镇江市C卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年镇江市中考金榜预测卷C

一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．（2分）计算：11+（﹣3）的结果为　8　．
【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+（11﹣3）＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2分）当x　≤2　时，式子2-x有意义．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，即x≤2时，二次根式有意义．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
3．（2分）分解因式：a2+3a＝　a（a+3）　．
【分析】直接找出公因式a，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：a2+3a＝a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
4．（2分）如图，AB∥CD，E是CD上的点，过点E作EF∥DP，若∠PEF＝∠PEH，EG平分∠DEH，∠B＝152o，∠PEG＝65°，则∠BPD＝　22°　．

【分析】延长AB交PH于M，设∠DEG＝∠GEH＝α，则∠PEH＝∠PEG+∠GEH＝65°+α，由平行线性质可得∠PEF＝∠EPH，进而可得∠EPH＝∠PEH＝65°+α，利用三角形内角和定理可得∠H＝50°﹣2α，可推出∠PDE＝50°，再利用三角形的外角性质和平行线性质可得出答案．
【解答】解：延长AB交PH于M，
∵EG平分∠DEH，
∴∠DEG＝∠GEH，
设∠DEG＝∠GEH＝α，
则∠PEH＝∠PEG+∠GEH＝65°+α，
∵EF∥DP，
∴∠PEF＝∠EPH，
∵∠PEF＝∠PEH，
∴∠EPH＝∠PEH＝65°+α，
∴∠H＝180°﹣（∠EPH+∠PEH）＝180°﹣（65°+α+65°+α）＝50°﹣2α，
∴∠PDE＝∠H+∠DEH＝50°﹣2α+2α＝50°，
∵∠ABP＝152°，
∴∠PBM＝180°﹣152°＝28°，
∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠PDE＝50°，
∴∠BPD＝∠BMD﹣∠PBM＝50°﹣28°＝22°．
故答案为：22°

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理及外角性质等，解题关键是熟练掌握平行线性质．
5．（2分）设关于x的一元二次方程x2+2kx+14-k＝0有两个实根，则k的取值范围为　k≥2-12或k≤-2-12　．
【分析】先计算Δ＝4k2﹣4（14-k）＝4k2+4k﹣1，由关于x的一元二次方程x2+2kx+14-k＝0有两个实根，得△≥0，即4k2+4k﹣1≥0；然后利用二次函数的图象解此不等式，解方程4k2+4k﹣1＝0，得k1=-1-22，k2=-1+22，因此可得到4k2+4k﹣1≥0的解集，这样就得到了所求的k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2kx+14-k＝0有两个实根，
∴Δ＝4k2﹣4（14-k）＝4k2+4k﹣1≥0．
解方程4k2+4k﹣1＝0，得k1=-1-22，k2=-1+22，
所以4k2+4k﹣1≥0的解集为k≤-1-22或k≥-1+22．
所以k的取值范围为k≤-1-22或k≥-1+22．
故答案为k≤-1-22或k≥-1+22．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了利用二次函数解一元二次不等的方法．
6．（2分）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为 　8　．

【分析】根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数．
【解答】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20﹣3﹣5﹣4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．若CD+EF＝6，则AB的长是 　6　．

【分析】根据直角三角形的性质得到CD=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，进而证明EF＝CD，根据EF+CD＝6计算即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
∴CD=12AB，
∵点E、F分别是边BC、CA的中点，
∴EF=12AB，
∴EF＝CD，
∵EF+CD＝6，
∴AB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（2分）已知a2=b3=c4，则a+b-ca=　12　．
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出各数，进而代入化简得出答案．
【解答】解：∵a2=b3=c4，
∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，
∴a+b-ca=2x+3x-4x2x=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
9．（2分）如果反比例函数y=m+1x在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　m＞﹣1　．
【分析】根据增减性确定m+1的符号，从而确定m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=m+1x的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴m+1＞0，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题运用了反比例函数y=kx图象的性质，关键要知道k的决定性作用．
10．（2分）一架直升机从高度为500米的位置开始，先以20米/秒的速度垂直上升50秒，再以12米/秒的速度垂直下降100秒，这时飞机所在的高度是 　300　米．
【分析】根据题意，可知最后的高度＝初始高度+上升的高度﹣下降的高度，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由题意可得：
500+20×50﹣12×100
＝500+1000﹣1200
＝300（米）．
故这时飞机所在的高度是300米，
故答案为：300．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确最后的高度＝初始高度+上升的高度﹣下降的高度．
11．（2分）某校九年级一班50名学生的年龄情况如下表所示：
年龄
14岁
15岁
16岁
17岁
人 数
6
20
19
5
则该班学生年龄的中位数为　15岁　；从该班随机地抽取一人，抽到学生的年龄恰好是15岁的概率等于　25　．
【分析】由于表中学生年龄按从小到大依次排列，找到中间位置数即为中位数；由于每个学生被抽的机会是均等的，故可根据概率公式解答．
【解答】解：由图表知，共有学生6+20+19+5＝50人，
中位数为第25和26人的年龄的平均数，
为15+152=15岁．
根据概率公式，P（15岁）=206+20+19+5=25．
故答案为15岁，25．
【点评】此题考查了中位数和概率公式，要明确：
（1）中位数﹣﹣﹣一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数据中）．　
（2）概率公式﹣﹣﹣如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为：P（A）=aa+b．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝6，AD＝22，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 　42　．

【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【解答】解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝22，CD＝AB＝6，
∵点M为AD的中点，∠A＝45°，
∴DM＝MA=2，∠MDE＝∠A＝45°，
∴ME＝DE=22DM＝1，
∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，
由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，
∴CM=12+72=52；
由翻折变换的性质得：MA′＝MA=2，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，
此时A′C＝MC﹣MA′＝52-2=42，
故答案为42．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点；解题的方法是作辅助线，得出A′点位置．
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3•a4＝a7 D．（a2）4＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，逐一判断即可．
【解答】解：A．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；
B．4a5﹣3a5＝a5，故本选项不合题意；
C．a3•a4＝a7，故本选项符合题意；
D（a2）4＝a8，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟记相关法则并灵活运用．
14．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．b+c＞0 B．a+b＜a+c C．ac＞bc D．ab＞ac
【分析】先根据数轴观察a，b，c的大小关系，然后根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得，c＜0＜b＜a，
∵﹣2＜c＜﹣1，b＝1，
∴b+c＜0，
故A选项错误；
∵b＞c，
∴b+a＞c+a，
故B选项错误；
∵a＞b＞0，c＜0，
∴ac＜bc＜0，
故C选项错误；
∵b＞c，a＞0，
∴ab＞ac，
故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．
15．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC．若AN＝2，则AB的长为（　　）

A．4 B．43 C．6 D．63
【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可求∠B=13×90°＝30°，由直角三角形的性质和等腰三角形的判定可求MN＝2AN＝4＝NC，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，
∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，
又∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，
∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，
∵∠A＝90°，
∴∠B=13×90°＝30°，
∴∠B＝∠BCM＝∠ACM＝∠AMN＝∠CMN＝30°，∠A＝90°，
∴MN＝2AN＝4，MN＝CN，BC＝2AC，
∴AC＝AN+CN＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB=BC2-AC2=144-36=63，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．（3分）九年级（1）班和（2）班的第一次模拟考试的数学成绩统计如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均分
（1）班
50
120
103
122
（2）班
49
121
201
122
根据上表分析得出入下结论：①两班学生成绩的平均水平基本一致；②（2）班的两极分化比较严重；③若考试分数≥120分为优秀，则（2）班优秀的人数一定多于（1）班优秀的人数．上述结论正确的（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】根据平均数可分析两个班的平均水平，根据方差可判断出哪个班两极分化比较严重，根据中位数可判断优秀人数．
【解答】解：由两班的平均数可得两班学生成绩的平均水平基本一致，故①正确；
（2）班方差大于（1）班，因此（2）班的两极分化比较严重，故②正确；
（2）班中位数为121，（2）班比（1）班少1人，无法判断哪个班优秀的人数多故③错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差、平均数、中位数，关键是掌握方差、平均数、中位数的定义．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　）

A．42 B．22+1 C．32+1 D．32-1
【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，

由对称性可知：圆心O在AC上．
AC=AB2+BC2=42．
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°．
∴△OEC为等腰直角三角形．
∴OC=2OE=2．
∴CG＝OC﹣OG=2-1．
∴AG＝AC﹣CG＝42-（2-1）＝32+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）2sin60°+(12)-1-12；
（2）a2-8a+16a2-4a÷(a-16a)．
【分析】（1）代入特殊角三角函数值，化简负整数指数幂，二次根式，然后先算乘法，再算加减；
（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
【解答】解：（1）原式＝2×32+2﹣23
=3+2﹣23
＝2-3；
（2）原式=(a-4)2a(a-4)÷（a2a-16a）
=a-4a÷a2-16a
=a-4a⋅a(a+4)(a-4)
=1a+4．
【点评】本题考查分式的混合运算，实数的混合运算，理解二次根式的性质，熟记特殊角三角函数值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣6x﹣4＝0．
（2）解不等式组：4(x-1)＜x+2x+73＞x．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
∴x＝2±13，
∴x1＝3+13，x2＝3-13；
（2）4(x-1)＜x+2①x+73＞x②
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜72，
∴不等式组的解集是x＜2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
21．（6分）在一个不透明的盒子中装有三个完全相同的小球，分别在小球上标有数字“1，2，3”．如图是一个正五边形棋盘，小明和小华准备通过用摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从盒子内随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回，摸到小球上的数字是几，棋子就从图中的点A开始沿着逆时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的规律跳动．比如：“第一次摸到小球上的数字为2，棋子就从图中的A点开始起跳，逆时针连续跳2个顶点，落到点D；若第二次摸到小球上的数字为1，棋子就从点D开始逆时针连续跳1个顶点，落到点C，⋯”．
（1）随机摸球一次，则棋子落到点C处的概率是 　13　；
（2）请用列表或画树状图的方法，求棋子跳动两次最终落到初始位置点A处的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中棋子跳动两次最终落到初始位置点A处（和为5）的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机摸球一次，则棋子落到点C处的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中棋子跳动两次最终落到初始位置点A处（和为5）的结果有2种，
∴棋子跳动两次最终落到初始位置点A处的概率为29．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（6分）某中学对本校七年级10个班的480名学生按“学科”、“文体”、“手工”三个项目安排了课外兴趣小组，每名学生都参加，且只能参加一个项目．小明从每个班中随机抽取5名学生进行问卷调查，并将统计结果制成如下所示的统计表和统计图．
（1）请将统计表、统计图补充完整；
（2）请以小明的统计结果来估计该校七年级480名学生参加各个项目的人数．
项目
学生人数
频数
百分比
学科
正正正正正
25
　50%　
文体
正正
　10　
　20%　
手工
正正正
　15　
30%
合计
50
50
100%

【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系分别求解即可；根据学科、文体、手工小组的频数补全频数分布直方图；
（2）样本估计总体，样本中学科的占50%，文体占20%，手工占30%，因此估计总体中学科占50%，文体占20%，手工占30%，分别计算即可．
【解答】解：（1）25÷50＝50%，
50×30%＝15，
50﹣25﹣15﹣10，10÷50＝20%，
故答案为：50%，10，20%，15；

（2）480×50%＝240（人），
480×20%＝96（人），
480×30%＝144（人），
答：全校480人中参加“学科兴趣小组”的有240人，“文体小组”的有96人，“手工小组”的大约有144人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解和掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．
23．（6分）“足球中超联赛”2018赛季已经结束，共有16个队伍参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场），比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．已知“上海上港队”的胜场比“上海申花队”的2倍还多1场，从而“上港队”比“申花队”多积30分获得冠军．如表显示了两队的部分比赛数据．
球队
胜
平
负
上海上港


4
上海申花

8

（1）求“中超联赛”每支队伍比赛几场？
（2）列方程解决问题：“上海上港队”和“上海申花队”各胜几场？
【分析】（1）由题意列式计算即可；
（2）设“上海申花队”胜x场，则“上海上港队”胜（2x+1）场，由题意：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．“上港队”比“申花队”多积30分获得冠军．列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）15×2＝30（场），
即“中超联赛”每支队伍比赛30场；
（2）设“上海申花队”胜x场，则“上海上港队”胜（2x+1）场，
∵每支队伍比赛30场，
∴“上海申花队”负30﹣（x+8）即（22﹣x）场，“上海上港队”平30﹣（2x+1+4）即（25﹣2x）场，
由题意得：3（2x+1）+25﹣2x＝3x+8+30，
解得：x＝10，
则2x+1＝21，
答：“上海申花队”胜10场，“上海上港队”胜21场．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=10，tan∠AOC=13，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

【分析】（1）中，因为OA=10，tan∠AOC=13，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE＝1，OE＝3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数y=kx的图象上，由此可求出开k＝3，从而求出反比例函数的解析式．
（2）中，因为一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，点B的坐标为（m，﹣2）．所以3＝﹣2x．
即m=-32，B（-32，﹣2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．
（3）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，PDDC=DCOD，而点C、D分别是一次函数y=23x﹣1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（32，0）、D（0，﹣1）．OC=32，OD＝1，DC=132．
进而可求出PD=134，OP=94．写出点P的坐标．
【解答】解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=13，
∴OE＝3AE
∵OA=10，OE2+AE2＝10，
∴AE＝1，OE＝3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴1=k3，
∴k＝3．
∴双曲线的解析式为y=3x．

（2）∵点B（m，﹣2）在双曲线y=3x上，
∴﹣2=3m，
∴m=-32．
∴点B的坐标为（-32，﹣2）．
∴3a+b=1-32a+b=-2，∴a=23b=-1
∴一次函数的解析式为y=23x﹣1．

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=23x﹣1上，
∴C，D的坐标分别是：C（32，0），D（0，﹣1）．
即：OC=32，OD＝1，
∴DC=132．
∵△PDC∽△CDO，
∴PDDC=DCOD，
∴PD=DC2OD=134
又OP＝DP﹣OD=134-1=94
∴P点坐标为（0，94）．

【点评】此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用．
25．（6分）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【分析】由锐角三角函数可求OD与OB，然后利用BD＝OD﹣OB可求解．
【解答】解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．
过点A作AH⊥OF，垂足为点H．

在Rt△OAD中，∵sin∠AOD=ADOA，
∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．
同理可得OD＝16（cm）．
由OB＝7，得BD＝9（cm）．
在Rt△ABD中，AB=AH2+BH2=122+92=15(cm)．
答：窗钩AB的长度约等于15cm．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
26．（8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC、CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE、DF交点为点O连接CO，若AB=2，CF＝1，则CO＝　102　．

【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，可得出结论；
（2）由“SAS”可证△BAD≌△CAF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，可得出结论；
（3）由“SAS”可证△BAD≌△CAF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，可证∠DCF＝90°，由勾股定理和直角三角形的性质可得出结论．
【解答】解：（1）CD＝BC﹣CF．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵CD＝BC﹣BD，
∴CD＝BC﹣CF，
（2）CF＝BC+CD，
理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，
∠CAF＝∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵BD＝BC+CD，
∴CF＝BC+CD；
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵AB=2，
∴BC=2AB＝2，
∵CD＝BC+BD，
∴CD＝BC+CF＝2+1＝3，
∴DF=DC2+CF2=32+12=10，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴CO=12DF=102，
故答案为：102．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．（10分）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y=-12x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝　y=12x﹣4（x＜﹣1）　．
（2）函数l的解析式为y=-3x，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．

【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点（m，2）时，当F1经过点（m，2）时，当F1经过点A（0，2）时，当F1经过点B（6，2）时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x＝2，可得出m≤2，再由m﹣2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y=-12x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y=-12x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：-2k+b=-5-4k+b=-6，
解得：k=12b=-4，
∴函数l′的解析式为y=12x﹣4（x＜﹣1）．
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y=3x(x＜0)-3x(x＞0)，
当y＝﹣2时，-3x=-2，3x=-2，
解得：x=32，x=-32，
∴该点的横坐标为32或-32；
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y=x2-4x+3(x≥m)-(x-2)2+2m+1(x＜m)，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±3；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m=52；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m=172；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2-3＜m≤1，52＜m≤2+3或5＜m≤172．
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m≤2，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5-11，m2＝5+11，
∴5-11≤m≤2．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
28．（12分）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 　互补　，依据是 　圆内接四边形的对角互补　．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质，（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝2，BC＝4，∠B＝90°，则PM的长为 　53　．


【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可解答；
（2）根据切线长定理可得：双圆四边形的对边的和相等；
（3）证法一：作辅助线，构建⊙P的半径，根据四边形的内角和定理和圆周角定理可得∠ENH＝90°，可得结论；
证法二：如图2，作辅助线，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；
证法三：如图3，作辅助线，根据切线长定理和四边形内角和定理，对顶角相等可得结论；
（4）四边形有一部分是双圆四边形，正方形是双圆四边形，从而可以画出图形；
（5）先根据（2）中的结论可得M在直径AC上，作辅助线，要构建正方形，由三角函数设AE＝a，EM＝2a，根据BE＝EM可列方程2a＝1﹣a，从而得结论．
【解答】（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；
故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）解：∵⊙P与四边形ABCD四边相切，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；
即双圆四边形的对边的和相等；
（3）证明：证法一：

如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．
∴∠D+∠HPG＝180°．
同理∠B+∠EPF＝180°．
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG=12∠HPG，∠EHF=12∠EPF，
∴∠HEG+∠EHF=12（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法二：
如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG，GK，HE，EF，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，
∴∠DHG＝∠DGH=12（180°﹣∠D），
∵HK是⊙P直径，
∴∠HGK＝90°，即∠GHP+∠K＝90°，
∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，
∴∠DHG＝∠HEG，
∴∠HEG=12（180°﹣∠D），
同理∠EHF=12（180°﹣∠B），
∴∠HEG+∠EHF=12（180°﹣∠D）+12（180°﹣∠B）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法三：
如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，
∴KG＝KE，
∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE+∠DGE＝180°，
∴∠KEG+∠DGE＝180°，
同理∠DHF+∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，
∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，
∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；
（4）解：阴影区域如下图；

（5）解：如图4，连接AC，连接FM，ME，

∵∠B＝90°，
∴AC是⊙P的直径，
由（2）知：AB+CD＝BC+AD，
设AD＝x，则CD＝x+2，
∴AC2＝x2+（x+2）2＝42+22，
∴x1＝2，x2＝﹣4，
∴AD＝2，CD＝4，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACB＝∠ACD，∠CAD＝∠CAB，
∴点M在AC上，
∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，
∴四边形BEMF是正方形，
∴EM＝FM，
∵EM∥BC，
∴∠AME＝∠ACB，
∴tan∠AME＝tan∠ACB，
∴AEEM=ABBC=12，
设AE＝a，EM＝2a，
∴2a＝2﹣a，
∴a=23，
∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=25，
∴AP=12AC=5，
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝90°，AE=23，EM=43，
∴AM=AE2+EM2=253，
∴PM＝AP﹣AM=5-253=53．
故答案为：53．
【点评】本题是圆的综合题，考查了直径的性质，圆周角定理，切线长定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．