无锡市C卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年无锡市中考金榜预测卷C

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列互为倒数的是（　　）
A．3和13 B．﹣2和2 C．3和-13 D．﹣2和12
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【解答】解：A．因为3×13=1，所以3和13是互为倒数，因此选项A符合题意；
B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；
C．因为3×（-13）＝﹣1，所以3和-13不是互为倒数，因此选项C不符合题意；
D．因为﹣2×12=-1，所以﹣2和12不是互为倒数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”是正确判断的关键．
2．（3分）函数y=12-x中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2﹣x＞0．
解得x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数值变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
3．（3分）某校四个绿化小组某天的植树棵数如下：10，10，x，8．若这组数据的众数与平均数相等，那么x的值是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】根据题意先确定出这组数据的众数，再根据这组数据的众数与平均数相等，列出算式，求出x的值即可．
【解答】解：当x＝8时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．
当众数为10，根据题意得10+10+x+84=10，
解得x＝12，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平均数、众数的意义，熟练掌握平均数、众数的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
4．（3分）分式方程x-2x-1+2x=1的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x﹣2）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），
去括号得：x2﹣2x+2x﹣2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x（x﹣1）＝2×1＝2≠0，
则分式方程的解为x＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5．（3分）已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm，另一条直角边BC＝5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．209πcm2
【分析】根据圆锥的表面积＝侧面积+底面积计算．
【解答】解：圆锥的表面积=12×10π×13+π×52＝90πcm2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的表面面积的计算．首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键．
6．（3分）下列图形只有两条对称轴的是（　　）
A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆
【分析】根据对称轴图形的定义，平行四边形的性质，矩形的性质，圆的性质，等边三角形的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．等边三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
C．矩形有两条对称轴，故本选项符合题意；
D．圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，圆的性质，等边三角形的性质等知识点，能熟记轴对称图形的定义是解此题的关键．
7．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接OB、OA，交⊙O于点C，点D为优弧BC上一点，连接DC、DB，若∠A＝20°，则∠D的大小为（　　）

A．20° B．35° C．25° D．15°
【分析】先根据切线的性质得到∠OBA＝90°，再利用互余计算出∠AOB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠D=12∠AOB＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径，同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．
8．（3分）下列四个命题中不正确的是（　　）
A．对角互补的平行四边形是矩形
B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断．
【解答】解：A、对角互补的平行四边形是矩形，说法正确；
B、邻边相等的平行四边形是菱形，本说法错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）直线y＝kx+1与双曲线y=4x有两个交点均在直线y＝x的同侧，则k的取值范围为（　　）
A．12＜k＜32 B．-116＜k＜0或12＜k＜32
C．k＜-116或k＞32 D．-116＜k＜0或0＜k＜12
【分析】求得直线y＝x与双曲线y=4x的交点坐标，然后把交点坐标代入y＝kx+1，求得k的值，根据直线y＝kx+1与双曲线y=4x有两个交点均在直线y＝x的同侧，即可求得k的取值范围．
【解答】解：因为双曲线y=4x与直线y＝x的交点为A（2，2），B（﹣2，﹣2）．
当函数y＝kx+1的图象过点A（2，2）时，k=12；
当函数y＝kx+1的图象过点B（﹣2，﹣2）时，k=32．
当k＞0时，
又因为直线y＝kx+1与双曲线y=4x有两个交点均在直线y＝x的同侧，
所以实数k的取值范围是：12＜k＜32，
令kx+1=4x得到方程kx2+x﹣4＝0，
当k＜0时，△＝1+16k＞0
解得：-116＜k＜0，
综上，实数k的取值范围是12＜k＜32或-116＜k＜0，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根的判别式，解不等式等，求得交点坐标是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BE＝BF＝11，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（　　）

A．32 B．5 C．4 D．3
【分析】延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，先由ASA证得△ECG≌△ECH，得CG＝CH，再由ASA证得△PCG≌△FCH，可得CP＝CF＝3，然后根据等腰三角形的性质证明BG＝BP即可．
【解答】解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵BF＝BE＝11，
∴CF＝BF﹣BC＝3，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC＝∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG＝∠ECH＝90°，
在△ECG和△ECH中，
∠GEC=∠HECEC=EC∠ECG=∠ECH，
∴△ECG≌△ECH（ASA），
∴CG＝CH，
∵GP∥EF，
∴∠PGC＝∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
∠GCP=∠HCFCG=CH∠PGC=∠FHC，
∴△PCG≌△FCH（ASA），
∴CP＝CF＝3，
∴PF＝6，
∴BP＝BF﹣PF＝11﹣6＝5，
∵BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵GP∥EF，
∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，
∴∠BGP＝∠BPG，
∴BG＝BP＝5，
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：ax3y-14axy＝　axy（x+12）（x-12）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝axy（x2-14）＝axy（x+12）（x-12），
故答案为：axy（x+12）（x-12）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为3500000平方千米，将3500000用科学记数法表示应为 　3.5×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3500000＝3.5×106．
故答案是：3.5×106．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
13．（3分）关于x、y的二元一次方程组6x-5y=3①3x+y=-15②，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是 　7y＝﹣33　．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【解答】解：解二元一次方程组6x-5y=3①3x+y=-15②时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是：7y＝﹣33，
故答案为：7y＝﹣33．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
14．（3分）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝3x+b上，则m　＜　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】由3＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜2，可得出m＜n．
【解答】解：∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝3x+b上，且﹣1＜2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
15．（3分）能够说明“设a，b是任意非零实数，若a＞b，则1a＜1b”是假命题的一组整数的a，b值依次为　2，﹣1　．
【分析】根据题意举出一组a，b的值能够说明1a＜1b”是假命题即可．
【解答】解：当a＝2，b＝﹣1时，可得出若a＞b，则1a＜1b是假命题，
故答案为：2，﹣1．
【点评】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折，原图象保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝n与此图象有且只有四个公共点时，则n的取值范围为 　0＜n＜4　．
【分析】根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），得出新抛物线的解析式，结合图象求出n的取值范围．
【解答】解：当y＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点（1，﹣4），
根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），
∴翻折后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
如图所示：

由图象可知：当直线y＝n与此图象有且只有四个公共点时，
n的取值范围为：0＜n＜4．
故答案为：0＜n＜4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和几何变换问题，明确抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，即翻折前后的点关于x轴对称，先求特殊点，即顶点坐标，从而求出翻折后的抛物线的解析式，利用数形结合的思想确定其结果．
17．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AC＝8，D在线段AB上，AD＝2，以D为圆心，AD为半径画圆，点E为⊙D上的一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连接AF、BF．则△ABF面积的最大值为　8+43　．

【分析】如图，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCD'，以点D'为圆心，BD'长为半径作圆，可得AD＝BD'＝2，∠CAD＝∠CBD'＝60°，由旋转的性质可得点F在⊙D'上，过点D'作D'M⊥AB，交AB的延长线于M，交⊙D'于F'，连接AF'，BF'，此时△ABF'的面积最大，由直角三角形的性质可求BM＝1，D'M=3，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：如图，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCD'，以点D'为圆心，BD'长为半径作圆，

∴△ACD≌△BCD'，
∴AD＝BD'＝2，∠CAD＝∠CBD'＝60°，
∵点E为⊙D上的一动点，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，
∴点F在⊙D'上，
过点D'作D'M⊥AB，交AB的延长线于M，交⊙D'于F'，连接AF'，BF'，此时△ABF'的面积最大，
∵∠D'BM＝180°﹣∠ABC﹣∠CBD'＝60°，
∴∠BD'M＝30°，
∴BM=12BD'＝1，D'M=3BM=3，
∴F'M＝2+3，
∴△ABF'的最大面积=12×AB×F'M=12×8×（2+3）＝8+43，
故答案为：8+43．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质等知识，确定点F的运动轨迹是本题的关键．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝　5：19　．

【分析】连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，设DP＝x，在Rt△DPE中，根据勾股定理求出DP，求出AP、AE，根据△ADE∽△ECN求出EN和CN，求出AM、MN，根据△APM和△MQN相似即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=AD2+DE2=122+52=13，
∵PQ垂直平分AE，
∴AP＝PE，AQ＝EQ，EM＝AM=12AE=132，
设PD＝x，在Rt△PDE中，则AP＝PE＝12﹣x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PE2＝PD2+DE2，
∴（12﹣x）2＝x2+52，
解得：x=11924，
即PD=11924，
∴AP＝12-11924=16924，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△NCE，
∴ADCN=DECE=AEEN，
∴12CN=57=13EN，
∴CN=845，EN=915，
∴NM＝EN+EM=915+132=24710，
∵AD∥BC，
∴△APM∽△NQM，
∴PMMQ=AMNM，
∴PMMQ=13224710=519，即PM：MQ＝5：19，
故答案为5：19．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形性质，相似三角形的性质，垂直平分线性质，勾股定理等问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（10分）计算：
（1）|1-2|-2sin45°+(3.14-π)0-(12)-2；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．
【分析】（1）利用绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义进行计算，即可得出结果；
（2）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）|1-2|-2sin45°+(3.14-π)0-(12)-2
=2-1﹣2×22+1﹣4
=2-1-2+1﹣4
＝﹣4；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）
＝a2﹣b2﹣a2+ab
＝ab﹣b2．
【点评】本题考查了实数的运算，平方差公式，单项式乘多项式，掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，平方差公式，单项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣2＝0；
（2）解不等式组：3x-1≥x12(x+1)＜2．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先解不等式组的每一个不等式，然后取其交集，即为本不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
配方，得x2﹣4x+4＝6．
即（x﹣2）2＝6．
解得x1＝2+6，x2＝2-6．

（2）由3x﹣1＞x，得x≥12．
由12（x+1）＜2，得x＜3．
∴不等式组的解集是：12≤x＜3．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式组的解法．若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．

【分析】（1）先由平行线的性质得到∠DAM＝∠AMB，由角平分线的定义得到∠BAM＝∠DAM，进而得到∠AMB＝∠BAM，再根据三角形内角和定理即可求出AMB的度数；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，由角平分线定义得出∠BAE＝∠DCF，证得△ABE≌△CDF，即可证得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠AMB＝∠BAM，
∵∠ABC＝70°，∠AMB+∠BAM+∠ABC＝180°，
∴∠AMB=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣70°）＝55°；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
22．（8分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．
（1）直接写出袋中黄球的个数；
（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概型的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴11+2+x=0.25，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；

（2）画树状图得：

一共有12种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有10种，
则“取出至少一个红球”概率是1012=56．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
23．（8分）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛（活动分别用A，B，C，D表示），要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
活动项目
频数（人）
频率
A红歌演唱
10
0.2
B诗歌朗诵


C爱国征文


D党史知识竞赛

0.1
根据信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中，参加红歌演唱活动圆心角为 　72°　；
（2）参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 　40　%；
（3）样本中参加党史知识竞赛活动的学生为 　5　人；
（4）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生大约有 　240　人．

【分析】（1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的频率，乘360°可求扇形统计图中，参加红歌演唱活动的圆心角；
（2）由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
（3）由参加红歌演唱活动的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，根据参加党史知识竞赛活动的学生人数的频率即可求解；
（4）求出样本中参加爱国征文活动的学生人数，根据样本容量求出样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数，可得样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数所占比例，即可求解．
【解答】解：（1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的频率为0.2，
则扇形统计图中，参加红歌演唱活动圆心角为360°×0.2＝72°．
故答案为：72°；
（2）由扇形图可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为40%，
故答案为：40；
（3）被调查的学生总数为10÷0.2＝50（人），
50×0.1＝5（人）．
故答案为：5；
（4）样本中参加爱国征文活动的学生人数：50×40%＝20（人），
样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人），
800×1550=240（人）．
答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．
故答案为：240．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
24．（10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线．
（1）用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹：
①作∠CBE＝∠ADC，BE交CA的延长线于点E；
②作AF⊥BE，垂足为F．
（2）若BE＝6，AB＝5，则△ABE的面积是 　12　．

【分析】（1）①根据作一个角等于已知角的方法即可作∠CBE＝∠ADC，BE交CA的延长线于点E；
②作AF⊥BE，垂足为F即可；
（2）根据∠CBE＝∠ADC，可得AD∥BE，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得AE＝AB，根据“三线合一”可得BF＝EF＝3，再根据勾股定理可得AF的长，进而可得△ABE的面积．
【解答】解：（1）如图，点E，F即为所求；

（2）∵∠CBE＝∠ADC，
∴AD∥BE，
∴∠E＝∠CAD，∠EBA＝∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线．
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠E＝∠EBA，
∴AE＝AB，
由（1）知：AF⊥BE，
∴BF＝EF＝3，
∵AB＝5，
∴AF=AB2-BF2=52-32=4，
∴△ABE的面积=12×BE•AF=12×6×4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形的面积，熟悉基本作图方法是解题的关键．
25．（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．

【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；
（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得ECDE=ABAD=62=3，
得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF=3x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（3x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．
【解答】（1）证明：如图1，

∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，

∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴ECDE=ABAD=62=3，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF=3x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（3x）2+（5x）2＝42，
解得：x=277或-277（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x=1277．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．
26．（10分）鱼卷是非常著名的小吃之一．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2020年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2022年底“熟客”们采购了7200箱．
（1）求小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；
（2）2022年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的45，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下4至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，则可得方程5000（1+a）2＝7200，再解方程即可；
（2）先求解今年的总的销量为9000箱，设今年总利润为w元，价格下调x元，则可建立二次函数为w＝（15﹣x）（9000+1000x），再利用二次函数的性质求解最大值即可．
【解答】解：（1）设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，
则5000（1+a）2＝7200，
整理得：（1+a）2=3625，
解得：x1＝20%．x2=-115（负根不合题意舍去），
答：小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；
（2）∵2020年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的45，
∴2020年小张年总销量为：7200÷45=9000 （箱），
设今年总利润为w元，价格下调x元，
则w＝（15﹣x）（9000+1000x）＝﹣1000x2+6000x+135000＝﹣1000（x﹣3）2+144000，
∵a＝﹣1000＜0，4≤x≤5，
∴当x＝4时，w有最大值，最大值为143000，
所以小张在今年年底能获得的最大利润是143000元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，确定相等关系建立二次函数解析式是解题关键．
27．（10分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1
（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；
（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值．

【分析】（1）易证四边形EBFH是正方形，则∠BEM＝90°，EB＝EH，求出AE＝6，EB＝2，证明四边形EBCM是矩形，即可得出结果；
（2）连接DE，在Rt△EDA中，AD＝AE＝6，得出DE＝62，由折叠的性质得∠EHF＝∠B＝90°，EH＝BE＝2，BF＝FH，则∠DHE＝90°，由勾股定理得出DH=DE2-EH2=217，设BF＝FH＝x，则DF＝x+217，FC＝6﹣x，由勾股定理得出方程得出x=17-3，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，
当∠BEF＝45°时，△BEF是等腰直角三角形，
∴四边形EBFH是正方形，
∴∠BEM＝90°，EB＝EH，
∵AB＝8，AE：EB＝3：1，
∴AE＝6，EB＝2，
∴EH＝2，
∵∠C＝∠EBC＝∠BEM＝90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴EM＝BC＝6，
∴HM＝EM﹣EH＝6﹣2＝4；
（2）连接DE，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由（1）得：AE＝6，BE＝2，
∴在Rt△EDA中，AD＝AE＝6，
∴DE=2AD＝62，
由折叠的性质得：∠EHF＝∠B＝90°，EH＝BE＝2，BF＝FH，
∴∠DHE＝90°，
在Rt△EDH中，DH=DE2-EH2=(62)2-22=217，
设BF＝FH＝x，
则DF＝x+217，FC＝6﹣x，
在Rt△DFC中，∵FD2＝DC2+CF2，
∴（x+217）2＝82+（6﹣x）2，
解得：x=17-3，
∴tan∠FEH=FHEH=17-32．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）填空：a＝　﹣1　，点B的坐标是 　（3，0）　；
（2）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+12PC的最小值；
（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP+12PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移233个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，求得a，再令y＝0，解方程即可得出答案；
（2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点D的坐标，用待定系数法求得直线BD的解析式，设点F（m，﹣2m+6），N（m，﹣m2+2m+3），利用等角的三角函数值相等得出C△MNF=35+55NF，利用二次函数的性质求出使△MNF的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点K（-3，0），则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，可得(FG+12PC)min=FG，连接FC，FK，设FK交y轴于点J，利用△CKF的面积计算出FG即可；
（3）由（2）求出点Q的坐标，取AQ的中点G，△A′OQ′在旋转过程中，只需使AG的中点G在坐标轴上即可使得GQ′＝OG，分四种情况计算即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，
解得，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标是（3，0）；
故答案为：﹣1，（3，0）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点C（0，3），点D（1，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），D（1，4）代入得：
3k+b=0k+b=4，
解得，k=-2b=6，
∴y＝﹣2x+6，
设点F（m，﹣2m+6），N（m，﹣m2+2m+3），
由图形可知，∠MNF＝∠DBE，
∵sin∠DBE=255，cos∠DBE=55，
∴MN+MF=55NF+255NF=355NF，
∴C△MNF=355NF+NF
=35+55NF
=35+55×（﹣m2+2m+3+2m﹣6）
=35+55×（﹣m2+4m﹣3）
=35+55×[﹣（m﹣2）2+1]，
∴当m＝2时，C△MNF最大，此时F（2，2），HF＝2，
在x轴上取点K（-3，0），则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时PG=12PC，
∴PF+12PC＝FP+PG，
∴当点F，P，G三点共线时，PF+12PC有最小值为FG，
而此时点P不在线段OC上，故不符合题意，
∴FP+12PC的最小值为FC的长度，
∵点C（0，3），点F（2，2），
∴CF=12+22=5，
∴当△MNF的周长取得最大值时，FP+12PC的最小值为5；

（3）存在．
由（2）可知，OP＝2tan30°+2=233+2，则点P（0，233+2），
将点P向下平移233个单位得到点Q，
∴点Q（0，2），
在Rt△AOQ中，OA＝1，OQ＝2，则AQ=5，
取AQ的中点G，则有OG＝GQ，
∴△A′OQ′在旋转过程中，只需使AG的中点G在坐标轴上即可使得GQ′＝OG，
如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q'作Q'I⊥x轴，垂足为I，
∵GQ′＝OG，
∴∠GOQ'＝∠GQ'O
∵OG∥IQ，
∴∠GOQ'＝∠IQ'O，
∴∠IQ'O＝∠GQ'O，
设Q'（x，y），则有：
sin∠IQ'O＝sin∠AQ'O
=x2
=15，
∴x=255，则点Q'（255，455），
同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点Q'（455，-255）；
当点G在y轴负半轴上时，点Q'（-255，-455）；
当点G在x轴负半轴上时，点Q'（-455，255）．
综上，点Q'的坐标为（255，455），（455，-255），（-255，-455），（-455，255）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．