高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系背景图课件ppt

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§4　向量在立体几何中的应用
4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
第2课时　两个平面所成的角、空间中的距离问题
(1)如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则有θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝_______________.(2)设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，又有|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|＝_______成立．
用空间向量求二面角的大小
sin〈n1，n2〉　
如图(2)(4)中〈n1，n2〉就是二面角α－l－β的平面角的补角；如图(1)(3)中〈n1，n2〉就是二面角α－l－β的平面角．
1．相互平行的直线与平面之间的距离当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离．此时，直线上的各点到平面所作的垂线段相等，即各点到平面的距离相等．
相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离
2．相互平行的平面与平面之间的距离(1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．(2)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．(3)两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长．
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．
[解析]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
[规律方法]　利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．
【对点训练】❶ 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值．
[解析]　过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求点B，D之间的距离．
[规律方法]　计算两点间距离的基本方法：(1)建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入两点间距离公式求解；(2)将以两点为端点的向量用基向量表示，再利用|a|2＝a·a求此向量的模|a|.
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．[解析]　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
[规律方法]　用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
【对点训练】❸ 已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．[解析]　以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[规律方法]　1.定义法，先过点作已知平面的垂面，再过点作两平面交线的垂线段，则该垂线段垂直于已知平面，求出垂线段的长即得点到平面的距离．2．等体积法，把点到平面的距离视为一个棱锥的高，利用体积相等求得点到平面的距离．
3．向量法，这是我们常用的方法，利用向量求点到平面的距离的一般步骤如下：
【对点训练】❹ 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．[分析]　根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距．
[解析]　(1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，
[规律方法]　求两个平行平面的距离，先在平面上找到一点，然后转化为点到平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．
【对点训练】❺ 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
错把法向量的长度当成点到平面的距离如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45°　　B．135°C．45°或135°　　D．90°
[解析]　建立坐标系如图，