苏州市A卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年苏州市中考金榜预测卷A

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）一个数和它的倒数相等，则这个数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±1和0
【分析】根据倒数的定义可知乘积是1的两个数互为倒数．
【解答】解：一个数和它的倒数相等，则这个数是±1．
故选：C．
【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．a3•a2＝a6
C．（a2）4＝a8 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、（a2）4＝a8，正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
【分析】根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，
即：众数是23，中位数是24，
故选：C．
【点评】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
4．（3分）如图，已知 AB∥CD，∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点E，∠1＝100°，∠BAD＝m°，则∠AEC的度数为（　　）

A．m° B．（40+m2）° C．（40-m2）° D．（50+m2）°
【分析】根据平行线的性质得到∠BCD＝180°﹣∠1＝80°，根据角平分线的定义得到∠BCE＝40°，∠BAE=12∠BAD=12m°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠1＝80°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝40°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=12∠BAD=12m°，
∴∠3＝∠2＝100°-12m°，
∴∠AEC＝180°﹣（100°-12m°）﹣40°＝（40+m2）°，
故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABE，∠ECF＝3∠DCE，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）

A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【分析】由∠EBF＝2∠ABE，可得∠EBF＝2α．由∠EBF+∠BEC+∠F+∠ECF＝360°，可得∠ECF＝360°﹣（2α+β+γ），那么∠DCE=13∠ECF=13(360°-2α-β-γ)．由∠BEC＝∠M+∠DCE，可得∴∠M＝∠BEC﹣∠DCE＝β-13(360°-2α-β-γ)．根据AB∥CD，得∠ABE＝∠M，进而推断出4β﹣α+γ＝360°．
【解答】解：如图，分别延长BE、CD并交于点M．

∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠M．
∵∠EBF＝2∠ABE，∠ABE＝α，
∴∠EBF＝2α．
∵∠EBF+∠BEC+∠F+∠ECF＝360°，
∴∠ECF＝360°﹣（2α+β+γ）．
又∵∠ECF＝3∠DCE，
∴∠DCE=13∠ECF=13(360°-2α-β-γ)．
又∵∠BEC＝∠M+∠DCE，
∴∠M＝∠BEC﹣∠DCE＝β-13(360°-2α-β-γ)．
∴β-13(360°-2α-β-γ)=α．
∴4β﹣α+γ＝360°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质以及四边形的内角和，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质以及四边形的内角和是解决本题的关键．
6．（3分）若根式1-x在实数范围内有意义，则（　　）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式中的被开方数是非负数．
7．（3分）对于函数y＝﹣2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．它的图象与y轴的交点是（0，4）
C．它的图象经过点（2，8）
D．它的图象不经过第一象限
【分析】根据一次函数的性质以及函数图象上点的坐标特征即可判断．
【解答】解：A、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，故A结论错误，不符合题意．
B、当x＝0时，y＝4，则图象与y轴的交点是（0，4），故B结论正确，符合题意；
C、当x＝2时，y＝0，则图象经过点（2，0），故C结论错误，不符合题意．
D、函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故D结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点（BG＜GC），点H是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①FH：AF＝1：2；②BE：EF：FD＝3：5：4；③S1+S2+S3=13S：④S6＝S2+S5．正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】设AB＝CD＝m，DA＝BC＝n，则S＝mn，S△ABD＝S△CDB=12mn=12S，BG=13n，HD=12m，由△HDF∽△ABF，FHAF=FDFB=HDAB=12，可判断①正确；
由△GBE∽△ADE，得BEDE=GEAE=BGDA=13，则BE=14BD，而FD=13BD，所以EF=512BD，可求得BE：EF：FD＝3：5：4，可判断②正确；
由GE=14AG，AE=34AG，得S1=14S△ABG=124S，S4=34S△ABG=18S，由HF=13AH，AF=23AH，得S3=13×S△ADH=112S，S5=23×S△ADH=16S，则S2=524S，S6=38S，所以S1+S2+S3=13S，可判③正确；
因为S2+S5=524S+16S=38S，所以S6＝S2+S5，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，DA＝BC，AB∥CD，DA∥BC，
设AB＝CD＝m，DA＝BC＝n，则S＝mn，S△ABD＝S△CDB=12mn=12S，
∵点G是边BC的三等分点（BG＜GC），点H是边CD的中点，
∴BG=13n，HD=12m，
∴S△ABG=12m×13n=16mn=16S，S△ADH=12n×12m=14mn=14S，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∴FHAF=FDFB=HDAB=12mm=12，
故①正确；
∵BG∥DA，
∴△GBE∽△ADE，
∴BEDE=GEAE=BGDA=13nn=13，
∴BE=14BD，
∵FD=13BD，
∴EF＝BD-14BD-13BD=512BD，
∴BE：EF：FD=14BD：512BD=13BD＝3：5：4，
故②正确；
∵GE=14AG，AE=34AG，
∴S1=14S△ABG=14×16S=124S，S4=34S△ABG=34×16S=18S，
∵HF=13AH，AF=23AH，
∴S3=13×S△ADH=13×14S=112S，S5=23×S△ADH=23×14S=16S，
∴S2=12S-18S-16S=524S，S6=12S-124S-112S=38S，
∴S1+S2+S3=124S+524S+112S=13S，
故③正确；
∴S2+S5=524S+16S=38S，
∴S6＝S2+S5，
故④正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等高三角形面积的比等于底边的比等知识，根据相似三角形的性质求得FHAF=FDFB=HDAB=12，BEDE=GEAE=BGDA=13是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）用科学记数法表示25040000，应记作 　2.504×107　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将25040000用科学记数法表示为：2.504×107．
故答案为：2.504×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）分解因式a3﹣16a的结果是　a（a+4）（a﹣4）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4），
故答案为：a（a+4）（a﹣4）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）已知二元一次方程组x-2y=m+72x-y=m+8，则11x+11y＝　11　．
【分析】利用方程②减去①可得x+y的值，然后进行计算即可解答．
【解答】解：x-2y=m+7①2x-y=m+8②，
②﹣①得：x+y＝1，
∴11x+11y＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
12．（3分）抛物线y=12x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 　（2，﹣3）　．
【分析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标．
【解答】解：y=12x2﹣2x﹣1
=12（x2﹣4x+4）﹣2﹣1
=12（x﹣2）2﹣3．
则其顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了将一般式化为顶点式求顶点坐标，掌握配方法求顶点式是解题的关键．
13．（3分）若m是方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值为 　6　．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m﹣6＝0，然后利用代数数变形得到代数式m2﹣m的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣6＝0，
∴m2﹣m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则CF的度数为　70°　．

【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出CF的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝55°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
如图，连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠C＝∠CFO＝55°，
∴∠COF＝70°，
∴CF的度数是70°，
故答案为：70°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．P，Q同时出发，分别到B，C后停止移动，则△PQD的最小面积是 　754　cm2．

【分析】用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出S＝x2﹣5x+25（0＜x≤5），然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：根据题意设：AP＝x，BQ＝2x，
则BP＝5﹣x，CQ＝10﹣2x，
∴△PQD的面积S＝矩形ABCD的面积﹣△APD的面积﹣△PBQ的面积﹣△CDQ的面积
＝10×5-12×10x-12•2x（5﹣x）-12×5×（10﹣2x）
＝x2﹣5x+25，
∴S＝x2﹣5x+25（0＜x≤5）；
∵S＝x2﹣5x+25＝（x-52）2+754，1＞0，
∴当x=52时，S最小，最小面积为754cm2．
故答案为：754．
【点评】本题考查了矩形的性质、二次函数的最值，表示出三角形的面积，利用二次函数的性质解决问题是的关键．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G．若AG=23，DE＝2，则k的值为 　210+2015　．

【分析】如图，连接BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE＝DE＝2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得AGOE=EGDE，可求OE的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．
【解答】解：如图，连接BE，

∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，
∴OC＝AB，∠BAO＝∠BDE＝∠DEF＝90°，
∵BD＝OC，
∴BD＝AB，
又∵BE＝BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE（HL），
∴AE＝DE＝2，
∴EG=AE2+AG2=4+49=2103，
∵∠DEO+∠AEG＝90°，∠EDO+∠DEO＝90°，
∴∠AEG＝∠EDO，
又∵∠EOD＝∠EAG＝90°，
∴△DEO∽△EGA，
∴AGOE=EGDE，
∴23OE=21032，
∴OE=105，
∴OA=105+2，
∴点G（105+2，23），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点G，
∴k＝（105+2）×23=210+2015，
故答案为：210+2015．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：|1-2|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2．
【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
【解答】解：原式=2-1﹣2×22+1﹣4
=2-1-2+1﹣4
＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
18．（5分）解不等式组4x-3≥x-102x+53-1＜4-x并写出所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣3≥x﹣10，得：x≥-73，
解不等式2x+53-1＜4﹣x，得：x＜2，
则不等式组的解集为-73≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0、1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（x2x-1+x﹣1）÷11-x，其中x满足x2﹣x﹣5＝0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=-x2+(x-1)2x-1•（x﹣1）
＝﹣2x2+2x﹣1
＝﹣2（x2﹣x）﹣1，
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．

请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了　50　名学生？测试结果为C等级的学生数是　16　，并补全条形图；
（2）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两名恰好都是男生的概率．
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；
（2）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样调查抽查的人数为10÷20%＝50人，C等级人数为50﹣（10+20+4）＝16，
补全图形如下：

故答案为：50、16；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=212=16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且AE＝DF，连接并延长AF，分别交BE于点G，BC延长线于点H．
（1）请判断BE与AF的位置关系，并说明理由．
（2）连接EH，若EB＝EH，求证BG＝2GE．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△DAF，可得∠DAF＝∠ABE，由余角的性质可得结论；
（2）过点E作EM⊥BC于M，可证四边形ABME是矩形，可得AE＝BM，通过证明△AEG∽△HBG，可得结论．
【解答】解：（1）AF⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠ADFAE=DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠DAF＝∠ABE，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）如图，过点E作EM⊥BC于M，

∵EB＝EH，EM⊥BC，
∴BM＝MH=12BH，
∵EM⊥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE＝BM，
∴BH＝2AE，
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△HBG，
∴BHAE=BGGE=2，
∴BG＝2GE．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（8分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：3，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，2≈1.414，3≈1.732，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．

【分析】（1）根据坡度和坡角的定义求出∠BAM＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可求出答案；
（2）在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，然后在Rt△ADE中求出DE，进而得出CD的长即可．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：3，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：3=BMAM=tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB＝6（米），
答：点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）由（1）得：NE＝BM=12AB＝6（米），AM=3BM＝63（米），
∴ME＝AM+AE＝（63+24）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（63+24）米，
∴CE＝CN+NE＝（63+30）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE•tan53°≈24×43=32（米），
∴CD＝CE﹣DE＝63+30﹣32≈8.4（米），
答：广告牌CD的高约8.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（8分）如图，直线y=-43x+8分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．若在平面内存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标．

【分析】根据直线解析式令x＝0、y＝0分别求出OB、OA，再求出点C的坐标，然后分AC为平行四边形的边和AC为平行四边形的对角线两种情况进行求解即可．
【解答】解：∵直线y=-43x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AB＝10，AD＝BD＝5，
∵cos∠BAC=OAAB=ADAC，即610=5AC，
∴AC=253，
∴OC=73
∴点C的坐标为（-73，0），
∵A（6，0），B（0，8），线段AB的垂直平分线交AB于点D．
∴D（3，4），

①当AC为平行四边形的边时，AC∥DE，AC＝DE，
∵AC=253，D（3，4），
∴DE=253，
∴点E的坐标为（343，4）或（-163，4）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵A（6，0），C（-73，0），D（3，4），
∴6-73=xE+3，
解得xE=23，
∴点E的坐标为（23，﹣4）．
综上，点E的坐标为（343，4）或（-163，4）或（23，﹣4）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线，平行四边形的性质，熟记性质并求出AC的长度是解题的关键．
24．（8分）如图，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，点O是AE上一点，以O为圆心，OA长为半径的圆与DE相切于点C，与AE相交于点B．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AD＝6，CD＝23，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，得到OC∥AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明结论；
（2）根据正切的定义求出∠DAC，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵DE是圆O的切线，
∴OC⊥DE，
∵∠ADE＝90°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAE；
（2）解：在Rt△ADC中，tan∠DAC=CDAD=236=33，
则∠DAC＝30°，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝12，OE＝2OC，∠COE＝60°，
∴OC＝4，OE＝8，
由勾股定理得：CE=OE2-OC2=43，
∴S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形BOC=12×4×43-60π×42360=83-8π3．

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．（10分）某校举办“诗词大赛”，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，如何购买甲、乙两种奖品能使得总花费最少？
【分析】（1）根据题意，可以先设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，然后根据计划购买甲、乙两种奖品共30件，购买甲、乙两种奖品共花费800元，即可列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以得到费用和购买甲种奖品数量的函数关系式，然后根据购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可以得到购买甲种奖品数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何购买甲、乙两种奖品能使得总花费最少．
【解答】解：（1）设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，
由题意可得，x+y=3030x+20y=800，
解得x=20y=10，
答：购买甲种奖品20件，购买乙种奖品10件；
（2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品（30﹣a）件，所需费用为w元，
由题意可得，w＝30a+20（30﹣a）＝10a+600，
∵k＝10＞0，
∴w随a的增大而增大，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴30﹣a≤2a，
解得a≥10，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝700，30﹣a＝20，
答：购买甲种奖品10件、乙种奖品20件时能使得总花费最少．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式，找出等量关系，列出方程，利用一次函数的性质解答．
26．（10分）如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；
（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．

【分析】（1）连接OB，知∠OCB＝∠OBC，由直角三角形性质知BM＝CM＝DM，得∠MBC＝∠MCB，依据CD是⊙O的切线知∠OCB+∠DCB＝90°，据此可得∠OBC+∠MBC＝90°，可得结论；
（2）根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB解答；
（3）需要分类讨论：点F在劣弧AB上和点F在弧AC上两种情况，利用等边三角形AOB的性质和垂径定理解答．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵线段AC是直径，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°．
在Rt△DBC中，M为CD的中点，
∴BM＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB．
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠0BC．
∵CD为切线，
∴∠ACD＝90°．
∴∠MCB+∠OCB＝∠MBC+∠OBC＝90°，即OB⊥BM，
∵OB⊥BM，OB为半径，
∴BM与⊙O相切；

（2）解：∵∠A＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵AC＝4，
∴OA＝2，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB=60π×22360-34×22=2π3-3；

（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，

由（2）知∠AOB＝60°，
∴∠AOH＝30°，
∴∠FOP＝60°．
Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，
∴OP＝1．
Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
∴OH=3，
∴FG＝HP=3-1．
②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，

∴OF⊥AB．
Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
∴OH=3，
∴FH＝2-3．
综上所述，点F到直线AB的距离是3-1或2-3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的数学思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（52，0），直线y＝x+12与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当2PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移134个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中2PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．

【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（52，0）代入表达式求出b和c即可．
（2）过点P作PE∥x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE=2PG，则2PG+PQ＝PE+PQ，求2PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P（t，t2-32t-52），则Q（t，0），E（t2-32t﹣3，t2-32t-52），分别表达PQ和PE，最后利用二次函数的最值问题，即可解答．
（3）由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），当AP为菱形的边时，①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1（2，2），N2（2，﹣2）；②以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，-32），由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y=-32x-32．所以直线MN的解析式为：y=23x-32．最后利用中点坐标公式可知，N3（﹣4，-256）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（52，0）两点，
∴a-b+c=0254a+52b+c=0，解得b=-32c=-52．
∴抛物线的解析式为：y＝x2-32x-52．
（2）如图，过点P作PE∥x轴交CD于点E，

∴∠DEP＝45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE=2PG，
设点P（t，t2-32t-52），则Q（t，0），E（t2-32t﹣3，t2-32t-52），
∴PQ＝﹣t2+32t+52，PE＝t﹣（t2-32t﹣3）＝﹣t2+52t+3，
∴2PG+PQ＝PE+PQ
＝﹣t2+52t+3+（﹣t2+32t+52）
＝﹣2（t﹣1）2+152，
∵﹣2＜0，
∴当点P（1，﹣3）时，2PG+PQ的最大值为152．
（3）存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A（﹣1，0），B（52，0），
∵原抛物线的轴对称为直线x=34
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴交于点F；
由（2）知P（1，﹣3），
∴AP=22+32=13．
设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），
当AP为菱形的边时，
①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x＝4于点R，如图所示，

此时PM1＝PM2＝AP=13，PR＝3，
由勾股定理可得可得，M1R＝M2R＝2，
∴M1F＝1，M2F＝5，
∴M1（4，﹣1），M2（4，﹣5），
∵A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1（4，﹣1）向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1（2，2），
同理可得，N2（2，﹣2）；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AF＝5，且5＞13，
∴此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为（0，-32），如图所示，

设MN与直线x＝4的交点为M3，
∵点A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴直线AP的解析式为：y=-32x-32．
∴直线MN的解析式为：y=23x-32．
∴M3（4，76），
由中点坐标公式可知，N3（﹣4，-256）．
综上，点N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，-256）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．