无锡市B卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

这是一份无锡市B卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用），文件包含无锡市B卷-2023年中考数学金榜预测卷江苏地区专用解析版docx、无锡市B卷-2023年中考数学金榜预测卷江苏地区专用原卷版A3双栏docx、无锡市B卷-2023年中考数学金榜预测卷江苏地区专用原卷版A4docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
2022—2023学年无锡市中考金榜预测卷B

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数a的相反数为﹣2023，则a的值为（　　）
A．2023 B．﹣2023 C．-12023 D．12023
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：∵数a的相反数为﹣2023，
∴a＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．（3分）要使x-2有意义，则字母x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：由题意得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）若x2x2-2x=(？)x-2，则？为（　　）
A．x+2 B．x﹣2 C．x2 D．x
【分析】首先把等式左边的分式化简，然后和右边比较．
【解答】解：x2x2-2x=xx-2，
故可知？为x，
故选：D．
【点评】解题的关键是正确运用分式的基本性质．
4．（3分）如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm，等腰三角形的高为30cm，则此工件的侧面积是（　　）cm2．

A．150π B．300π C．5010π D．10010π
【分析】根据给出的三视图，此工件是一个圆锥，此工件的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积计算．
【解答】解：由题意知：展开侧面是一个扇形，
扇形所在圆的半径是：302+102=1010（cm），
扇形的弧长是：20π，
∴工件的侧面积是12RL=12×1010×20π＝10010π（cm2）．
故选：D．
【点评】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生计算圆锥的侧面展开图的面积．
5．（3分）某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表：
分数
50
85
90
95
人数
3
4
2
1
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（　　）
A．85和85 B．85.5和85 C．85和82.5 D．85.5和80
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85；
在这一组数据中85出现的次数最多，则众数是85；
故选：A．
【点评】本题考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（3分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）

A．108° B．118° C．144° D．120°
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°-360°5=108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
7．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
【分析】根据平行线的性质、对顶角的定义、三角形的外角和定理等，结合各项进行判断即可．
【解答】解：A、相等的角是对顶角，错误，不符合题意；
B、若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误，不符合题意；
C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误，不符合题意；
D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质，属于基础知识，难度较小．
8．（3分）如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，O为原点，点A（﹣3，0），反比例函数y=kx（k＜0）的图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝60°，则k的值为（　　）

A．﹣43 B．-3 C．﹣2 D．﹣23
【分析】根据平行四边形的性质、平行线分线段成比例以及直角三角形的边角关系可得，AF=12AE，DF=12BE，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出AF的长，进而确定点D的坐标，再代入求出k的值即可．
【解答】解：如图，过点B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F、G，则BE＝CG，BC＝EG，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA，OA∥BC，
∴∠BAE＝∠B＝60°，
在Rt△ADF中，设AF＝a，则DF=3a，
∵D是AB的中点，
∴BE＝2DF＝23a，AE＝2AF＝2a＝OG，
∴D（a+3，3a），C（2a，23a），
由于点D（a+3，3a），C（2a，23a）都在反比例函数y=kx的图象上，
∴（a+3）×3a＝2a×23a，
解得a＝1，
即AF＝1，DF=3，
∴D（﹣4，3），
∴k＝﹣43，
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数的图象上点的坐标特征是解决问题的前提．
9．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C．163 D．173
【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴AECE=ABCD=42=2，
∴S阴影=23S△ABC=23×12×4×4=163，

故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A，B重合），点I为△ABP的内心，连接PI并延长交⊙O于点M，IN⊥BP于N．下列结论：（1）∠APM＝45°；（2）AB=2IM；（3）∠BIM＝∠BAP；（4）IN+OBPM=22．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对于（1），连接OM，根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”得到判断；对于（2），连接AM、BM，根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB＝IM；根据勾股定理求得AB=2MB，从而得到判断；对于（3），利用反证法得到判断；对于（4），根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB=12（AP+BP），然后借助内切圆半径公式得到判断，从而得到答案．
【解答】解：（1）如图，连接OM．

∵点M是半圆的中点，
∴∠AOM＝90°．
又∠APM=12∠AOM，
∴∠APM＝45°；
故本选项正确；
（2）连接AM、BM．
∵点M是半圆的中点，
∴AM＝BM，
∴AB=2MB．
设∠ABI＝α，则∠MIB＝45°+∠PBI＝45°+α＝∠MBI，
∴MB＝IM．
∴AB=2IM；
故本选项正确；
（3）设∠PBA＝β．
∵点I为△ABP的内心，
∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线，
∴∠PIB＝∠PIN+（90°-12β）＝135°-12β．
若∠BIM＝∠BAP，则有∠BIM+∠PIB＝∠BAP+∠PIB＝90°﹣β+135°-12β＝180°，
∴β＝30°．
∵P点是圆上一动点，
∴不能保证∠PBA＝30°；
∴∠BIM与∠BAP不一定相等．
故本选项错误；
（4）根据直角三角形内切圆半径公式知，IN=AP+BP-AB2，则IN+OB=12（AP+BP），
求和得，AP+BP=2PM，
∴IN+OBPM=22；
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的性质的综合运用，熟练掌握圆的有关性质是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）甲、乙两同学玩“写数游戏”：要求每人写一个无理数，并使它们的和为有理数．若甲同学写的数为3，那么乙同学可写　-3（答案不唯一）　．（写出一个即可）
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，所以乙同学可写-3．
【解答】解：∵3+(-3)=0，
所以乙同学可写-3．
故答案为：-3（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义以及算术平方根，其中初中范围内学习的无理数有：π；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 　3×10﹣5　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故答案为：3×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝　3m（n﹣2）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3m（n2﹣4n+4）＝3m（n﹣2）2，
故答案为：3m（n﹣2）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）有下列命题：①可以在数轴上表示无理数3；②若a2＞b2，则a＞b；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 　①③　（填序号）．
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应可对①进行判断；根据不等式的性质对②进行判断；根据无理数的定义对③进行判断．
【解答】解：①可以在数轴上表示无理数3，所以①为真命题；
②若a2＞b2，则|a|＞|b|＞0，所以②为假命题；
③无理数的相反数还是无理数，所以③为真命题．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15．（3分）对于一次函数y＝x+2，当﹣3＜x≤3时，则函数值y的取值范围是 　﹣1＜y≤5　．
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝﹣3及x＝3时的y值，进而可得出：当﹣3＜x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1＜y≤5．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大．
当x＝﹣3时，y＝x+2＝﹣3+2＝﹣1；
当x＝3时，y＝x+2＝3+2＝5．
∴当﹣3＜x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1＜y≤5．
故答案为：﹣1＜y≤5．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出当x＝﹣3及x＝3时的y值是解题的关键．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　434　．

【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得DN＝12，AD＝BC＝20，由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20，
∴AN=AD2+DN2=202+122=434，
故答案为：434．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
17．（3分）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　2：1　．

【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1=2v2，可得结论．
【解答】解：由题意，t1=v14.9，t2=v24.9，h1=-v12-4×4.9=v124×4.9，h2=-v22-4×4.9=v224×4.9，
∵h1＝2h2，
∴v1=2v2，
∴t1：t2＝v1：v2=2：1，
故答案为：2：1．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1=2v2即可．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AC交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，若tan∠BAF=14，S△BEF＝3，则△ABC的面积为 　48　．

【分析】先得出∠BAC＝∠DFC，再根据∠ABF＝∠ABC＝90°，得出△BEF∽△BCA，推出BFAB=BEBC=tan∠BAF=14，最后根据S△BEF＝3，得出结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠C+∠DFC＝90°，
∴∠BAC＝∠DFC，
∵∠ABF＝∠ABC＝90°，
∴△BEF∽△BCA，
∴BFAB=BEBC=tan∠BAF=14，
∴S△BEFS△ABC=116，
∵S△BEF＝3，
∴△ABC的面积＝16×3＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（1）计算：4+(12)0+(-2)3；
（2）化简：2（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】（1）原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣8＝﹣5；
（2）原式＝2x2+4xy+2y2﹣x2+4y2＝x2+4xy+6y2．
【点评】此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）解方程和不等式组
（1）解方程：2x2+5x﹣3＝0
（2）解不等式组：x-32+3≥x+11-3(x-1)＜8-x．
【分析】（1）先把方程左边分解得到（2x﹣1）（x+3），原方程可转化为2x﹣1＝0或x+3＝0，然后解一次方程即可；
（2）分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣2，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）（x+3），
∴2x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1=12，x2＝﹣3；
（2）x-32+3≥x+1①1-3(x-1)＜8-x②，
解①得x≤1，
解②得，x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了解一元一次不等式组．
21．（10分）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形 　AMNI　．
（3）应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是 　2　．

【分析】（1）根据正方形的性质和三角形全等的判定定理，即可得结论；
（2）由于BM∥AI，得到四边形AMNI的面积是△ABI的面积的2倍，同理正方形ABDE的面积为△AEC的面积的2倍，结合△ABI≌△AEC，即得结论；
（3）应用（2）的结论即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴∠BAE＝∠CAI＝90°，AE＝AB，AC＝AI，
∴∠EAC＝∠BAI，
在△ABI和△AEC中，
AB=AE∠EAC=∠BAI，AC=AI
∴△ABI≌△AEC（SAS）；
（2）∵BM⊥AC，
∴BM∥AI，
∴四边形AMNI的面积＝△ABI的面积的2倍，
同理，正方形ABDE的面积＝△AEC的面积的2倍，
又∵△ABI≌△AEC，
∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
（3）∵正方形ACHI中，NM＝4，NH＝3，
∴IN＝HI﹣NI＝4﹣3＝1，
∴四边形AMHI的面积是AI×IN＝4，
根据（2）的结论，正方形ABDE的面积等于四边形AMNI的面积，
∴AB2＝4，
∴AB＝2．
故答案为：（2）AMNI，（3）2；
【点评】本题主要考查三角形全等，已知的两对边对应相等，关键是找到夹角相等．
22．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出小球都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸一个后放回），直接写出甲同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得到关于x的分式方程，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）共有64种可能，不低于10分的有50种，甲同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为2532．
【解答】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：22+1+x=12，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解；
∴口袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：212=16；
（3）共有64种可能，不低于10分的有50种，
甲同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为2532．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某校七～九年级共有400名学生，学校团委准备调查他们对垃圾分类的了解程度．
（1）下面有三种选取调查对象的方式：
①调查七～九年级部分女生
②调查七年级某个班的学生
③随机调查七～九年级每个班一定数量的学生
你认为最合理的一种方式是　③　（直接填写序号）；
（2）学校团委采用了最合理的调查方式，并用收集到的数据绘制出两幅统计图．（如图①、图②所示），请你根据图中信息，将两个统计图补充完整；
（3）根据此次调查结果，估计该校七～九年级约有　240　名学生对垃圾分类比较了解；
（4）根据此次调查结果，请你为学校团委开展垃圾分类主题教育活动提出合理化建议．
【分析】（1）根据选择“样本”的代表性，普遍性、可操作性做出选择；
（2）求出调查人数，“了解一点”的人数，以及各个部分所占的百分比，即可补全统计图；
（3）样本中“比较了解”占60%，因此估计总体400人的60%是“了解一点”的人数，
（4）根据“了解一点”的占比较大，可以加强宣传、培训增强对垃圾分类的了解程度．
【解答】解：（1）根据选择“样本”的广泛性、代表性和可操作性可得，最合理的调查方式是③，
故答案为：③；
（2）5÷10%＝50（人），50﹣5﹣30＝15（人），15÷50＝30%，30÷50＝60%，补全统计图如图所示；

（3）400×60%＝240（人），
故答案为：240；
（4）“了解一点”所占的比为60%，应该加强宣传和培训，增强对垃圾分类的了解程度．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理清两个统计图中各个数量之间的关系是正确解答的关键．
24．（10分）如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，在直线MN上取点P使得∠APM＝∠BPN；

（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得∠AQM＝∠AQB．



【分析】（1）作点B关于直线MN的对称点B′，连接AB′交直线MN于点P，连接PB，点P即为所求；
（2）以A为圆心，AB为半径转化，交MN于点C，作∠CAB的角平分线交MN于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；

（2）如图点Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D，交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若BF＝3，⊙O的半径等于4.5，求DF的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，进而证明OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）先根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到DF＝CH，∠CHF＝90°，则利用垂径定理得到AH＝FH，所以OH为△ABF的中位线，则OH=12BF＝1.5，然后计算出CH即可．
【解答】（1）证明：连接OC交AF于H，如图，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CE，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DBC；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠HCD＝∠CDF＝∠DFH＝90°，
∴四边形CDFH为矩形，
∴DF＝CH，∠CHF＝90°，
∴OC⊥AF，
∴AH＝FH，
∵OA＝OB，
∴OH为△ABF的中位线，
∴OH=12BF＝1.5，
∵OC＝4.5，
∴CH＝OC﹣OH＝4.5﹣1.5＝3，
∴DF＝3．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
26．（8分）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总费用和购进“冰墩墩”小挂件个数的函数关系式，然后根据“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，可以得到购进“冰墩墩”小挂件个数的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为a元、b元，
由题意可得：2a+b=264a+3b=62，
解得a=8b=10，
答：“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为8元，10元；
（2）设购进“冰墩墩”小挂件x个，则购进“雪容融”小挂件（100﹣x）个，所需总费用为w元，
由题意可得：w＝8x+10（100﹣x）＝﹣2x+1000，
∴w随x的增大而减小，
∵“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，
∴100﹣x≥13x，
解得x≤75，
∴当x＝75时，w取得最小值，此时w＝850，100﹣x＝25，
答：最省钱的购买方案是设购进“冰墩墩”小挂件75个，购进“雪容融”小挂件25个，最少费用为850元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
27．（12分）如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，BC＝2+2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝1，DE=2．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE、BD、CD．
（1）如图②，求证：CE＝BD；
（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；
（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，α＝　135　°．（直接写出答案即可）


【分析】（1）由“SAS”证得△ACE≌△ABD，即可得到结论；
（2）由“SAS”证得△ACE≌△ABD，得∠ACE＝∠ABD，再证CD＝BC，然后由等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）解：在旋转的过程中CE所在的直线能垂直平分BD，α＝90°，如图3，证明如下：

在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BAD=90°AE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴CD＝AD+AC＝2+2，
∵BC＝2+2，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴直线CE是线段BD的垂直平分线；
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4所示：

∵AB＝AC=2+1，∠CAB＝90°，DG⊥BC于G，
∴∠GAB＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
即当△BCD的面积最大时，旋转角α＝135°，
故答案为：135．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（12分）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2amx+am2+3m+2（a＜0）的顶点为A，抛物线C2的顶点B在直线y＝﹣1上，且C1、C2关于点P（﹣1，2）中心对称．
（1）求点A与点B的坐标．
（2）抛物线C2与x轴交于点M、N（点M在点N的右侧）．
（ⅰ）当a＝﹣1时，求△AMN的面积；
（ⅱ）当△ABM是直角三角形时，求a的值．

【分析】（1）由A（m，3m+2），B（t，﹣1）关于点P（﹣1，2）中心对称，可求m，t的值，即可求A、B的坐标；
（2）（ⅰ）由于抛物线C1经过（0，4），求出（0，4）关于点P（﹣1，2）的对称点（﹣2，0），即可求抛物线C2的解析式为y＝x2+6x+8，进而求出N（﹣4，0），M（﹣2，0），再求S△AMN=12×2×5＝5即可；
（ⅱ）由（ⅰ）求出N（--1a-3，0），M（-1a-3，0），再分四种情况讨论，①当∠MBA＝90°时，过点B作EF⊥y轴，过点A、M分别作AF、ME垂直于x轴交EF于点F、E，由△ABF∽△BME，求出M（-92，0），再由-1a-3=-92，可知此时a无解；②当∠BAM＝90°时，过点A作PQ⊥y轴，过点B、M作BP、MQ垂直x轴，交PQ于点P、Q，由△PAB∽△QMA，求出M（172，0），即可求a=-4623；③当∠AMB＝90°，M点在x轴负半轴时，过点M作HG⊥x轴，过点A、B作AH、BG垂直于HG，交于点H、G，由△HMA∽△GBM，求出M（﹣4，0），再由-1a-3＝﹣4，可知此时a无解；④当∠AMB＝90°，M点在x轴正半轴时，过点M作KL⊥x轴，过点A、B作AK、BL垂直KL交于K、L点，由△AKM∽△MLB，可求M（2，0），再由-1a-3＝2，即可求a=-125．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2amx+am2+3m+2＝a（x﹣m）2+3m+2，
∴A（m，3m+2），
∵B在直线y＝﹣1上，
设B（t，﹣1），
C1、C2关于点P（﹣1，2）中心对称，
∴A（m，3m+2），B（t，﹣1）关于点P（﹣1，2）中心对称，
∴m+t＝﹣2，3m+1＝4，
∴m＝1，t＝﹣3，
∴A（1，5），B（﹣3，﹣1）；
（2）（ⅰ）当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣m）2+3m+2，
∵m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴抛物线C1经过（0，4），
∴（0，4）关于点P（﹣1，2）中心对称的点为（﹣2，0），
设抛物线C2的解析式为y＝k（x+3）2﹣1，
将点（﹣2，0）代入y＝k（x+3）2﹣1，
∴k＝1，
∴抛物线C2的解析式为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8，
令y＝0，则x2+6x+8＝0，
∴x＝﹣2或x＝﹣4，
∵点M在点N的右侧，
∴N（﹣4，0），M（﹣2，0），
∴MN＝2，
∴S△AMN=12×2×5＝5；
（ⅱ）∵y＝a（x﹣m）2+3m+2，
∵m＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+5，
当x＝0时，y＝a+5，
∴抛物线C1经过（0，a+5），
∴（0，a+5）关于点P（﹣1，2）中心对称的点为（﹣2，﹣1﹣a），
设抛物线C2的解析式为y＝k（x+3）2﹣1，
将点（﹣2，﹣1﹣a）代入y＝k（x+3）2﹣1，
∴k＝﹣a，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣a（x+3）2﹣1，
令y＝0，则﹣a（x+3）2﹣1＝0，
∴x=-1a-3或x=--1a-3，
∵点M在点N的右侧，
∴N（--1a-3，0），M（-1a-3，0），
①如图1，当∠MBA＝90°时，
过点B作EF⊥y轴，过点A、M分别作AF、ME垂直于x轴交EF于点F、E，

∵∠ABF+∠MBE＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠MBE，
∴△ABF∽△BME，
∴AFEB=BFME，
∵AF＝6，BF＝4，ME＝1，
∴BE=32，
∴M（-92，0），
∴-1a-3=-92，
此时a无解；
②如图2，当∠BAM＝90°时，
过点A作PQ⊥y轴，过点B、M作BP、MQ垂直x轴，交PQ于点P、Q，

∵∠PAB+∠QAM＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠PBA＝∠QAM，
∴△PAB∽△QMA，
∴PAMQ=PBAQ，
∵PA＝4，BP＝6，MQ＝5，
∴AQ=152，
∴M（172，0），
∴-1a-3=172，
∴a=-4623；
③如图3，当∠AMB＝90°，M点在x轴负半轴时，
过点M作HG⊥x轴，过点A、B作AH、BG垂直于HG，交于点H、G，

∵∠AMH+∠HAM＝90°，∠AMH+∠GMB＝90°，
∴∠HAM＝∠GMB，
∴△HMA∽△GBM，
∴AHMG=HMGB，
∵MG＝1，HM＝5，AH＝GB+4，
∴GB＝1，
∴M（﹣4，0），
∴-1a-3＝﹣4，
此时a无解；
④如图4，当∠AMB＝90°，M点在x轴正半轴时，
过点M作KL⊥x轴，过点A、B作AK、BL垂直KL交于K、L点，

∵∠AMK+∠MAK＝90°，∠AMK+∠BML＝90°，
∴∠MAK＝∠BML，
∴△AKM∽△MLB，
∴AKLM=KMBL，
∵BL＝AK+4，MK＝5，ML＝1，
∴AK＝1，
∴M（2，0），
∴-1a-3＝2，
∴a=-125；
综上所述：a的值为-125或-4623．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．