镇江市A卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年镇江市中考金榜预测卷A

一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．（2分）如果整数x＞﹣3，那么使函数y=π-2x有意义的x的值是　0　（只填一个）
【分析】根据题意可以求得使得二次根式有意义的x满足的条件，又因为整数x＞﹣3，从而可以写出一个符号要求的x值．
【解答】解：∵y=π-2x，
∴π﹣2x≥0，
即x≤π2，
∵整数x＞﹣3，
∴当x＝0时符合要求，
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数有意义的条件，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2分）一艘潜艇正在﹣50m处执行任务，其正上方15m有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处的高度是　﹣35m　．
【分析】计算﹣50+15即可．
【解答】解：﹣50+15＝﹣35m，
故答案为：﹣35m．
【点评】考查有理数的意义，有理数的加法运算．掌握法则是关键．
3．（2分）马拉松（Marathon）国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为　4.2×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示42000为4.2×104．
故答案为：4.2×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 　②　．

【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故答案为：②．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．
5．（2分）某校300名学生参加植树活动，要求每人植树2～5棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四类：A类2棵、B类3棵、C类4棵、D类5棵，将各类的人数绘制成如图所示的不完整的条形统计图，那么这20名学生中D类学生有 　2　名，这300名学生共植树大约 　990　棵．

【分析】根据条形统计图中的数据进行计算即可得到D类学生数量；先求得调查的20人的植树量的平均数，再乘以总人数300即可．
【解答】解：由图可得，D类学生有20﹣4﹣8﹣6＝2（名）；
这300名学生共植树大约（4×2+8×3+6×4+2×5）÷20×300＝990（棵）．
故答案为：2，990．
【点评】此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．（2分）若a是方程12x2-12x-1009=0的一个实数根，则a2﹣a+3＝　2021　．
【分析】首先由已知可得12a2-12a-1009=0，即a2﹣a＝2018．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
【解答】解：把x＝a代入得到12a2-12a-1009=0，
则a2﹣a＝2018．
把a2﹣a＝2018代入a2﹣a+3＝2018+3＝2021，
故答案为：2021．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解是能使得方程左右两边相等的未知数的值，注意解题中的整体代入思想．
7．（2分）如图所示，已知AB∥DE，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数是　20°　．

【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCF＝∠ABC＝70°，
又∵AB∥DE，
∴DE∥CF，
∴∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝50°，
∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y=-6x的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为　（2，﹣3）或（3，﹣2）或（﹣3，2）　．

【分析】求得B的坐标，然后根据题意得到P与B关于原点O对称或关于直线y＝x对称，从而求得P的坐标．
【解答】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2．
∴B的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入y=-6x得，y＝3，
∴B（﹣2，3），
∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，
∴P与B关于原点O对称或关于直线y＝x对称，
∴P（2，﹣3）或（3，﹣2）或（﹣3，2），
故答案为（2，﹣3）或（3，﹣2）或（﹣3，2）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能够明确P与B关于原点O对称或关于直线y＝x对称是解题的关键．
9．（2分）如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和9，则b的面积为 　15　．

【分析】根据同角的余角相等推出∠BAC＝∠ECD，进而推出△ABC≌△CDE（AAS），最终根据勾股定理求出b的面积．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵∠ACE＝90°，∠EDC＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵AC＝EC，
∴△ABC≌△CDE（AAS）
∴BC＝DE，AB＝CD，
∵a＝AB2，c＝DE2，CE2＝CD2+DE2＝a+c，
即b＝6+9＝15；
故答案为：15．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键．
10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 　45　度．

【分析】根据圆周角定理得出∠DCF＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠ABC＝180°，求出∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质得出∠E＝∠ADC﹣∠DCF，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵BC=DF，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的外角性质和圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
11．（2分）边长为2cm的正六边形，它的内切圆半径是 　3　cm．
【分析】利用正多边形的概念计算．
【解答】解：长为2cm的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为2的正三角形的高，
所以正多边形的内切圆的半径等于32×2=3（cm），
故答案为：3．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
12．（2分）两幅大小不同的三角板中各取一个，如图1叠放（直角顶点重合），∠A＝45°，∠CDE＝30°，且CE：BC＝1：6，把△DCE绕点C顺时针旋转45°后，ED交AC于点O，则OA：OC＝　3　．


【分析】过点O作OF⊥CE，可知△OCF是等腰直角三角形，得CEOC=(3+1)EF6EF=3+16，再利用BCOC=BCCE×CEOC=6×3+16=3+1，从而得出ACOC的值，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作OF⊥CE，

由旋转性质可得∠OCE＝45°，
∵∠CDE＝30°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝EF×tan∠OEF=3EF，
∴OF＝CF=3EF，OC=OF2+CF2=6EF，
∴CE＝EF+CF＝（3+1）EF，
∴CEOC=(3+1)EF6EF=3+16，
∵CE：BC＝1：6，
∴BCOC=BCCE×CEOC=6×3+16=3+1，
∴OAOC=AC-OCOC=ACOC-1=BCOC-1=3，
∴OA：OC=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：其俯视图一定是圆的有：球，圆柱，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．
14．（3分）在下列运算中，计算正确的是（　　）
A．a6+a2＝a8 B．a16﹣a2＝a8 C．a6•a2＝a8 D．（a6）2＝a8
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a6与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a16与a2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、a6•a2＝a8，故C符合题意；
D、（a6）2＝a12，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（3分）若x＞y，则下列式子中正确的是（　　）
A．﹣3x＜﹣3y B．x+3＜y+3 C．x﹣3＜y﹣3 D．x3＜y3
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号方向改变，即﹣3x＜﹣3y，故符合题意；
B、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等式仍成立，即x+3＞y+3，故不符合题意；
C、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等式仍成立，即x﹣3＞y﹣3，故不符合题意；
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即x3＞y3，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
16．（3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（　　）
A．10x﹣6＝12x+6 B．10x+6＝12x﹣6
C．x-610=x+612 D．x+610=x-612
【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，求出答案．
【解答】解：设该分派站有x名快递员，则可列方程为：
10x+6＝12x﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
17．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S（单位：平方米）．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】先根据AD+AB+BC＝30得出y=-12x+15；再根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，从而得出结论．
【解答】解：∵AB＝x，BC＝AD＝y，AD+AB+BC＝30，
∴2y+x＝30，
即y=12（30﹣x）=-12x+15，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
∵S＝AB•BC＝xy＝x（-12x+15）=-12x2+15x，
∴S与x满足的函数关系是二次函数．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式．
18．（3分）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　　）
A．sinα B．cosα C．tanα D．1sinα
【分析】在Rt△OAB中，sinα=ABOB，可得OB的长度，在Rt△OBC中，tan∠BOC=BCOB，代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα=ABOB，
∴OB=1sinα，
在Rt△OBC中，tan∠BOC=BCOB=11sinα=sinα．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：|﹣5|+（3-2）0﹣2tan45°；
（2）化简：aa2-9÷（1+3a-3）．
【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
【解答】解：（1）原式＝5+1﹣2×1
＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式=a(a+3)(a-3)÷aa-3
=a(a+3)(a-3)×a-3a
=1a+3．
【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
20．（10分）（1）解分式方程：2x-2-4x2-4=1x+2．
（2）解不等式组：2(x+1)＞5x-7x+103＞2x．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：2（x+2）﹣4＝x﹣2，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2是增根，分式方程无解；
（2）2(x+1)＞5x-7①x+103＞2x②，
由①得：x＜3，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为x＜2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（6分）为迎接中国共产党建党100周年华诞，某校开展了以“学党史，传薪火，担使命”为主题的教育活动，为了解学生对党史知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行党史知识问卷，将他们的得分从高到低依次按优秀、良好、合格、待合格（分别记为A、B、C、D）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）其中有一道题目邀请你回答：今年是建党100周年，今年是新中国成立 　72　周年；
（2）补全条形统计图，并回答：本次调查的学生党史知识得分的中位数落在 　B　等级（选填A、B、C、D）；
（3）若该校有2000名学生，估计党史知识问卷得分能达到良好及以上的人数.
【分析】（1）根据新中国成立比建党迟28年解答即可；
（2）根据A的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，进而得出C等级的人数，再根据中位数的定义判断即可；然后补全条形统计图即可；
（3）用2000乘以样本中“党史知识问卷能达到良好及以上的人数”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）今年是建党100周年，今年是新中国成立72周年；
故答案为：72；
（2）12÷30%＝40（人），
所以C等级人数为：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
所以本次调查的学生党史知识得分的中位数落在B等级；
补全条形统计图如下：

（3）2000×12+1440=1300（人），
答：估计党史知识问卷得分能达到良好及以上的人数约1300人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本、总体、个体之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，掌握基本概念．
22．（6分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

【分析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y=8x（x＞0）得，
a=84=2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y=8x得，y=85，即BC=85，
∴CD＝BD﹣BC＝10-85=425，
∴S△ACD=12×425×（5﹣2）＝12.6．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
23．（6分）小红同学参加了校七年级数学能力竞赛，试卷中有20道选择题，每个选择题都有A，B，C，D四个选项，其中只有一项符合题目要求．
（1）第15题把小红难住了，于是她随意涂了一个选项C，则她“蒙”对的概率是 　14　．
（2）第14题：“……，则下列结论正确的是”小红确定选项A明显与某个基本实事矛盾，但是她无法确定B，C，D三个选项的正误，只好从这三个选项中任选一个，则她“蒙”对的概率是 　13　．
（3）第13题：“……，则下列结论正确的是”小红确定C，D两个选项绝对错误，但是对A，B两个选项到底哪个正确无法确定．请用树状图法求小红把第13题和第14题都“蒙”对的概率．
【分析】（1）（2）直接利用概率公式计算；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果，找出小红把第13题和第14题都“蒙”对的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）她随意涂了一个选项C，则她“蒙”对的概率=14；
故答案为14；
（2）从这三个选项中任选一个，则她“蒙”对的概率=13；
故答案为13；
（3）画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中小红把第13题和第14题都“蒙”对的结果数为1，
所以小红把第13题和第14题都“蒙”对的概率=16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．（8分）如图，已知正方形ABCD的边长是8，E是AB边上的点，且AE＝6，△DAE经过逆时针旋转后到达△DCF的位置．
（1）旋转中心是　点D　，旋转角度是　90°　，△DEF的形状是　等腰直角　三角形；
（2）现将△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交DE于点G．
①试说明：AH⊥DE；
②求AG的长．

【分析】（1）根据正方形性质得出AD＝DC，∠ADC＝90°，根据已知△DAE经过逆时针旋转后到达△DCF的位置即可得出旋转中心和旋转角度，根据旋转性质求出DE＝DF，即可得出△DEF是等腰直角三角形；
（2）①根据旋转性质得出△ADE≌△BAH≌△CDF，推出∠BAH＝∠ADE，根据正方形性质推出∠ADE+∠GAD＝90°，求出∠AGD＝90°，即可得出答案；②根据勾股定理求出DE，根据三角形的面积公式得出DE×AG＝AD×AE，代入求出即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
即A绕D旋转到C点，
∴旋转中心是点D，旋转角度是90°，
∠EDF＝∠ADC＝90°，DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故答案为：点D，90°，等腰直角；

（2）①依题意，得：△ADE≌△BAH≌△CDF，
∴∠BAH＝∠ADE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAH+∠GAD＝90°，
∴∠ADE+∠GAD＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AH⊥DE；

②在Rt△ADE中，根据勾股定理，得：
DE=AD2+AE2=82+62=10，
∵S△ADE=12×AD×AE=12×DE×AG，
∴DE×AG＝AD×AE，
∴8×6＝10×AG，
AG＝4.8．

【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积，旋转的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．

【分析】（1）根据角平分线的性质利用尺规作图作∠A的平分线交BC于点P即可；
（2）根据三角形相似判定和性质证明△PEB∽△ACB对应边成比例即可求解．
【解答】解：如图所示：
（1）作∠A的平分线交BC于点P，
点P即为所求作的点．
（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，
∴AB与圆相切，
∵∠ACB＝90°，
∵AC与圆相切，
∴AC＝AE，
设BD＝x，BE＝y，
则BC＝6+x，BP＝3+x，
∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，
∴△PEB∽△ACB
∴PEAC=BPBA=BEBC
∴36=3+x6+y=y6+x
解得x＝2，
答：BD的长为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是利用尺规作点P．
26．（8分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．过点F作FN垂直于BA的延长线于点N．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．试证明：BD＝BG+DG＝AF+2DM．

【分析】（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，利用AAS证明△EBC≌△FNE即可解决问题；
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G，首先证明四边形ABGF为平行四边形，再利用AAS证明△FGM≌△CDM即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠N＝∠CEF＝90°，
∴∠NEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，
∴∠NEF＝∠ECB，
∵EC＝EF，
∴△EBC≌△FNE（AAS），
∴FN＝BE，EN＝BC，
∵BC＝AB，
∴EN＝AB，
∴EN﹣AE＝AB﹣AE，
∴AN＝BE，
∴FN＝AN，
∵FN⊥AB，
∴∠NAF＝45°，
∴∠EAF＝135°，
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G．

由（1）可知∠EAF＝135°，
∵∠ABD＝45°
∴∠EAF＝135°+∠ABD＝180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF＝BG，FG＝AB，
∵AB＝CD，
∴FG＝CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM＝∠CDM，
∵∠FMG＝∠CMD，
∴△FGM≌△CDM（AAS），
∴GM＝DM，
∴DG＝2DM，
∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．
【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（10分）某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD．设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC=3．tanD＝tan15°=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3．思路二：利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=tanα±tanβ1±tanαtanβ．假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan15°＝tan（60°﹣45°）=tan60°-tan45°1+tan60°tan45°=3-11+3=2-3．请解决下列问题（上述思路仅供参考）．

（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．

【分析】（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得∠BAC＝30°．从而得到∠BAD＝75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DC长．
【解答】解：（1）方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD．

设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC=3．
tan∠DAC＝tan75°=CDAC=2+31=2+3；
方法二：利用公式tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ．
假设α＝30°，β＝45°代入和角正切公式：
tan75°＝tan（30°+45°）=tan30°+tan45°1-tan30°tan45°=33+11-33×1=2+3；
（2）如图2，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=3060=12，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝AC•cos∠BAC＝60cos30°＝60×32=303（m），
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+45°＝75°，

∵BDAB=tan∠BAD，
∴CD+30303=tan75°＝2+3，
∴CD＝（603+60）m，
∴这座电视塔CD的高度为（603+60）m．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正切公式等知识，考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合作交流相结合）的好题．
28．（10分）已知抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）如图1，若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PAOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PAOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移，使平移后的抛物线刚好经过点C，新抛物线的对称轴是直线l，AC交直线l于点M，点Q是直线l上一动点，当△CMQ是等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标，并选择一个你喜欢的点Q说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得C（0，2），利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）设P（m，-12m2-32m+2）（﹣4＜m＜0），由S四边形PAOC＝S△ACP+S△AOC，可得二次函数解析式，然后利用二次函数求极值的方法，求出四边形PAOC面积的最大值；
（3）先根据平移规律求出点B （1，0）平移后对应点为（5，2），平移后抛物线的对称轴为直线x=52，可得M（52，134），CM=(52)2+(134-2)2=554，然后分三种情况，根据等腰三角形的性质求出Q的坐标即可．
【解答】解：（1）由抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，
则-8-4b+c=0-12+b+c=0，
解得b=-32c=2，
∴抛物线的解析式为y=-12x2-32x+2．
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，0），
∴-4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2；

（2）作PE⊥x轴于E，交AC于F．

设点P坐标为（m，-12m2-32m+2），则F（m，12m+2），
∴PF=-12m2-32m+2-12m﹣2=-12m2﹣2m，
∴S四边形PAOC＝S△ACP+S△AOC
=12×4（-12m2﹣2m）+12×4×2
＝﹣m2﹣4m+4
＝﹣（m+2）2+8．
∵a＝﹣1＜0，
∴S四边形PAOC＝﹣（m+2）2+8有最大值，
当m＝﹣2时，S四边形PAOC有最大值8．
此时-12m2-32m+2＝3，
∴存在点P，使四边形PAOC的面积最大，点P的坐标（﹣2，3），四边形PAOC面积的最大值为8；

（3）∵A（﹣4，0）平移后对应点为C（0，2），
∴抛物线的平移方式是先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴B （1，0）平移后对应点为（5，2），
∴平移后抛物线的对称轴为直线x=52，
把x=52代入直线AC的解析式y=12×52+2=134，
∴M（52，134），
∴CM=(52)2+(134-2)2=554，
△CMQ为等腰三角形，分为三种情况：
当MC＝MQ时，MC＝MQ=554，
∵M（52，134），
∴MQ=134+554=13+554或MQ=134-554=13-554，
∴点Q（52，13+554）或（52，13-554）；
当QC＝MQ时，点Q位于线段CM的垂直平分线上，如图，线段CM的垂直平分线HQ交直线l于Q′，交CM于H，过点C作CN⊥MQ于N，

在△MHQ′和△MNC中，
∵∠HMQ′＝∠NMC，∠MHQ′＝∠MNC＝90°，
∴△MHQ′∽△MNC，
∴MHMN=MQ'MC，
∵MH=12CM=12×554=558，MN=134-2=54，
∴55854=MQ'554，
∴MQ′=258，
∵134-258=18，
∴Q′（52，18）；
当MC＝CQ时，MN＝NQ=54，
∴MQ=52，
∵134-52=34，
∴Q（52，34），
综上，点Q的坐标为（52，13+554）或（52，13-554）或（52，18）或（52，34）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，面积的计算，解题的关键是用待定系数法求得二次函数的解析式．