递增区间为().

故选：D

8、答案：B

解析：因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①

因为函数为偶函数，则，②

联立①②可得，

令，则，且不恒为零，

所以，函数在R上为增函数，即函数在R上为增函数，

故当时，，所以，函数在上为增函数，

由可得，

所以，，整理可得，解得.

故选：B.

9、答案：BC

解析：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，

则，，，，，，

对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；

对于B，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；

对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；

对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

，故D错误.

故选：BC.

10、答案：ACD

解析：显然是偶函数，其图像如下图所示：

要使值域为，且a，,

则，；，；，.

故选：ACD.

11、答案：BD

解析：双曲线的标准方程为，则，

易知点、，双曲线的渐近线方程为.

对于A选项，当轴，直线的方程为，

联立，可得，此时，，

则，

此时，的周长为，A错；

对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线上，

因为若直线交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，

即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，

所以，，即，B对；

对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，

因为直线l与双曲线的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，

设直线l的方程为，设点、，

联立可得，

则，解得，

由韦达定理可得，，可得，

联立可得，即点，

联立可得，，即点，

所以，，，

所以，，当且仅当时，等号成立，C错；

对于D选项，，

当时，，

当时，，

因为函数在上单调递减，

此时，

当时，因为函数在上单调递减，

此时，

综上所述，的取值范围是，D对.

故选：BD.

12、答案：BCD

解析：将正四面体放入正方体中，以点D为原点，以DE，DF，DG所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，

因为正四面体的长为2，

所以正方体的棱长为，

则，，，

因为点M，N分别为和重心，

所以点N的坐标为，点M的坐标为

所以

设，则，

所以，

所以，

，

对于A：因为，

，

所以，

当时，即，，取得最小值，故A错误；

对于B：若，则，

所以，

因为，，设平面的一个法向量为，

则，取，则，

因为，

所以平面，即平面，故B正确；

对于C：若平面，则，即，

，即，

设平面的一个法向量为，因为，，

则，取，则，

因为，

所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，

又因为点N为等边三角形的重心，

所以点N为等边三角形的外心，外接圆半径为，

设三棱锥外接球的半径为R，

则，即，解得，

所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确；

对于D：因为点N的坐标为，点M的坐标为，

所以，

设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，取，则，

因为，且直线平面，

所以直线平面，

所以点N到平面的距离就是直线到平面的距离，

则点N到平面的距离，

即直线到平面的距离为，故D正确，

故选：BCD.

13、答案：8

解析：由X(单位：分)服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，

由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.

故答案为：8

14、答案：3(答案不唯一)

解析：二项式的展开式的通项为

，

因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，

即，可得n的一个值为3.

故答案为：3(答案不唯一)

15、答案：10

解析：由，，令，则，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，

又为正整数，所以，即，解得或(舍去).

故答案为：10.

16、答案：①.;0.5②.

解析：设，，

当,时，则，即，

当,时，则，即，

当,时，则，即

当,时，则，即，

故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：

则.

如下图，设，，显然，，

，

求的最小值，即的最小值，的最大值，

又，下面求的最小值，

令，，即，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以时，y有最小值，且，

所以.

故答案为：；.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）由得即

，即，又，所以，，

（2）当时，，

当时，，

两式相加可得，得，

由于，所以

18、答案：(1)

(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值

解析：（1）令，则y关于u的线性回归方程为，

由题意可得，

，则，

所以，y关于x的回归方程为.

（2）解：由可得，

年利润

，

当时，年利润M取得最大值，此时，

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.

19、答案：(1)

(2)

解析：（1）解：因为，

由余弦定理可得，

化简可得，由余弦定理可得，

因为，所以，.

（2）解：因为，则B为锐角，所以，，

因为，所以，，

所以，，

设，则，

在和中，由正弦定理得，，

因为，上面两个等式相除可得，

得，即，

所以，.

20、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：（1）取中点M，连接、，如图所示：

，点D是中点，

，

又是的中点，

，

又在直三棱柱中，有，平面

，

平面，

平面，且面，平面平面，

，

平面，且平面，

，

又，且、平面，

平面，

又，

平面，

平面，

面平面.

（2）由(1)知平面，则，

设，则，，，

，

由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，

此时，

以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则有，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则有，取，解得，

设直线与平面所成的角为，

，

故直线与平面所成角的正弦值为.

21、答案：(1)

(2)或

解析：(1)设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得，

所以C的方程为

(2)由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，

联立，

所以，

设直线l的倾斜角为，则

所以，

所以，

由题意可知四边形为梯形，所以，

设，则，

所以，

当,,单调递增，当,,单调递减，

所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为：，即或

22、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：（1）解：令，则，

当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

所以，，即，

所以，当时，，即，

当时，取，

由于，而，得，

故，不合乎题意.

综上所述，.

（2）证明：当时，由(1)可得，则，

可得，即，即，

令，所以，，所以，，即，

所以，，，

令，则，且不恒为零，

所以，函数上单调递增，故，则，

所以，，，

所以，

.