高中5.3 导数在研究函数中的应用教课内容ppt课件

这是一份高中5.3 导数在研究函数中的应用教课内容ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了素养目标·定方向，必备知识·探新知，极值点或，区间端点，最大的一个，最小的一个，关键能力·攻重难，课堂检测·固双基等内容，欢迎下载使用。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
1．基于极值概念的再认识结合函数极值的定义，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在___________ ________处取得．
函数的最大值与最小值的再认识
想一想：上述结论还有怎样的内涵？提示：(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
练一练：如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　)A．函数f(x)没有最大值也没有最小值B．函数f(x)有最大值，没有最小值C．函数f(x)没有最大值，有最小值D．函数f(x)有最大值也有最小值[解析]　由函数图象可知，函数只有一个极小值点x＝1，且函数在此处取得最小值，没有最大值．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_______；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_____________是最大值，_____________是最小值．
想一想：函数的极值与最值有怎样的区别与联系？提示：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
练一练：已知函数f(x)＝x3－3x－1，若在区间[－3，2]上，f(x)的最大值为M，最小值为N，则M－N＝(　　)A．20　　B．18　　C．3　　D．0[解析]　由f(x)＝x3－3x－1得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x＝±1，所以x＝1，x＝－1为函数f(x)的极值点．因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20.
[规律方法]　求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
【对点训练】❶(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为(　　)A．11　　　　B．－70C．－14　　　　D．21(2)(2022·白山高二检测)函数y＝xln x的最小值为(　　)A．－e－1　　B．－e
[解析]　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为11.
设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；(3)若对任意的a∈[3，6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．[分析]　(1)求f(x)的单调区间，可解不等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点的含义是f′(x)＝0在[－1，1]内没有实数根，故f(x)在[－1，1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2，2]内恒成立，则f(x)在[－2，2]内的最大值小于等于1.
而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m，又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立，∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，即m≤9－4a－2a2，在a∈[3，6]上恒成立，∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87.
[规律方法]　1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【对点训练】❷已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0，1]上的最小值．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．[分析]　第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t[解析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1，当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1，又在定义域(0，2)内，g(t)有唯一的极值点，∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0，2)内的最大值g(t)max＝1.h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立，即g(t)1时上式成立，∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[规律方法]　将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.
【对点训练】❸已知函数 f(x)＝(x－1)3＋m.(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，求m的取值范围．[解析]　(1)因为f(1)＝1，所以m＝1，则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，而f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
[误区警示]　(1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
[点评]　由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是(　　)A．5，15　　B．5，－4C．5，－16　　D．5，－15[解析]　由y＝2x3－3x2－12x＋5得y′＝6x2－6x－12，令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15.
2．函数f(x)＝eln x－x在(0，2e]上的最大值为(　　)A．1－e　　B．－1C．－e　　D．0
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)A．－37　　B．－29C．－5　　D．－11[解析]　因为f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f ′(x)＝0得x＝0或2.又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
4．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)(　　)A．最大值为4，最小值为－4B．最大值为4，无最小值C．最小值为－4，无最大值D．既无最大值，也无最小值[解析]　f′(x)＝－4x3＋4x，由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0.易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B．