数学选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列图文课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列图文课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了3等比数列，素养目标·定方向，必备知识·探新知，a1qn－1，常数列，qn－m，ap·aq，an－1，an－k＋1，q1·q2等内容，欢迎下载使用。

4.3.1　等比数列的概念
第2课时　等比数列的性质及应用
等比数列与指数函数的关系
想一想：通项公式为an＝kqn(kq≠0)的数列{an}是等比数列吗？
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(3)当q＝1时，等比数列{an}为_________(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．
想一想：在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则有前面(m－1)项大于0，从第m项开始am≤0.在等比数列中项的符号会有这样的情况吗？提示：在等比数列{an}中，(1)当a1>0，q>0时，an＝a1qn－1>0，故an>0；(2)当a1<0，q>0时，an＝a1qn－1<0，故an<0；(3)当a1>0，q<0时，a2k＝a1q2k－1<0，a2k－1＝a1q2k－2>0，即奇数项为正，偶数项为负；(4)当a1<0，q<0时，a2k＝a1q2k－1>0，a2k－1＝a1q2k－2<0，即奇数项为负，偶数项为正．
综上可知，等比数列没有等差数列中项的符号的情况，它的奇数项符号一定相同，偶数项符号一定相同，奇数项与偶数项的符号可能相同，也可能相反．
1．等比数列的项之间的关系(1)两项关系通项公式的推广： an＝am·________(m，n∈N*)．
(2)多项关系项的运算性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝_________．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝______．
3．等比数列的运算的性质(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为____的等比数列；②{|an|}是公比为_____的等比数列．(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为_________的等比数列．练一练：等比数列{an}中，a3＝－1，那么a1·a2·a3·a4·a5的值是______．[解析]　a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a5·a2·a4·a3＝a·a·a3＝a＝(－1)5＝－1.
　在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　)A．递增数列　　B．递减数列C．常数列　　D．无法确定单调性
[规律方法]　由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
【对点训练】❶在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　)A．递增数列　　B．递减数列C．常数列　　D．无法确定单调性
方法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n.利用特殊值法，如令n＝2，则lg2a1＋lg2a3＝lg2(2·23)＝lg224＝4.只有C选项符合．方法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n.于是lg2a1＋lg2a3＋…＋lg2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
[规律方法]　本题考查等比中项的概念及性质，熟练运用等比中项使得本题得以快速解答，值得注意的是，本题方法三其实提供了这样的信息：若{an}是等比数列，且an>0，则{lgban}(b为常数且b>0，b≠1)是等差数列．
【对点训练】❷(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_____；(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________；(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____．
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
[分析]　建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
[规律方法]　关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年　　B．2019年C．2020年　　D．2021年
　已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析]　求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．
【对点训练】❹(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数为_______________．(2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为____________.[分析]　(1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组求解．(2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
(2)由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可知此三数为－4，2，8.
忽略等比数列中的项的符号致错在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　　)A．9　　B．－9C．±9　　D．18[错解]　∵a3a7＝a4a6＝a1a9，∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故选C．[误区警示]　本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.
[正解]　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列[解析]　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
3．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝(　　)A．5　　B．10C．15　　D．20
4．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝______．
5．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．