新教材2023年高中数学第5章计数原理1计数原理课件北师大版选择性必修第一册

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第五章　计数原理§1　计数原理必备知识 · 探新知完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．知识点 1分类加法计数原理m1＋m2＋…＋mn　完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．知识点 2分步乘法计数原理m1m2…mn　分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题．它们的区别在于：知识点 3两个计数原理的区别关键能力 · 攻重难 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少？[分析]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得出结论．典例1[解析]　方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个．个位数字与十位数字不能调换位置的两位数为10，20，30，…，90，共9个．剩余的72个两位数中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位数字(a)的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.[规律方法]　应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事” 指的是什么事，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同类中的方法不能相同，即不重复，无遗漏.【对点训练】❶ (1)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有 (　　)A．20种　　 B．15种　　C．10种　　 D．4种(2)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有_____种．B　56　[解析]　(1)若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠选方法共有4＋4＋6＋1＝15(种)．(2)完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法. 由数字0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[分析]　(1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0.典例2[解析]　(1)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法．故可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝ 18(个)．(2)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步：排个位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法．故可组成有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．[规律方法]　利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：逐一求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．【对点训练】❷ (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 (　　)A．56　　 B．65　　C．30　　 D．11(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个101，111，121，…，191，202，…，999.则5位回文数有______个．A　900　[解析]　(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有9×10× 10＝900，故答案为900. 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？[分析]　要分清是“分类”还是“分步”．(1)是分类；(2)是分步；(3)是先分类后分步．典例3[解析]　(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．(3)①高一和高二各选 1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．[规律方法]　利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．【对点训练】❸ 将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有_____种．42　[解析]　分别用a，b，c代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为①②③④⑤.先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a.再种②号田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b.若③号田种植c，则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2×2＝4(种)．若③号田种植a，则④号田可种植上b或c.(1)若④号田种植c，则⑤号田有2种种植方法；(2)若④号田种植b，则⑤号田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(种)．分步标准不清致错 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有_____种．典例464　[错解]　分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)．[辨析]　用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人，3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．[正解]　由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 ＝64(种)．课堂检测 · 固双基1．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、外语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为 (　　)A．6　　 B．7　　C．8　　 D．9[解析]　分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法．根据分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3＝9(种)．D　2．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 (　　)A．9　　 B．14　　C．15　　 D．21[解析]　因为P⊆Q，所以分两类．当x＝2时，y∈{3，4，5，6，7，8，9}，所以点的个数为7；当x≠2时，x＝y∈{3，4，5，6，7，8，9}，所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个．B　3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 (　　)A．24种　　 B．4种　　C．43种　　 D．34种[解析]　第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理可得共有43种投法. C　4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 (　　)A．144个　　 B．120个　　C．96个　　 D．72个[解析]　根据题意，需分两类解决：第一类，万位填4时，此40 000大的偶数有2×4×3×2＝48(个)；第二类，万位填5时，比40 000大的偶数有3×4×3×2＝72(个)．根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．B　5．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有____种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有_____种．[解析]　根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9种；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20种．9　20