新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册

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第四章　数　列章末整合提升知识体系构建数列数列要点专项突破数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和，所以求数列的通项往往是解题的突破口和关键点． 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．[解析]　由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，……a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.典例1[规律方法]　因为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，所以形如an＋1－an＝f(n)型递推关系式求通项an.设bn＝f(n)，若{bn}可求和，则用累加法求解．(1)若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和．(2)若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和．(3)若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.典例2典例3(2)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＋1＝2≠0，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列．∴an＋1＝2·3n－1.∴an＝2·3n－1－1.典例4[规律方法]　已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差(或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比)数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解． 已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；典例5[规律方法]　巧用性质、整体考虑、减少运算量在解决等差、等比数列的运算问题时，恰当地应用等差、等比数列的性质，如中项的概念、下标和相等的两项的和(等差数列)、积(等比数列)相等等；在方程组中整体代入或整体观察某些项的和与积；可以大大减少运算量，达到事半功倍的效果．数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的题型，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式．某些既不是等差数列，也不是等比数列的求和问题，一般有四种常用求和技巧和方法． 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于 (　　) A．30　　 B．45C．90　　 D．186典例6C　[规律方法]　若数列{an}为等差(或等比)数列或可转化为等差(或等比)数列，则用公式法求和．典例7[规律方法]　如果一个数列的通项公式能拆成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求和法求解．典例8[规律方法]　如果数列的通项公式可转化为类似于f(n＋k)－f(n)的形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法．使用裂项相消法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必然是一样多的，切不可漏写未被消去的项． 设数列{an}为1，2x，3x2，4x3，…，nxn－1，…(x≠0)，求此数列前n项的和．[分析]　这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法．[解析]　Sn＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1，①xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，②由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，典例9[规律方法]　若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，cn＝anbn则求{cn}前n项和用错位相减法求解．利用已知的递推公式可以先求出数列的前几项，然后依据求出的前几项猜想出数列的通项公式，用数学归纳法给出证明即可．典例10C　C　3．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则S2 022＝ (　　)A．3(21 011－1)　　 B．21 011－3C．3(21 010－1)　　 D．21 012－3A　4．(2022·广西河池市高二期末(文))已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－an－2，则S101＝ (　　)A．－97　　 B．－98C．－99　　 D．－100[解析]　由an＋1＝－an－2，有an＋an＋1＝－2，则S101＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a100＋a101)＝1－2×50＝－99.故选C．C　A　[解析]　(1)当n≥2时，因为Sn＋1＝4an，所以Sn＝4an－1，两式相减得，an＋1＝4an－4an－1.所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)．当n＝1时，因为Sn＋1＝4an，所以S2＝4a1，又a1＝4，故a2＝12，于是a2－2a1＝4，所以{an＋1－2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．